HAVO WA, 2015 - II PILOT

 

Maagbandje.
       
In de periode 1981–2004 zijn volwassen Nederlanders gemiddeld een stuk dikker geworden. Vooral het aantal mensen met obesitas, extreem overgewicht, is enorm toegenomen. Zie de volgende tabel.
       

jaar

 aantal
volwassen
mannen		 % volwassen
mannen met
obesitas		 aantal
volwassen
vrouwen		 % volwassen
vrouwen met
obesitas
1981 5056000 4% 5033000 6%
2004 6211000 10% 6452000 12%
       
4p. 1. Bereken met hoeveel procent het aantal volwassen mannen met obesitas in 2004 is toegenomen ten opzichte van 1981.
     

 
De Body Mass Index (BMI) geeft aan of iemand een gezond gewicht heeft of niet. Bij een BMI van 18,5 tot 25 is er sprake van een gezond gewicht. Bij hogere waarden dan 25 is er sprake van overtollige BMI. Mensen met obesitas hebben een BMI vanaf 35, dus een overtollige BMI van minimaal 10.
Het is beter voor de gezondheid dat mensen met obesitas afvallen. Als dat niet lukt, kan plaatsing van een maagbandje een oplossing zijn. Door het maagbandje wordt de maag verkleind, zodat men minder kan eten.

Een ziekenhuis heeft bij 267 personen, 39 mannen en 228 vrouwen, een maagbandje geplaatst en het effect ervan onderzocht. Bij dit onderzoek berekende men voor alle personen het VOB (Verliespercentage Overtollige BMI) twee jaar na plaatsing van het maagbandje.
Bijvoorbeeld: een man met een BMI van 45 heeft een overtollige BMI van 20. Als zijn BMI na twee jaar gedaald is van 45 naar 40, is hij van zijn overtollige BMI 5 kwijtgeraakt. Zijn VOB is dan 5/20•100(%) = 25(%).
Het VOB kan ook negatief zijn; dan is de BMI gestegen. In onderstaande tabel staan de onderzoeksresultaten.
       
    mannen vrouwen
aantal personen 39 228
vóór plaatsen
maagbandje		 laagste BMI 36,2 36,1
hoogsteBMI 60,1 69,0
twee jaar na plaatsen
maagbandje		 laagste VOB 9,4 (%) -10,0 (%)
hoogste VOB 80,4 (%) 97,8 (%)
       
De vrouw die vóór plaatsing van het maagbandje de hoogste BMI had, bleek twee jaar daarna een VOB van 58(%) te hebben.
       
4p. 2. Bereken haar BMI twee jaar na plaatsing van het maagbandje.
     

 
Iemand concludeert op grond van de tabel: "Het is in deze groep mensen niemand gelukt om na twee jaar een gezond gewicht te hebben."
       
3p. 3. Leg uit of deze conclusie juist is.
     

 

Een man met een BMI van 41,2 krijgt een maagbandje. Na het plaatsen van het maagbandje verliest de man elke week iets van zijn BMI. Deze afname per week van zijn BMI wordt gegeven door de volgende formule:

A = 1,5 • 0,85w

waarin A de afname van zijn BMI is in week w (met w = 1,2,3,...) na plaatsing van het maagbandje.
       
4p. 4. Bereken zijn BMI zes weken na plaatsing van het maagbandje.
     

  

 

 

Schommelen.
       

In bijna elke speeltuin staat wel een schommel.
De tijd waarin je één keer met de schommel heen en weer zwaait, is afhankelijk van de lengte van het schommeltouw. Voor de tijd T waarin je één keer heen en weer zwaait, geldt de formule:
       

       
In deze formule is T de tijd in seconden en L de lengte van het schommeltouw in meters. In de figuur is L aangegeven.

Van een schommel is de lengte van het schommeltouw 1,80 meter.

     
3p. 5.

Bereken hoeveel keer per minuut je heen en weer zwaait op deze schommel.
     

De gegeven formule is te herleiden tot een vorm waarin L uitgedrukt is in T, namelijk L = 0,249T 2 .

Het getal 0,249 in deze formule is  afgerond.
       
