Nieuwe pagina 1

OPGAVE 1. Olympische gedachten.

Nederlandse sporters waren bijzonder succesvol op de Olympische Spelen van 1996 in Atlanta. Het was ditmaal voor het eerst dat de medaillewinnaars een geldprijs van het Nederlands Olympisch Comité (het NOC*NSF) ontvingen. De grootte van de geldprijs die een sporter ontving, hing af van twee zaken:
•	de soort medaille (goud, zilver of brons).
•	het aantal sporters in het team dat de medaille won.
Het NOC*NSF hanteerde daarbij de volgende formule:


In deze formule is Premie het bedrag (in guldens) dat een sporter ontving voor het winnen van een medaille. Verder is n het aantal sporters in het team dat de medaille won (n = 1 als het een individuele sporter betrof; bij een teamsport zoals hockey waarbij 16 spelers het volledige team vormen, is n = 16). Voor m geldt:
•	m = 1 bij een bronzen medaille.
•	m = 2 bij een zilveren medaille.
•	m = 3 bij een gouden medaille.

Het Nederlandse volleybalteam beston uit 12 personen en won goud. Volgens een bepaalde krant had ieder teamlid daarmee recht op een premie van 17 duizend gulden per persoon.

4p.	1.	Is dat het juiste bedrag? Licht je antwoord toe.

Een ander team kreeg in totaal f 56569,- voor het behalen van de zilveren medaille.

4p.	2.	Onderzoek uit hoeveel sporters dit team bestond.

3p.	3.	Stel een formule op die de totale premie per team beschrijft. Maak hierbij ook weer gebruik van de variabelen m en n.

Het NOCNSF had zich, voorafgaand aan de Spelen, verzekerd tegen het uit de hand lopen van de medaillepremies. Voor deze verzekering betaalde het NOCNSF een bedrag van f 450000,-. Consequentie van de verzekering was dat het NOC*NSF nooit meer dan f 300000,- aan medaillepremies zelf hoefde te betalen. Het eventueel resterende bedrag kwam dan voor rekening van de verzekeraar. Nederland behaalde in 1996 vier gouden, vijf zilveren en tien bronzen medailles. Uit vraag 1 en vraag 2 zijn één gouden en één zilveren medaille al bekend. Voor deze twee medailles samen werd ruim f 260000,- aan premies uitbetaald. Stel dat je niet weet of de overige zeventien medailles in individuele of in teamsporten behaald werden.

6p.	4.	Onderzoek nu of je kunt concluderen dat het NOC*NSF er goed aan gedaan heeft om zich te verzekeren. Licht je antwoord toe.

OPGAVE 2. Crown and Anchor.

Crown and Anchor is een oud Engels bordspel. Vroeger werd het veel gespeeld in pubs en op kermissen onder leiding van de zogenaamde playmaster. Het is een simpel gokspelletje.

Het speelbord bestaat uit zes vakken. In ieder vak staat een teken, achtereenvolgens Schoppen, Harten, Ruiten, Klaver, Kroon en Anker.
Zie de figuur hiernaast. Er horen ook nog drie kubusvormige dobbelstenen bij met deze zes tekens op de zijkanten.

Iedereen die wil zet geld in op één van de vakken. De drie dobbelstenen worden gegooid. Winnaars zijn diegenen die ingezet hebben op een van de tekens die de dobbelstenen aangeven. Ze krijgen van de playmaster hun inzet terug plus zoveel maal die inzet als het teken boven kwam.
Er wordt bijvoorbeeld Kroon, Kroon, Klaver gegooid. In dat geval krijgen de kroongokkers in totaal driemaal hun inzet, de klavergokkers tweemaal hun inzet en de overigen zijn hun inzet kwijt.

We bekijken nu het spel van iemand die één shilling zet op Anker.
Hieronder staat een tabel die gedeeltelijk is ingevuld met kansen op het aantal malen Anker in één spel.

aantal maal Anker	0	1	2	3
kans	¹²⁵/₂₁₆	⁷⁵/₂₁₆

5p.

