HAVO WA, 1993 - II

 

OPGAVE 1.  100-plussers.
       
Onder een 100-plusser verstaan we iemand die een leeftijd heeft van 100 jaar of hoger. Inde tabel hieronder kun je het aantal 100-plussers in Nederland voor de jaren 1978 tot en met 1988 aflezen, telkens geteld op 1 januari.
       
  100j 101j 102j 103j 104j 105j 106j 107j 108j 109j 110j totaal
  m v m v m v m v m v m v m v m v m v m v m v m v
1978
1979
1980
1981		 50
50
63
59		 92
107
118
124		 28
32
33
39		 72
58
64
69		 7
17
20
21		 29
41
42
41		 6
2
9
12		 24
14
23
22		 5
2
1
3		 6
12
8
14		 2
3
1
1		 3
4
3
4		 -
2
1
-		 3
1
2
2		 -
-
2
1		 2
1
1
1		 -
-
-
-		 -
1
1
-		 -
-
-
-		 1
-
1
1		 -
-
-
-		 -
-
-
-		 98
108
130
136		 232
239
263
278
1982
1983
1984
1985		 53
70
51
73		 124
144
157
182		 35
32
45
33		 77
79
104
114		 24
15
22
31		 43
43
43
65		 9
14
12
16		 24
24
22
27		 5
7
8
5		 13
17
11
15		 3
2
5
2		 9
4
7
7		 1
1
1
4		 3
5
1
5		 -
1
-
-		 2
2
4
-		 1
-
1
-		 1
1
1
3		 -
-
-
-		 -
1
1
1		 -
-
-
-		 -
-
-
-		 131
142
145
164		 296
320
351
419
1986
1987
1988		 75
77
84		 171
199
242		 46
36
50		 61
77
70		 23
27
18		 61
77
70		 16
15
16		 36
36
48		 10
8
9		 16
18
23		 4
6
4		 12
14
13		 1
2
3		 3
6
8		 2
-
-		 2
-
4		 2
-
-		 -
1
-		 -
-
1		 2
-
-		 -
-
1		 -
-
-		 177
173
185		 430
464
541
     

m = man
v = vrouw
Op 1 januari 1979 waren er 157 100-jarigen.
       
3p. 1. Was degene die van deze mensen als laatste in leven is gebleven een man of een vrouw? Licht je antwoord toe.
       
5p. 2. Bereken van de groep van alle 100-plussers van 1 januari 1978 het percentage dat op 1 januari 1982 nog in leven was.
       
In de tabel is te zien dat er op 1 januari 1988 meer dan tweemaal zoveel vrouwelijke 100-plussers waren als op 1 januari 1978.
       
5p. 3. Onderzoek of de gemiddelde leeftijd van de groep vrouwelijke 100-plussers van 1 januari 1988 hoger is dan die van de groep uit 1 januari 1978.
       
Op basis van de gegevens over een aantal jaren heeft men voor vrouwen een schatting gemaakt van de kansen om tenminste 1 jaar ouder te worden. Zie de volgende figuur.
       

       
Uit dit model is bijvoorbeeld af te lezen dat vrouwen die hun 102-ste verjaardag vieren, een kans van 55% hebben om ook hun volgende verjaardag te kunnen vieren.
We bekijken een groep van 250 vrouwen die hun 100-ste verjaardag vieren.
       
5p. 4. Hoeveel vrouwen uit deze groep zullen volgens het model op 103-jarige leeftijd overlijden? Licht je antwoord toe.
       
OPGAVE 2. Mosselfarm.
         
Voor de kust van Spanje worden in zee mosselen gekweekt.
Deze mosselen hangen aan verticale touwen, die op hun beurt weer zijn vastgemaakt aan drijvende kabels. Zie de figuur.
         

         
Deze kabels liggen naast elkaar, loodrecht op de stroomrichting van het zeewater (zie de figuur hieronder). Dat zeewater stroomt steeds even snel en in dezelfde richting.
Een mosselkweker zal proberen zoveel mogelijk kabels naast elkaar te leggen. Maar hij moet er wel voor zorgen dat alle mosselen voldoende voedsel krijgen. De mosselen filteren voedseldeeltjes uit het stromende water. Bij het passeren van iedere kabel verliest het water dus voedsel.

nk is de de hoeveelheid voedsel na het passeren van kabel k.
n0 = 350 (mg/l) is de hoeveelheid voedsel voor het passeren van de eerste kabel.
Voor de hoeveelheid voedsel na kabel k geldt de formule:
nk = 0,993 • nk - 1 (zie de volgende figuur)
         

         
Elke mossel heeft per uur 200 mg voedsel nodig om in leven te blijven. Een mossel kan per uur het voedsel uit 2,4 liter zeewater eten.
         
