HAVO WA, 2016 - II   PILOT
BMI Hoger dan je denkt.
       

Jarenlang nam in Nederland de gemiddelde lengte van volwassen mannen en vrouwen toe. Ook aan het einde van de vorige eeuw was dat nog zo: op 1 januari van het jaar 1981 waren Nederlandse mannen gemiddeld 177,3 cm lang en op 1 januari 2000 was de gemiddelde lengte toegenomen tot 180,4 cm. Dit proces verliep bij benadering lineair.
Wanneer we ervan uitgaan dat deze groei zich op dezelfde wijze voortzet, kan met behulp van lineair extrapoleren de gemiddelde lengte van de Nederlandse mannen op 1 januari 2050 berekend worden.
       
3p

1.

Bereken de gemiddelde lengte van de Nederlandse mannen op 1 januari 2050.
     

 

Ook de gemiddelde lengte van de Nederlandse vrouwen nam bij benadering lineair toe van 1981 tot het jaar 2000. Zie de figuur.
       

       

Voor deze periode kan voor de gemiddelde lengte van de Nederlandse vrouwen een formule opgesteld worden van de vorm

l = a • t + b

Hierin is l de gemiddelde lengte in cm en t de tijd in jaren waarbij geldt dat t = 0 op 1 januari 1981; a en b zijn getallen.
       

4p.

2.

Stel deze formule op, gebruikmakend van de gemiddelde lengte op 1 januari 1981 en de gemiddelde lengte op 1 januari 2000.
     

 

Jaarlijks wordt voor een onderzoek aan een groot aantal personen gevraagd hun lengte te schatten. We noemen deze lengte de geschatte lengte. Daarnaast wordt de lengte nauwkeurig door een onderzoeker gemeten. We noemen deze lengte de werkelijke lengte.
De geschatte lengte en de werkelijke lengte worden vervolgens met elkaar vergeleken. Het blijkt dat mensen in het algemeen hun lengte te hoog schatten.

In het onderzoek van een bepaald jaar schatten de vrouwen hun lengte gemiddeld 0,9 cm hoger dan hun werkelijke lengte. De standaardafwijking van de werkelijke lengte was 6,0 cm. De standaardafwijking van de geschatte lengte was 6,2 cm.
       

3p.

3.

Bepaal met behulp van een vuistregel op het formuleblad of het verschil tussen de werkelijke lengte en de geschatte lengte gering, middelmatig of groot is.
     
In het algemeen schatten mensen hun lengte dus te hoog. Tegelijkertijd geldt dat ze hun gewicht te laag schatten: ze denken minder te wegen dan ze in werkelijkheid wegen. Dit heeft gevolgen voor de BMI (Body Mass Index). Dit is een maat voor het al dan niet te zwaar zijn van een persoon.
De formule voor de BMI luidt:

       

In deze formule is G het gewicht in kg en L de lengte in meters.
Als de BMI van iemand groter is dan 25, spreekt men van overgewicht.
Uiteraard behoren mensen hun BMI te berekenen met behulp van hun werkelijke lengte en gewicht. Als mensen echter hun geschatte lengte en gewicht gebruiken, levert dat een andere BMI op.

Er is bij minder mensen sprake van overgewicht als zij hun BMI met hun eigen schattingen berekenen in plaats van met hun werkelijke lengte en gewicht.
       

3p.

4.

Beredeneer dit met behulp van de formule voor de BMI, zonder voor G en L getallen in te vullen.
     

 

 

 

Zorginfecties.
       

Patiënten die voor een behandeling enige tijd in een ziekenhuis worden opgenomen, lopen tijdens dit verblijf het risico een infectie te krijgen. Zo’n infectie wordt een zorginfectie genoemd. Een deel van de zorginfecties ontstaat na een operatie.

In de periode 2007 tot en met 2012 is een steekproef gehouden onder een deel van de Nederlandse ziekenhuizen. Enkele resultaten hiervan zijn in de tabel te zien.
       
  aantal
patiënten 95299
patiënten die een zorginfectie hebben opgelopen 4694
geopereerde patiënten 32664
geopereerde patiënten die een zorginfectie hebben opgelopen 1286
       

We nemen aan dat de patiënten in deze ziekenhuizen representatief zijn voor alle patiënten die in een Nederlands ziekenhuis worden opgenomen.
Dan kunnen we op basis van de gegevens in de tabel schatten hoeveel procent van alle in Nederland geopereerde patiënten in de genoemde periode een zorginfectie opliep.
       