Neem deze tabel over en vul hem verder in. Licht je antwoord met berekeningen toe.

We noemen een spel eerlijk als de te verwachten opbrengst gelijk is aan de inzet. Loterijen en spelletjes als Crown and Anchor zijn natuurlijk nooit eerlijk. De organisator, in dit geval de playmaster, moet er aan verdienen.

5p.

Bereken met behulp van de tabel de winstverwachting van een speler die één keer één shilling inzet op Anchor.

Zoals bij alle gokspelletjes doen ook over Crown and Anchor de wildste verhalen de ronde. Zo beweert men dat er ooit in een pub in Southampton een serie van 22 worpen (van steeds 3 dobbelstenen) achtereen plaatsvond waarbij elke keer minstens één Anker zat.

Hier volgen drie reacties op dit verhaal:

Dit is onmogelijk. Het verhaal is verzonnen.

De kans op die gebeurtenis is wel heel klein. Als het verhaal waar is, moeten de dobbelstenen onzuiver zijn geweest.

De kans op die gebeurtenis is wel erg klein, maar het verhaal kan best waar zijn.

5p.

Met welke van deze reacties ben jij het eens? Licht je antwoord toe, onder andere met een berekening van de bijbehorende kans.

OPGAVE 3. File.

Het aantal auto's dat gebruik maakt van de autosnelweg A2 tussen Amsterdam (Holendrecht) en Utrecht (Oudenrijn) neemt steeds maar toe. Deze weg is opgedeeld in 7 stukken. Voor elk stuk is het gemiddelde aantal motorvoertuigen voor een door-de-weekse dag berekend. Zie de volgende tabel.

	1987			1990
traject	personen- auto's	vracht- auto's	motor- voertuigen	personen- auto's	vracht- auto's	motor- voertuigen
Holendrecht-Abcoude Abcoude-Vinkeveen Vinkeveen-Breukelen Breukelen-Maarssen Maarssen-Utrecht West Utrecht West- Utrecht C Utrecht C-Oudenrijn	102100 95000 87000 85200 83500 90600 101200	12900 12000 11000 10800 10500 11400 12800	115000 107000 98000 96000 94000 102000 114000	117800 110600 101600 99800 99100 106100 118700	13200 12400 11400 11200 10900 11900 13300	131000 123000 113000 111000 110000 118000 132000
Verkeersintensiteiten op de A2 in de corridor Amsterdam-Utrecht in beide richtingen samen per etmaal

4p.

Op welk traject is de stijging van het aantal motorvoertuigen tussen 1987 en 1990 relatief (procentueel) het grootst? Licht je antwoord toe.

Van de aantallen motorvoertuigen in 1990 uit de tabel is ook een grafiek gemaakt. Zie de figuur hier onder. Het is goed dat de aantallen erbij staan, want het aflezen van deze waarden zou lastig zijn.

Er bestaat een lineair verband tussen de totale hoogte van een staaf en het bijbehorende aantal motorvoertuigen.

5p.

Teken een staaf die hoort bij 155000 motorvoertuigen Geef duidelijk aan hoe je de hoogte van die staaf vastgesteld hebt.

Het spreekt vanzelf dat er op een drukke weg als de A2 regelmatig files ontstaan. In de volgende tabel staan gegevens over die files in de jaren 1987 en 1990.

	1987		1990
traject	aantal files	zwaarte km·min	aantal files	zwaarte km·min
Holendrecht-Abcoude Abcoude-Vinkeveen Vinkeveen-Breukelen Breukelen-Maarssen Maarssen-Utrecht West Utrecht West-Utrecht C Utecht C-Oudenrijn	22 83 29 14 9 12 44	7054 27199 11822 8165 2981 3796 17169	24 148 31 45 16 3 11	9824 67292 12413 15954 6299 1226 3092
totaal	213	78186	278	116100
Files op de A2 in de corridor Amsterdam-Utrecht

De zwaarte van een file (in km·min) wordt berekend door de lengte van de file (in km) te vermenigvuldigen met de duur van de file (in minuten). Een file van 5 km lengte die 30 minuten duurt, heeft dus een zwaarte van 150 km·min. In de tabel lees je bijvoorbeeld af dat in 1987 de 22 files op het traject Holendrecht-Abcoude samen een zwaarte hadden van 7054 km·min.