5p. 5. Laat met een berekening zien dat de mosselen van de 150-ste kabel nog voldoende voedsel hebben.
         
De mosselfarm mag het milieu niet te zwaar belasten. Daarom geldt er een milieu-eis: het zeewater moet na het passeren van de laatste kabel nog minstens een kwart van de oorspronkelijke hoeveelheid voedsel bevatten
         
8p. 6. Hoeveel kabels mag men maximaal naast elkaar leggen opdat alle mosselen nog voldoende voedsel hebben en ook aan de milieu-eis wordt voldaan? Licht je antwoord toe.
         

 

OPGAVE 3.  Leesgemak.
         
De ene tekst is makkelijker te lezen dan de andere.
Dat heeft te maken met het gebruik van lange, moeilijke woorden en lange zinnen. Taalkundigen hebben daar onderzoek naar gedaan. Zij hebben geprobeerd het 'leesgemak' van teksten in een getal uit te drukken. Dat getal wordt berekend met een formule waarin het gemiddeld aantal woorden per zin (W) en het gemiddeld aantal lettergrepen per woord (L) een rol spelen.
De formule voor het 'leesgemak'  (LG) is dan:
LG = 206,8 - 0,93W - 77L
Bij elke waarde van LG hoort een uitspraak over de stijl van de tekst.
Hieronder zie je bijvoorbeeld dat een tekst de stijl 'vrij gemakkelijk'  krijgt als het 'leesgemak'  LG ligt tussen 70 en 80.
         
Leesgemak Stijl
LG < 30
30 ≤ LG < 50
50 ≤ LG < 60
60 ≤ LG < 70
70 ≤ LG < 80
80 ≤ LG < 90
LG ≥ 90		 zeer moeilijk
moeilijk
vrij moeilijk
standaard
vrij gemakkelijk
gemakkelijk
zeer gemakkelijk
         
In het eerste stuk tekst van deze opgave (tot de formule) is voor iedere zin het aantal woorden en het aantal lettergrepen geteld.
         
  woorden lettergrepen
zin 1
zin 2
zin 3
zin 4
zin 5
zin 6		 10
14
6
13
24
7		 18
22
13
21
41
11
         
Aan de hand van deze gegevens is het gemiddeld aantal woorden (W) per zin en het gemiddeld aantal lettergrepen per woord (L) te berekenen.
         
6p. 7. Bereken het 'leesgemak' LG en vermeld de stijl van dat stukje tekst.
         
Vaak zijn formules lastiger te gebruiken dan figuren. Daarom is in de volgende figuur een zogenaamd 'nomogram' gegeven.
         

         
Dat werkt als volgt: Bepaal weer W en L van een tekst. Zoek de punten bij de beide waarden op respectievelijk de W-as en de L-as op. Verbind de punten met een rechte lijn en lees op de LG-as af  hoeveel het leesgemak is.
Voorbeeld:  als W = 15 en L = 1,70 is, dan is het leesgemak iets meer dan 60.
         
3p. 8. Als een tekst per zin gemiddeld 15 woorden bevat en het leesgemak moet groter dan 70 zijn, hoeveel lettergrepen kunne de woorden dan gemiddeld hebben? Geef aan hoe je je antwoord gevonden hebt. Je mag gebruik maken van het nomogram.
         
Er zijn 3 'moeilijke' stijlen (variërend van zeer moeilijk tot vrij moeilijk) en 4-niet moeilijke.
         
7p. 9. Arceer in onderstaande figuur het gebied dat hoort bij de niet-moeilijke stijlen. Licht je werkwijze toe.
         

         
Bij een onderzoek naar de leesbaarheid van kranten heeft men het leesgemak bepaald van een groot aantal artikelen uit die kranten. Daarbij blek het leesgemak van artikelen bij benadering normaal verdeeld te zijn.
Neem aan dat LG van de artikelen normaal verdeeld is ,met gemiddelde 67 en standaardafwijking 8.
         
7p. 10. Bereken hoeveel procent van de artikelen tot de stijl "vrij gemakkelijk" behoort.
         