4p.

5.

Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval van dit percentage. Rond de getallen in je eindantwoord af op één decimaal.
       

Het is mogelijk om op basis van de tabel een kruistabel te maken. Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt met deze kruistabel. Met behulp van de ingevulde kruistabel kun je bepalen of het verschil in het krijgen van een zorginfectie tussen geopereerde en niet-geopereerde patiënten groot, middelmatig of gering is.
       

6p.

6.

Vul de kruistabel hieronder in en bepaal daarmee, en met behulp van een vuistregel op het formuleblad, of het genoemde verschil groot, middelmatig of gering is.
       
   

 

geopereerd
wel niet totaal
zorginfectie
opgelopen		 wel      
niet      
totaal      
       
In deze kruistabel worden variabelen gebruikt.
       

4p.

7.

Noem de variabelen uit de kruistabel en geef aan of deze variabelen kwalitatief of kwantitatief zijn. Licht je antwoord toe.
       

In de periode 2007 tot en met 2012 daalde in Nederland het percentage patiënten met een zorginfectie. Zie de figuur.
       

       

We gaan ervan uit dat elke patiënt die een zorginfectie oploopt, 4 extra verpleegdagen nodig heeft. In 2007 bedroeg de kostprijs van elke extra verpleegdag € 1140. Daarna steeg deze kostprijs jaarlijks met 3%.
In 2007 werden er 1,8 miljoen patiënten in een ziekenhuis opgenomen, in 2012 waren dat er 2,0 miljoen.
Zowel de kostprijs per extra verpleegdag als het totaal aantal patiënten steeg. Maar omdat het percentage patiënten met een zorginfectie daalde, waren de totale kosten van de extra verpleegdagen ten gevolge van zorginfecties in 2012 lager dan in 2007. Op basis van bovenstaande gegevens kan berekend worden hoeveel deze kosten lager waren.
       

5p.

8.

 Bereken dit bedrag. Rond het antwoord af op miljoenen euro’s.
       
Random close packing
       

Op een braderie zie je wel eens een glazen pot staan, helemaal gevuld met even grote knikkers. Tegen betaling van een bepaald bedrag mag je raden hoeveel knikkers er in de pot zitten. Degene die het aantal precies raadt of er het dichtst bij zit, wint een prijs.
Uit onderzoek blijkt dat de knikkers ongeveer 64% van de beschikbare ruimte innemen. Dit gegeven maakt het mogelijk een redelijke schatting te geven van het aantal knikkers in de pot. Hiervoor gebruiken we het volgende stappenplan:
     
-

Bepaal de diameter van een knikker en bereken daarmee de inhoud van een knikker.
-

Bereken 64% van de inhoud van de glazen pot en deel dit door de inhoud van één knikker. Het afgeronde antwoord is een redelijke schatting van het aantal knikkers in de pot.
       

De inhoud van een knikker is te berekenen met de formule:     Iknikker = 0,5236 • d3   (formule 1)

Hierin is d de diameter van de knikker in cm en Iknikker de inhoud van een knikker in cm3.

Een glazen pot met een inhoud van 800 cm3 is helemaal gevuld met knikkers, die elk een diameter van 1,3 cm hebben.
       

3p.

9.

Geef, met behulp van het hierboven beschreven stappenplan en formule 1 een redelijke schatting van het aantal knikkers in de pot.
       

Het aantal knikkers in de gevulde pot hangt af van de inhoud van de pot en van de diameter van de knikkers. Er geldt:
 

 

Hierin is d de diameter van de knikkers in cm en Ipot de inhoud van de glazen pot in cm3. De afgeronde waarde van K is het aantal knikkers in de pot.
       

4p.

10.

 Laat zien hoe je de formule voor K uit het stappenplan kunt afleiden.
     