5p. 6. Herleid de formule voor T tot de formule L = 0,249T2 .
       

Meneer Voortmans is een schommel aan het bouwen voor zijn kinderen. De houten palen en de horizontale balk zijn al klaar. Het schommeltouw zal aan de horizontale balk op een hoogte van 2,70 meter boven de grond bevestigd worden. Voordat hij touw gaat kopen, moet hij bepalen welke lengtes voor het schommeltouw mogelijk zijn.
Hij heeft gelezen dat het zitje in de rustpositie minimaal 0,35 meter boven de grond moet hangen en maximaal 0,63 meter. Verder wil hij dat het heen en weer zwaaien niet te snel gaat: hij wil dat één keer heen en weer zwaaien minstens 3 seconden duurt.
       
4p. 7.

Onderzoek hoe groot de minimale en maximale lengte voor het schommeltouw is. Geef je antwoord in hele cm nauwkeurig.
       

Wanneer het schommeltoestel klaar is, moet meneer Voortmans bepalen hoeveel materiaal er nodig is voor een schokdempende rechthoekige ondergrond. In onderstaande figuur is deze ondergrond met lichtgeel aangegeven.
       

       

De schokdempende ondergrond wordt 3,00 meter breed. Om de lengte van de schokdempende ondergrond te bepalen houdt hij zich aan de wettelijke eis. Deze is: vanaf het punt recht onder het zitje in rustpositie dient zowel naar voren als naar achteren de schokdempende ondergrond een lengte U (in meters) te hebben, waarvoor geldt:

U = 0,867L + 1,75

Ook in deze formule is L de lengte van het schommeltouw in meters. In bovenstaande figuur is U aangegeven.

Het materiaal voor de schokdempende ondergrond kost 38 euro per vierkante meter. Dit materiaal hoeft niet in een geheel aantal vierkante meters ingekocht te worden.
Meneer Voortmans heeft besloten het schommeltouw 2,33 meter lang te maken. Je kunt berekenen dat de schokdempende ondergrond dan ruim 850 euro kost.
       
3p. 8. Bereken dit bedrag in hele euro’s nauwkeurig.
       

Wanneer de lengte L (in meters) van het schommeltouw niet bekend is, kan een formule worden opgesteld voor de kosten K (in euro’s) van een schokdempende ondergrond met een breedte van 3,00 meter. Deze formule kan geschreven worden in de vorm K = a • L + b waarbij a en b getallen zijn.
       
4p. 9.

Bereken de waarden van a en b. Rond deze waarden zo nodig af op gehele getallen.
       
Dammen.
       

Ieder jaar vindt het Nederlands Kampioenschap Dammen plaats. Er zijn twee aparte toernooien, één voor mannen en één voor vrouwen. De opzet van beide toernooien is gelijk: elke deelnemer speelt één partij tegen elke andere deelnemer.

Aan het mannentoernooi nemen 14 spelers deel.
       
3p. 10.

Bereken het totaal aantal partijen dat in het mannentoernooi gespeeld wordt.
       

Een gewonnen partij levert 2 punten op en een verloren partij 0 punten.
Als een partij onbeslist eindigt, is er sprake van remise. Beide spelers krijgen dan 1 punt.
Het toernooi wordt in verschillende ronden gespeeld. In de volgende figuur staat het ingevulde uitslagenbord van de eerste ronde van het vrouwentoernooi van 2012. Je kunt zien dat aan het vrouwentoernooi slechts 10 speelsters deelnamen. Ook zie je de uitslag van elk van de 5 partijen.
Zo eindigde de partij tussen Mei-Jhi Wu en Heike Verheul in remise en won Nina Hoekman van Leonie de Graag.
       

       

Voordat de tweede ronde begint, ligt al vast welke spelers tegen elkaar gaan spelen. Het uitslagenbord ziet er dan nog leeg uit. Zie de volgende figuur.
       

       

Na afloop van de tweede ronde zal het uitslagenbord helemaal ingevuld zijn.
       
3p. 11.

Bereken hoeveel verschillend ingevulde uitslagenborden er voor de tweede ronde mogelijk zijn.
       

