HAVO WA, 1997 - II

 

OPGAVE 1.  Vervoerswijzen in Duitsland.
       
       

       
Alle vier de categorieën geven een stijging te zien tijdens de periode van 1991 tot 2010
       
4p. 1. Bij welk van deze vier is de relatieve (procentuele) stijging het grootst? Licht je antwoord toe.
       
5p. 2. Bereken het aantal kilometers "met de auto" in 1998.
       
De grafiek van de categorie "per vliegtuig" stijgt sneller dan die van "lopend of per fiets". Stel dat elk van deze twee categorieën ook na 2010 op dezelfde wijze blijft stijgen als tussen 1991 en 2010.
       
6p. 3. Bereken in welk jaar het aantal kilometers "per vliegtuig" even groot zal zijn als het aantal kilometers "lopend of met de fiets".
       
In de figuur ontbreekt een verticale schaalverdeling. De maker van deze figuur vond het waarschijnlijk duidelijker om voor de vier categorieën alleen de afstanden te vermelden in 1991 en in 2010. Bij elk van de zes dunne horizontale lijnen in de figuur past een getal (dus een aantal kilometers).
       
4p. 4. Welke zes getallen zijn dat?
       
OPGAVE 2.  Cadeaus met Sinterklaas en Kerstmis
         
De indruk bestaat dat Sinterklaas minder populair wordt en mensen steeds vaker cadeautjes geven met Kerstmis. Daarom heeft men een onderzoek gedaan onder 5000 personen van 12 jaar en ouder. De resultaten van dit onderzoek staan in de volgende figuur.
         

         
Uit deze figuur worden twee conclusies getrokken:
Conclusie I:  "Het aantal personen dat in 1993 hetzelfde doet als in 1992, blijkt bij Kerstmis iets groter te zijn dan bij Sinterklaas".
Conclusie II: "Bij Sinterklaas zijn er meer 'stoppers' dan 'starters' terwijl dat bij Kerstmis precies andersom is".
         
4p. 5. Toon de juistheid van beide conclusies aan met getallen uit de tabellen van de figuur hierboven.
         
In het vervolg van de opgave beperken we ons tot de tabel over Sinterklaas.  Uit deze tabel kunnen we bijvoorbeeld halen dat 3050 personen in 1992 wel cadeaus geven en 1950 personen niet. Deze en andere gegevens uit de tabel zijn gebruikt om de tabel van Sinterklaas uit de figuur om te werken tot matrix M:
         

         
In deze matrix kun je bijvoorbeeld aflezen dat 87% van de personen die in 1992 met Sinterklaas wel cadeaus geven, dat ook in 1993 doet.
         
4p. 6. Laat met een berekening zien hoe men aan het getal 0,18 in de matrix is gekomen.
         
Uit het onderzoek is bekend hoeveel van de 5000 ondervraagden in 1992 en in 1993 wel of geen cadeaus hebben gegeven met Sinterklaas. Men gaat er van uit dat matrix M ook de daarop volgende veranderingen van jaar tot jaar weergeeft. Daarom kan matrix M gebruikt worden om het aantal cadeaugevers met Sinterklaas in de jaren na 1993 te berekenen.
         
5p. 7. Bereken met behulp van matrix M hoeveel van die 5000 personen in 1994 met Sinterklaas wel cadeaus geven.
         
OPGAVE 3.  Enquête.
         
Als een enquête over een gevoelig onderwerp gaat, zoals sex, misdaad of drugs, dan stuit de onderzoeker op problemen. Mensen zijn bij dit soort onderwerpen niet geneigd om zomaar alles over zichzelf te vertellen. Sommige mensen geven geen antwoord op dit soort vragen. Dit verschijnsel heet non-respons.
         
3p. 8. Leg uit waarom een grote non-respons ongunstig is voor het onderzoek.
         
Bij vragen over gevoelige onderwerpen komt het ook voor dat mensen geen eerlijk antwoord geven. Als de ondervraagden er van overtuigd zijn dat niet te achterhalen is hoe ze hebben geantwoord, zullen ze wel eerlijk willen antwoorden. Daartoe wordt gebruik gemaakt van een 'neutrale' vraag, bijvoorbeeld de vraag "Bent U in de maand april jarig?"  een deel van de ondervraagden beantwoordt de gevoelige vraag, anderen beantwoorden de 'neutrale' vraag. Alleen de ondervraagde zelf weet welke vraag hij heeft beantwoord.