Hieronder staan twee uitspraken:

De gemiddelde zwaarte van alle files is in 1990 groter dan in 1987.

Hoe groter het aantal motorvoertuigen op een traject, hoe meer files op dat traject.

4p.

10.

Zeg van elke uitspraak of hij op grond van de gegevens in de bovenstaande twee tabellen uit deze opgave waar is of niet. Licht je antwoorden toe.

De zwaarte van een file is afhankelijk van de lengte en de tijdsduur van de file. Als je de zwaarte vast neemt, bijvoorbeeld 150 km·min, zijn er allerlei combinaties van lengte en tijdsduur mogelijk. Deze mogelijkheden kunnen in een grafiek worden getekend, waarbij op de horizontale as de lengte (in km) is uitgezet en op de verticale as de tijdsduur (in minuten).

4p.

11.

Teken de grafiek voor files met een zwaarte van 150 km·min. Licht je werkwijze toe.

Stel dat de ontwikkeling die in de laatste tabel te zien is, zich in de jaren na 1990 zou voortzetten. Dan zou het totaal aantal files op deze weg wel eens enorm groot kunnen worden. Daarbij maakt het wel verschil of de ontwikkeling van het totaal aantal files van 1987 tot 1990 het begin was van een lineair groeiproces of van een exponentiële groei. Zowel met lineaire groei als met exponentiële groei is het totaal aantal files in 1999 te berekenen. De twee uitkomsten zijn niet gelijk.

6p.

12.

Hoeveel verschillen de twee uitkomsten? Licht je antwoord toe.

OPGAVE 4. Langer open, meer omzet.

Sinds 1 juni 1996 mogen supermarkten vaker 's avonds open zijn. Niet iedere supermarkt doet dit echter. Dit blijkt uit een onderzoek van een marktonderzoeksbureau over de maanden juni en juli 1996. Bij dit onderzoek heeft men de supermarkten in drie verschillende soorten verdeeld:
I:	supermarkten die vanaf 1 juni 1996 geen langere openingstijden hebben.
II:	supermarkten die vanaf 1 juni 1996 slechts af en toe langer open zijn.
III:	supermarkten die vanaf 1 juni 1996 structureel langer open zijn.

In onderstaande matrix A vind je gegevens over de klanten van de supermarkten in verband met de veranderde winkeltijden. In de matrix zie je bijvoorbeeld dat 7,3% van de klanten van supermarkten die geen langere openingstijd hebben (soort I), twee maanden na 1 juni 1996 klant is geworden van een supermarkt die sinds 1 juni 1996 wel af en toe langer geopend is (soort II).



5p.	13.	Verklaar met behulp van de gegevens uit matrix A waarom we wel kunnen concluderen dat minder dan 20% van het totaal aantal klanten twee maanden na 1 juni 1996 van soort supermarkt is veranderd, maar we niet kunnen uitrekenen hoe groot dat percentage precies is.

Veronderstel dat matrix A van toepassing is op een stad waar drie, in soort verschillende, supermarkten zijn. Tot 1 juni 1996 was de verdeling van de klanten over deze supermarkten als volgt: soort I: 4000 klanten, soort II: 5000 klanten, soort III: 6000 klanten.

5p.	14.	Bereken het aantal klanten van elk van de drie supermarkten twee maanden later.

Bij het eerder vermelde onderzoek werd niet alleen gelet op aantallen klanten maar werd ook de eventuele verandering in omzet van de verschillende soorten supermarkten bestudeerd. Een opmerkelijke uitkomst was dat de totale maandelijkse omzet van alle supermarkten samen niet veranderd bleek door de invoering van langere openingstijden. Zowel voor als na 1 juni 1996 bedroeg deze totale maandelijkse omzet 1,4 miljard gulden. De omzet van soort III bleek sinds 1 juni 1996 gestegen. Het onderzoek vermeldde verder dat deze omzet, vergeleken met hun omzet voor 1 juni 1996, met 2,7% toegenomen was. In de periode voor 1 juni 1996 had soort III een aandeel van 69% van de totale maandelijkse omzet (van 1,4 miljard gulden).