Nina Hoekman werd in 2012 kampioene bij de vrouwen. Ze won de eerste zes partijen, daarna speelde ze tweemaal remise en de laatste partij won ze weer. Na 9 partijen had zij daarmee in totaal 16 punten behaald.

Hoekmans resultatenlijstje kunnen we noteren als: W - W - W - W - W - W - R - R - W

Er zijn veel meer resultatenlijstjes mogelijk waarbij in 9 partijen 16 punten behaald worden.
       
4p. 12. Bereken hoeveel van zulke resultatenlijstjes er in totaal mogelijk zijn.
       
Gordijnen.
       
Veel mensen hebben geplooide gordijnen voor de ramen hangen. Om zo’n gordijn te maken, heb je gordijnstof nodig. Deze wordt verkocht in verschillende stofbreedtes. In veel gevallen is de gordijnstof niet breed genoeg om er een passend gordijn mee te maken. Daarom wordt er vaak eerst een rechthoekige lap van gemaakt door meerdere banen gordijnstof aan elkaar te naaien. Daarna worden de plooien gemaakt en wordt het geheel afgewerkt tot een gordijn, waarbij de banen altijd verticaal komen te hangen. Zie de figuur.
       

       
Om een gordijn met een bepaalde breedte te kunnen maken, is het nodig dat de oorspronkelijke lap minimaal 2 en maximaal 2,5 keer zo breed is als het uiteindelijke gordijn. Deze verhouding noemen we de plooiverhouding.

Gerard maakt een gordijn van één baan gordijnstof met een stofbreedte van 140 cm. Hij wil dat het gordijn zo breed mogelijk wordt.
       
2p. 13. Bereken de maximale breedte van het gordijn.
     

 
In de vorige vraag wordt geen rekening gehouden met het afwerken van de zijkanten van het gordijn. Toch is dat wel nodig. Ook bij het aan elkaar zetten van de banen gaat gordijnstof verloren. In de ateliers waar gordijnen worden gemaakt, gebruikt men de volgende formule om het aantal banen te berekenen:
       

       
Hierin is B het aantal banen, G de breedte van het gordijn in cm, S de stofbreedte in cm en P de plooiverhouding. In de ateliers rekent men altijd met een geheel aantal banen; men rondt B altijd naar boven af om niet te weinig te hebben.

In een atelier moet men een gordijn maken van 275 cm breed. De stofbreedte is 140 cm en men gebruikt de plooiverhouding 2,5.
       
3p. 14. Bereken het benodigde aantal banen.
     

 
Voor de afwerking van het gordijn aan de  boven- en onderkant wordt in totaal 30 cm per baan gerekend. Als het gordijn bijvoorbeeld 100 cm hoog moet worden, is er dus 130 cm gordijnstof per baan nodig.

Karen laat een gordijn maken met een breedte van 280 cm, een hoogte van 170 cm en een plooiverhouding 2. Ze heeft hiervoor een gordijnstof gekozen met een stofbreedte van 90 cm. Deze stof kost €12,95 per strekkende meter. Zie de figuur.

Het atelier rekent alleen de kosten van de gordijnstof, het maken is bij de prijs inbegrepen.

     
4p. 15. Bereken hoeveel Karen voor het gordijn moet betalen.
   

 
Bij een plooiverhouding van 2,5 kan de formule van B tot  G =  0,4B • (S - 7) worden herleid.
     
4p. 16. Geef deze herleiding.
   

  

  
Flitsleningen.
       
Geld lenen kost geld. Soms kost het heel veel geld. Vooral als je direct een paar honderd euro nodig hebt. In dit soort situaties kun je een flitslening nemen. Je leent een niet al te groot geldbedrag en betaalt dit na een korte periode terug.

Er bestaan verschillende websites waar je geld kunt lenen. Op de website flitsmoney.nl staat dat er geen rente wordt berekend. Je hoeft alleen behandelingskosten te betalen. Zie de volgende tabel.
       
te lenen bedrag (in euro) behandelingskosten (in euro)
100,00 25,00
250,00 62,50
300,00 75,00
375,00 93,75
       
Als je bijvoorbeeld € 100,00 wilt lenen, krijg je dit geld binnen 10 minuten op je bankrekening. Dit bedrag moet samen met de € 25,00 behandelingskosten na 30 dagen worden terugbetaald.