De onderzoeker neemt aan dat de kans dat een willekeurige deelnemer aan de enquête in april jarig is, gelijk is aan 0,082
         
3p. 9. Leg uit hoe de onderzoeker aan het getal 0,082 komt.
         
Een enquête, waarbij men wil uitzoeken hoeveel procent van de bevolking wel eens zonder geldig kaartje reist, wordt nu als volgt opgezet.
Op een tafel staat een vaas met 15 rode en 35 blauwe ballen. Daarnaast liggen enquêteformulieren zoals hieronder afgebeeld.
         

         
Zonder dat de onderzoeker het kan zien pakt de deelnemer aan deze enquête blindelings een bal uit de vaas. Daarna vult hij het formulier in en legt de getrokken bal terug.
 
Zo kan de onderzoeker onmogelijk weten of de ondervraagde vraag 1 of vraag 2 heft beantwoord. Toch kan de onderzoeker bepaalde conclusies uit de enquête trekken. In de figuur hiernaast is deze onderzoeksopzet schematisch weergegeven.

De enquête werd door 1257 mensen ingevuld. We nemen aan dat iedereen een eerlijk antwoord gaf.

Stel dat 9% va degenen die vraag 2 moesten beantwoorden "JA" heeft ingevuld. Van degenen die vraag 1 moesten beantwoorden heeft ook een aantal "JA" ingevuld.

         
7p. 10. Hoeveel keer "JA" mag men in totaal bij deze enquête verwachten? Licht je antwoord toe.
         
De onderzoeker weet uiteraard niet hoeveel procent van degenen die vraag 2 moesten beantwoorden "JA" heeft ingevuld. Anders was de enquête niet nodig geweest. Hij moet dit juist uit het totaal aantal keren "JA" afleiden.
Stel dat in totaal 75 keer "JA" werd geantwoord.
         
6p. 11. Maak op grond van deze uitkomst een schatting van het percentage mensen dat "in de afgelopen drie maanden wel eens met opzet zonder geldig kaartje met het openbaar vervoer reisde". Licht je werkwijze toe.
         
OPGAVE 4.  Scheve verdelingen.
         
Bij archeologische opgravingen vindt men vaak veel gebruiksvoorwerpen zoals bijlen. Deze werden vroeger met de hand gemaakt. Daardoor zijn de afmetingen niet steeds precies hetzelfde. Als de bijlen bij een bepaalde opgraving alle uit een en dezelfde smederij afkomstig zijn, dan zouden we kunnen aannemen dat de breedte (zie onderstaande figuur) van de bijlen bij benadering normaal verdeeld is.
         

         
Vreemd genoeg vindt men bij dit soort onderzoek in plaats van het verwachte symmetrische histogram vaak een scheef histogram, zoals bijvoorbeeld hiernaast.

Bij een symmetrisch histogram is het gemiddelde gelijk aan de mediaan. Bij een scheef histogram is dit in het algemeen niet het geval.
Bij het histogram hiernaast is de mediaan 4,5.

     
4p. 12. Is de gemiddelde breedte van deze bijlen groter of kleiner dan de mediaan? Licht je antwoord toe.
         
Het ene histogram noemen we schever dan het andere. Een maat voor de scheefheid is:
Hierbij is md de mediaan, Q1 het eerste kwartiel en Q3 het derde kwartiel.

We kijken naar het histogram hierboven.
         
6p. 13. Laat met een berekening met deze formule zien dat S positief is. Geef daarbij duidelijk aan hoe je Q1 en Q3 (door berekening of aflezing) gevonden hebt.
         
Aan het begin van de opgave werd gezegd dat, als we aannemen dat alle bijlen uit dezelfde smederij afkomstig zijn, we een normale verdeling mogen verwachten. Door een ongelukkige keuze voor een klasse-indeling is het echter mogelijk dat het bijbehorende histogram niet symmetrisch zal zijn.
Laten we aannemen dat bij een bepaalde soort bijlen de breedte normaal verdeeld is met gemiddelde 3,9 cm en standaardafwijking 0,35 cm. En stel dat voor de volgende klasse-indeling is gekozen:
klasse A:  breedte kleiner dan 3,4 cm.
klasse B:  breedte vanaf 3,4 tot 3,8 cm.
klasse C:  breedte vanaf 3,8 tot 4,2 cm.
klasse D:  breedte 4,2 cm en groter. 
         