 

Het vullen van een glazen pot met knikkers is een voorbeeld van random close packing. Bij random close packing wordt een hoeveelheid identieke voorwerpen willekeurig in een pot of bak gedaan, waarna er wordt geschud om de beschikbare ruimte zo goed mogelijk op te vullen.
Bij bolvormige voorwerpen, zoals knikkers, blijkt dat het gedeelte dat gevuld wordt altijd ongeveer even groot is. Het percentage gevulde ruimte is normaal verdeeld met een gemiddelde van 64,0. In 95% van de gevallen ligt het percentage gevulde ruimte tussen de 63,6 en 64,4.

Op grond van dit gegeven kun je de standaardafwijking van het percentage gevulde ruimte berekenen.
       

4p.

11.

 Bereken deze standaardafwijking.
     

 

Als je precies weet welk percentage van een pot gevuld is, kun je de volgende formule gebruiken om het aantal knikkers te berekenen:
       

       

Hierin is p het percentage gevulde ruimte, Ipot de inhoud van de glazen pot in cm3 en d de diameter van de knikkers in cm.

Een glazen pot met een inhoud van 1050 cm3 is helemaal gevuld met knikkers met een diameter van 0,95 cm. Het aantal knikkers in de pot is afhankelijk van het percentage gevulde ruimte.
       

3p.

12.

Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval van het aantal knikkers in de pot. Rond af op helen.
     

 

Janneke wil op een braderie schatten hoeveel knikkers er in een glazen pot zitten. Ze herkent de glazen pot als een voorraadpot met een inhoud van 1000 cm3 en schat dat de diameter van de knikkers minimaal 1,5 cm en maximaal 1,7 cm is. Verder gaat ze ervan uit dat het percentage gevulde ruimte minimaal 63,0 en maximaal 65,0 is.
       

3p.

13.

Bereken het maximale aantal knikkers dat volgens de schattingen van Janneke in de glazen pot kan zitten. Licht je antwoord toe.
     

 

 

Asbest.
       

Vroeger werd in veel bouwmaterialen asbest gebruikt. Als een oud gebouw gesloopt wordt, kunnen asbestvezels in de lucht terechtkomen. Iemand die langdurig asbestvezels inademt, kan erg ziek worden.

Als men vermoedt dat er bij de sloop asbest is vrijgekomen, dan worden er maatregelen genomen op basis van de gemeten hoeveelheid asbestvezels in de lucht.
Er zijn twee hoofdsoorten asbest: wit asbest en blauw asbest. Met behulp van de gemeten concentraties van deze beide hoofdsoorten wordt de overschrijdingsfactor F berekend. Er geldt:
       

       

Hierin zijn Cwit en Cblauw de gemeten concentraties witte en blauwe asbestvezels per m3 lucht. Hoe groter de waarde van de overschrijdingsfactor F is, des te groter is het gevaar.

Een van de twee hoofdsoorten asbest is gevaarlijker dan de andere hoofdsoort.
       

3p.

14.

Beredeneer aan de hand van de formule, zonder getallenvoorbeelden te geven, welke hoofdsoort gevaarlijker is: wit of blauw asbest.
       

Afhankelijk van de waarde van F worden maatregelen getroffen. Men onderscheidt drie situaties:

− F < 0,3 : zeer klein risico, er wordt een beheersplan opgesteld,
− 0,3 ≤  F  ≤ 1: klein risico, de asbestbron wordt opgespoord en verwijderd,
− F  > 1: groot risico, er wordt tot ontruiming overgegaan.

Tijdens de verbouwing van een bepaald huis wordt gemeten: Cblauw = 75 .
       

4p.

15.

Bereken bij welke waarden van Cwit wordt geadviseerd om tot ontruiming over te gaan.
       

In het geval dat F = 1 is de formule te schrijven in de vorm:

.... • Cwit +  .... • Cblauw = 6000
       

4p.

16.

 Bereken de getallen die op de puntjes moeten staan.
       

Hieronder is een assenstelsel getekend met horizontaal Cwit en verticaal Cblauw . De drie risico’s (zeer klein, klein en groot) kunnen als gebieden worden weergegeven in dit assenstelsel. De grenzen tussen deze gebieden zijn (rechte) lijnen.
       

       

5p.

17.

Teken in het assenstelsel op de uitwerkbijlage de drie risicogebieden. Kies hiertoe een geschikte schaalverdeling en geef duidelijk aan welk risico bij welk gebied hoort.
       
       
Thermosflessen.
       