Er is bij Flitsmoney een (recht) evenredig verband tussen het totaal terug te betalen bedrag en het te lenen bedrag.
       
4p. 17. Laat dit met berekeningen zien. Controleer hiervoor alle waarden in de tabel.
     

 
Iemand leent bij Flitsmoney een bedrag van €250,00. Hij heeft dus een schuld van €250,00. Na 30 dagen is die schuld opgelopen tot €312,50. Als je uitgaat van exponentiële groei, kun je berekenen dat de schuld dagelijks met ongeveer 0,75% groeit.
       
4p. 18. Bereken dit percentage in drie decimalen nauwkeurig.
     

 
Zo’n flitslening is duur. Een schuld die dagelijks 0,75% groter wordt, zou na een jaar fors gegroeid zijn.
       
4p. 19. Bereken het groeipercentage per jaar.
     

 
Op de website supersnelcash.nl kun je ook geld lenen. Het verschil met Flitsmoney is dat Supersnelcash het door jou aangegeven bedrag direct vermindert met de behandelingskosten. Je moet dus een hoger bedrag aangeven dan het bedrag dat je echt wilt lenen.
In onderstaande tabel zie je bijvoorbeeld dat je maar €243,90 op je bankrekening krijgt als je een bedrag van €300,00 aangeeft. Supersnelcash rekent hiervoor namelijk €56,10 aan behandelingskosten. Deze behandelingskosten zijn (recht) evenredig met het geleende bedrag. Daarnaast stuurt Supersnelcash je een sms’je ter bevestiging. Dat sms’je kost je nog eens €1,50. De totale kosten K zijn in dit voorbeeld dus €57,60.
       
aangegeven
bedrag
(in euro)		 bedrag L dat
geleend wordt
(in euro)		 behandelingskosten
(in euro)		 kosten sms'je
(in euro)
100,00 81,30 18,70 1,50
300,00 243,90 56,10 1,50
400,00 325,20 74,80 1,50
500,00 406,50 93,50 1,50
       
Er is bij Supersnelcash een lineair verband tussen de totale kosten K in euro en het geleende bedrag L in euro dat de klant op zijn bankrekening krijgt.
Er geldt dus: K =  a  • L  + b
       
4p. 20. Bereken a en b. Rond je antwoorden zo nodig af op twee decimalen.
     

  

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. 1981:  4% van 5056000 is  0,04 • 5056000 =202240 mannen
2004:  10% van 6211000 is  0,10 • 6211000 = 621100 mannen
Dat is een toename van 418860 en dat is  418860/202240 • 100% = 207,11%
   
2. De vrouw had een BMI van 69,1 dus haar overtollige BMI was  69,1 - 25 = 44,1
58% daarvan is  0,58 • 44,1 = 25,578
Haar nieuwe overtollige BMI is dus 25,578 dus haar BMI is 69 - 25,578 = 43,522
   
3. Voor een gezond gewicht zal het totale overtollige BMI weg moeten zijn
Dus moet er een afname van 100% zijn.
De hoogste afname is 97,8%, dus de conclusie klopt:  niemand heeft na 2 jaar een gezond gewicht.
   
4. A(1) = 1,5 • 0,851 = 1,28
A(2) = 1,5 • 0,852 = 1,08
A(3) = 1,5 • 0,853 = 0,92
A(4) = 1,5 • 0,854 = 0,78
A(5) = 1,5 • 0,855 = 0,67
A(6) = 1,5 • 0,856 = 0,57
Samen is dat een afname van  5,3
Zijn BMI wordt dan 41,2 - 5,3 = 35,9
   
5. T = 6,28 • √(1,8/9,81) = 2,69 seconden
Dat is per minuut  60/2,69 = 22,3 keer.
   
6. T = 6,28 • (L/9,81)0,5
T = 6,28 • L0,5 • (1/9,81)0,5
T = 6,28 • 0,1020,5 • L0,5
T = 2,01 • L0,5
T2 = 4,02 • L
1/4,021 • T2 = L
L = 0,249T2  
   