5p.	15.	Met hoeveel procent is de totale omzet van de supermarkten van soort I en II samen gedaald, vergeleken met hun totale omzet in de periode voor juni 1996? Licht je antwoord toe.

In de figuur hieronder staan omzetgegevens van van de Nederlandse supermarkten. Alle omzetpercentages in deze figuur zijn de omzetpercentages van de periode voor 1 juni 1996. Ook staan er percentages van de aantallen supermarkten, rekening houdend met de soorten I, II en III. Verder is nog van belang te weten dat een supermarkt eigendom van een zelfstandige winkelier kan zijn: de zogenaamde zelfstandige supermarkt. Dit in tegenstelling tot de supermarkten die eigendom van een grote winkelketen zijn: de zogenaamde filiaalbedrijven.



In de kop van deze figuur staat dat zelfstandige supermarkten veel minder vaak voor langere openingstijden kozen. "Het is maar de vraag of hier sprake was van een keuze", zo beweren tegenstanders van de nieuwe wet. "Vooral voor kleine zelfstandige supermarkten- heel weinig personeel, kleine omzet- is het vaak niet mogelijk om langer open te zijn".

3p.	16.	Onderzoek met de figuur hierboven of je inderdaad vast kunt stellen dat het van de zelfstandige supermarkten juist de kleine zijn die 'niet langer open' zijn.

OPGAVE 5. Tennisballen.

Een fabrikant maakt tennisballen (zie foto). Deze fabrikant wil dat zijn product bij competitiewedstrijden en op toernooien gebruikt mag worden. De Koninklijke Nederlandse Lawn Tennis Bond (KNLTB) stelt aan ballen die daarvoor gebruikt mogen worden de volgende eis: "Het gewicht van de bal dient te liggen tussen 56,7 en 58,5 gram". Het gewicht van de tennisballen van de fabrikant is normaal verdeeld met een gemiddelde van 57,6 gram en een standaardafwijking van 0,44 gram.

5p.	17.	Laat zien dat ongeveer 96% van deze tennisballen aan de eis voldoet.

Verder stelt de KNLTB nog een eis aan de zogenaamde stuithoogte van de bal. In de KNLTB-reglementen staat: "De bal wordt losgelaten op een hoogte van 254 cm boven een betonnen vloer. De stuithoogte van de bal dient groter te zijn dan 135 cm en kleiner dan 147 cm. De stuithoogte te meten vanaf het vloeroppervlak tot onderkant bal". De fabrikant heeft zelf vastgesteld dat 94% van zijn tennisballen voldoet aan deze tweede eis. Daarbij is ook gebleken dat de stuithoogte normaal verdeeld is met een gemiddelde van 141 cm.

4p.	18.	Bereken de standaardafwijking van de stuithoogte van deze ballen.

We nemen aan dat het gewicht van een bal geen invloed heeft op de stuithoogte.

3p.	19.	Hoeveel procent van de door deze fabrikant gemaakte tennisballen zal aan beide eisen van de KNLTB voldoen? Licht je antwoord toe.

De KNLTB heeft de volgende procedure om tennisballen te keuren. Er worden 18 tennisballen van de fabrikant betrokken. Hier kiest men aselect 10 exemplaren uit. Als er nu bij het testen minimaal 9 van die 10 ballen aan beide eisen voldoen, dan wordt dit type tennisballen goedgekeurd. Veronderstel dat bij de 18 ballen die de KNLTB van de fabrikant betrekt, 16 ballen zitten die aan beide eisen zullen voldoen en 2 ballen die dat niet zullen doen.

5p.	20.	Bereken de kans dat dit type tennisballen door de KNLTB wordt goedgekeurd.

UITWERKING

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

HAVO WA, 1998 - II