OPGAVE 4.  Aansteker.
         
Aanstekers zijn niet allemaal even goed: de ene aansteker heeft een grotere kans om een vlam te geven dan de andere. Zo'n kans noemen we de vlamkans. Neem aan dat voor iedere aansteker geldt dat de vlamkans bij iedere poging gelijk is en onafhankelijk is van eerdere pogingen.

Stel dat een aansteker een vlamkans heeft van 0,8. In het histogram hieronder is voor k = 1, 2, en 3 aangegeven hoe groot de kans is dat deze aansteker pas bij de k-de poging voor het eerst een vlam geeft.
         

         
4p. 11. Bereken de kansen die behoren bij k = 2 en k = 3.
         
Voordat een aansteker de fabriek verlaat wordt hij getest. Bij de test wordt de aansteker goedgekeurd als hij in maximaal drie pogingen een vlam geeft.

Stel weer dat een aansteker een vlamkans heeft van 0,8. Deze kans is vrij hoog, maar dat betekent nog niet automatisch dat die aansteker goedgekeurd wordt.
         
3p. 12. Bereken de kans dat die aansteker goedgekeurd wordt.
         
5p. 13. Bij welke vlamkans is de kans dat een aansteker afgekeurd wordt 5%? Licht je antwoord toe.
         
Andere manieren van testen zijn ook mogelijk. Bijvoorbeeld: elke aansteker wordt 10 maal achter elkaar geprobeerd.
Als hij drie of meer keer achter elkaar heeft geweigerd in die serie van 10 wordt de aansteker afgekeurd, anders goedgekeurd.
Bij een bepaalde aansteker krijgt men het volgende resultaat bij de test:

N   N   J   N   N   J   N   N   J   N

(N = werkt niet, J = doet het wel)
Deze aansteker wordt dus goedgekeurd.
         
4p. 14. Hoeveel verschillende series met drie keer J en 7 keer N zijn er mogelijk waarbij de aansteker goedgekeurd wordt? Licht je antwoord toe.
         
3p. 15. Hoeveel verschillende series met 3 keer J en 7 keer N zijn er in totaal mogelijk?
         
Bij een serie van 3 keer J en 7 keer N kan de aansteker goedgekeurd worden of afgekeurd worden. Dat is afhankelijk van de volgorde waarin de letters N en J staan.
Bij sommige aantallen J en N in zo'n serie van 10 is de volgorde niet van belang. Zo weet je bijvoorbeeld zeker dat de aansteker wordt goedgekeurd als er slechts één N is voorgekomen.
         
5p. 16. Bij welke aantallen J en N is de volgorde niet van belang voor de uitkomst van de keuring? Licht je antwoord toe.
         
OPGAVE 5.  Assen tellen.
         
Soms zie je over de weg een zwarte kabel liggen verbonden met een kastje. Hiermee wordt geteld hoe vaak de kabel door passerende auto's wordt ingedrukt. Het apparaat telt niet het aantal auto's, maar het aantal assen. Het is niet mogelijk om direct het aantal auto's te tellen omdat niet elke auto - denk maar aan grote vrachtwagens en bussen of personenauto's met aanhanger - twee assen heeft. Voor het gemak maken we slechts onderscheid tussen personenauto's (2 assen) en vrachtwagens (2 of meer assen). Neem in het vervolg van deze opgave aan dat een vrachtwagen 'gemiddeld'  2,64 assen heeft.
         

         
Op zekere dag zijn er 3000 auto's gepasseerd. Neem aan dat 25% van de gepasseerde auto's vrachtwagens zijn.
         
4p. 17. Geef een schatting van het totale aantal assen dat die dag geteld is. Licht je antwoord toe.
         
Op een dag zijn er 3000 auto's gepasseerd.  Het aantal vrachtwagens hiervan was V% van 3000. Een  teller heeft 6635 assen geteld.
         
4p. 18. Bereken V.
         
Het aantal auto's (dus personenauto's en vrachtwagens samen) dat op een werkdag passeert noemen we N, het percentage vrachtwagens noemen we weer V, en het aantal getelde assen noemen we A. Voor V kun je betrouwbare schattingen geven die per dag niet veel zullen variëren, en het aantal getelde assen A wordt dagelijks gemeten. Men wil nu een formule hebben waarmee je uit V en A een schatting voor het aantal gepasseerde auto's N kunt berekenen.
         
4p. 19. Stel zo'n formule op.
         

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.