7. Minimaal 0,35 m boven de grond geeft  L ≤ 2,70 - 0,35 = 2,35
Maximaal 0,63 m boven de grond geeft  L ≥ 2,70 - 0,63 = 2,07

T minstens 3 seconden
Y1 = 3
Y2 = 6,28*√(X/9,81)
Intersect geeft  X = 2,24  dus L ≥ 2,24

Samen geeft dat minimale lengte 2,24 en maximale lengte 2,35
   
8. U = 0,867 • 2,33 + 1,75 = 3,77
De oppervlakte is dan 2 • 3,77 • 3 = 22,62 m2
Dat kost 22,62 • 38 = 859,58 euro dus afgerond 860 euro
   
9. U = 0,867 • L + 1,75
de oppervlakte is dan 2 • U • 3 = 6 • U
de kosten zijn dan 38 • 6U = 228(0,867L + 1,75) = 197,676U + 399
Afgerond:  a = 198  en  b = 399
   
10. Elke speler speelt 13 partijen, dus dat zijn 14 • 13 = 182 partijen.
Maar dan is elke partij dubbel geteld, dus er zijn 182/2 = 91 partijen.
   
11. Bij elke partij zijn drie mogelijke uitslagen  (20, 11, 02)
Dat zijn 35 = 243 mogelijke uitslagenborden.
   
12. 16 punten is 7 kker winst en twee keer remise  OF  8 keer winst en een keer verlies.
Het aantal rijtjes met 7W en 2R  is  9 nCr 2 = 36
Het aantal rijtjes met 8W en 1V is  9 nCr 1 = 9
Samen zijn dat 36 + 9 = 45 mogelijke uitslagen.
   
13. Het gordijn wordt zon breed mogelijk als de plooiverhouding zo klein mogelijk is, dus gelijk aan 2.
Dan is de breedte 140/2 = 70 cm.
   
14. G = 275,  S = 140,  P = 2,5
invullen:  B = 275/(140 - 7) • 2,5 = 5,2
Er zijn dus 6 banen nodig.
   
15. G = 280, S = 90 en P = 2  geeft  B = 280/(90 - 7) • 2 = 6,74 dus er zijn 7 banen nodig.
Elke baan heeft hoogte 170 + 30 = 200 cm = 2 m
Dat kost dan  per baan  2 • 12,95 = 25,90
De totale kosten voor 7 banen zijn dan 7 • 25,90 = €181,30   
   
16. B = G/(S - 7) • 2,5
B = 2,5G/(S - 7)
B(S - 7) = 2,5G
1/2,5 • B(S - 7) = G
0,4B(S - 7) = G
   
17. Als het recht evenredig is, dan is y = ax  dus  y/x = a en is dus steeds constant.
De totale kosten zijn achtereenvolgens  125 - 312,50 - 375 - 468,75
Dat geeft voor y/x de waarden:  125/100 en  312,50/250  en  375/300 en 468,75/375
Dat is allemaal gelijk (aan 1,25) dus er is inderdaad sprake van een recht evenredig verband.   
   
18. Voor exponentiële groei geldt  y = B • gx
De gegevens invullen:   312,50 = 250 • g30
g30 = 312,50/250 = 1,25
g = 1,25(1/30) = 1,00747
Dat is een groei van 0,747%
   
19. g = 1,0075 en t = 365 (dagen)
Neem beginhoeveelheid 100
y = 100 • 1,00765365 = 1529,13
Van 100 naar  1529,13  dat is een groei van  1429,13 %
   
20. Kies twee koppeltjes van K en L die bij elkaar horen.
Bijvoorbeeld  K = 57,60 en L = 243,90  die al gegeven is.
L = 81,30 geeft  K = 18,70 + 1,50 = 20,20
We zoeken een rechte lijn door de punten (243.90, 57.60) en (81.30, 20.20)

a = Δy/Δx =  (57,60 - 20,20)/(243,90 - 81,30) = 37,40/162,60 = 0,23

bijv,  (81.30, 20.20) invullen geeft dan   20,20 = 0,23 • 81,30 + b
20,20 = 18,699 + b
b = 1,501
Dus   a = 0,23 en b = 1,50