6p. 14. Laat door berekeningen zien dat het percentage bijlen in klasse A nu niet gelijk is aan het percentage in klasse D.
         
Naast de 'ongelukkige' keuze voor een klasse-indeling is er nog een andere verklaring voor de scheefheid van het histogram. Het is natuurlijk mogelijk dat de bijlen niet uit één smederij afkomstig zijn, maar uit twee verschillende. Neem aan dat bij elk van deze twee smederijen het histogram symmetrisch is, maar dat de gemiddelden en de standaardafwijkingen verschillend zijn. Hieronder zie je het histogram bij één van deze smederijen getekend.
         
         
4p. 15 Teken in deze figuur een symmetrisch histogram bij de andere smederij en laat zien dat het histogram van de twee smederijen samen een scheef histogram is.
         
OPGAVE 5.  Somato-typering.
         
Vaak worden mensen op grond van hun uiterlijk in vakjes ingedeeld. Iedereen denkt wel eens:  "Wat is die man lang!" of "Wat een dikkerd!".
         

         
De Amerikaan Sheldon heeft een methode bedacht om op grond van een drietal foto's (zie boven) en enkele berekeningen mensen in verschillende groepen in te delen. Hij let daarbij op drie kenmerken (tussen haakjes staan de namen die Sheldon gebruikt):
• V, het 'vetkenmerk' (endomorfie)
• S, het 'spierkenmerk'  (mesomorfie)
• LG, het kenmerk dat te maken heeft met de verhouding tussen de lengte en het gewicht (ectomorfie)
Voor elk van deze kenmerken wordt een cijfer bepaald van 1 tot en met 9. De indeling van Sheldon wordt dus door drie cijfers bepaald.

Het cijfer voor LG wordt als volgt berekend.
Met behulp van de lengte in cm van de betreffende persoon en diens gewicht in kg wordt het getal E berekend:
         
Bij deze E wordt in onderstaande tabel het LG-getal gezocht dat er het dichtst bij ligt. Daaronder lezen we het bijbehorende cijfer af voor die persoon.
         
LG-getal 40,3 41,7 43,1 44,5 45,9 47,3 48,7 50,1 51,5
cijfer 1 2 3 4 5 6 7 8 9
         
Zo kunnen we narekenen dat iemand met een lengte van 203 cm en een gewicht van 90 kg voor LG het cijfer 5 krijgt.

Iemand krijgt voor LG het cijfer 2 en heeft een lengte van 203 cm.
         
5p. 16. Bereken een mogelijk gewicht van deze persoon.
         
In de tabel hierboven is een verband tussen het LG-getal en het cijfer te zien.
         
6p. 17. Onderzoek wat voor soort verband dit is en stel een formule op voor dit verband.
         
Nu betrekken we ook de twee andere kenmerken V en S erbij. Voor ieder van deze twee kenmerken geeft Sheldon ook een cijfer van 1 tot en met 9, maar dat wordt aan de hand van foto's gedaan. Daarbij betekent een 1 dat het betreffende kenmerk nauwelijks aanwezig is en een 9 dat het kenmerk maximaal aanwezig is. Zo ontstaat een code van drie cijfers: eerst het cijfer voor het vetkenmerk V, dan het cijfer voor het spierkenmerk S, en tenslotte het cijfer voor LG.
Iemand met code 119 heeft dus nauwelijks vetweefsel, is niet gespierd en is veel te licht voor zijn lengte. Iemand met code 841 is daarentegen iemand met veel vetweefsel, normaal gespierd, en veel te zwaar voor zijn lengte.
         
3p. 18. Hoeveel verschillende codes zijn er in theorie mogelijk?
         
In allerlei takken van sport hebben de toppers vaak een voor die sport specifieke lichaamsbouw. In de figuur hieronder zie je in een veld van codes de verschillende sporters aangegeven. Bij lange-afstandslopers bijvoorbeeld hoort de code 254. Ook in deze figuur staan de cijfers van de codes in de volgorde V, S, LG.
         

         
5p. 19. Beschrijf, uitgaande van hun codes in deze figuur, twee verschillen tussen de lichaamsbouw van gewichtheffers en lange-afstandslopers.
         

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.