Met een thermosfles heb je onderweg altijd je eigen warme drank bij je.
Een consumentenblad heeft een aantal thermosflessen getest. Eén van de testonderdelen was: hoe snel neemt de temperatuur van de flesinhoud af? De flessen werden gevuld met zeer heet water en in een laboratorium in een testomgeving gezet, bij een temperatuur van 0°C. Vervolgens werd elke twee uur de temperatuur van het water gemeten.
In de volgende figuur staan de resultaten van twee thermosflessen: de thermosfles Robuust en de thermosfles Thermax.
       

       
       

De temperatuur van het water in de Robuust nam in het eerste uur met 4,2°C af. In de daaropvolgende uren nam de temperatuur telkens met 0,1°C minder af vergeleken met het uur ervoor. Met behulp van deze gegevens en de informatie in de figuur kun je berekenen hoe hoog de begintemperatuur van het water was.
       

3p.

18.

 Bereken deze begintemperatuur.
     

 

De Thermax was de testwinnaar. Na 6 uur nam de temperatuur van het water in deze thermosfles af volgens een exponentieel verband. Met behulp van de gegevens in de eerste figuur kan berekend worden dat de temperatuur ieder uur met afgerond 1,8% daalde.
       

4p.

19.

 Bereken dit percentage in twee decimalen nauwkeurig.
     

 

Veel mensen vinden koffie of thee alleen lekker als de temperatuur ten minste 65°C is. Bij de Thermax bleef tijdens de test de temperatuur van het water heel lang boven die grens van 65°C.
       

5p.

20.

 Bereken hoeveel hele uren de temperatuur ten minste 65°C was.
     

 
QR-Code
       

Tegenwoordig zie je vaak Quick Responsecodes, ofwel QR-codes. Door zo'n QR-code met je mobiele telefoon te 'lezen' krijg je informatie over een bepaald product of word je doorgeschakeld naar een website.
Een QR-code is een vierkante figuur die is opgebouwd uit kleine zwarte en witte hokjes, zie figuur 1a.
       

       

In drie hoeken van een QR-code zijn er hokjes volgens een vast patroon ingekleurd. De overgebleven hokjes van een QR-code zijn zwart of wit gekleurd afhankelijk van de informatie die de QR-code moet bevatten.

De QR-code in figuur 1a bestaat uit 441 hokjes, ofwel uit 21 bij 21 hokjes. QR-codes van dit formaat zijn de kleinste die bestaan en krijgen daarom versienummer 1. Er zijn ook QR-codes met een hoger versienummer. De grootste QR-codes bestaan uit 177 bij 177 hokjes en het bijbehorende versienummer is dan 40. Het verband tussen het aantal hokjes op de onderste regel van een QR-code en het versienummer is lineair.

De totale ruimte die nodig is om een QR-code weer te geven, wordt niet alleen bepaald door het versienummer. Het wordt aangeraden om rondom elke QR-code voldoende witruimte te hebben. We gaan ervan uit dat rondom elke QR-code een witte rand gebruikt wordt van 4 hokjes breed, ongeacht het versienummer. In figuur 1b zie je hoe dat eruitziet bij een QR-code met versienummer 1 en in figuur 2 bij een QR-code met versienummer 2. Voor de duidelijkheid zijn de hokjes van de witte rand getekend.
       

       

       
       

Een deel van de totale benodigde ruimte wordt dus in beslag genomen door de witte rand. Bij een QR-code met versienummer 1, zoals in figuur 1b, is dat deel ongeveer gelijk aan 48%. Bij een QR-code met versienummer 2, zoals in figuur 2, is dat deel ongeveer 43%. Hoe groter het versienummer, des te kleiner is het percentage.
       
7p.

21.

Bereken hoe groot dat percentage is bij een QR-code met versienummer 25.
       

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. In 19 jaar is de lengte 180,4 - 177,3 = 3,1 cm toegenomen.
per jaar is dat  3,1/19 = 0,163... cm
2050 is nog 50 jaar later dus zal de lengte nog 50 • 0,163... = 8,2 cm toenemen.
De gemiddelde lengte is dan  180,4 + 8,2 = 188,6 cm
   
2. Aflezen:   (0, 165.9)  en  (19, 167.7)
a = Δy/Δx = (167,6 - 165,9)/(19 - 0) = 1,8/19 = 0,095  ≈  0,1
b = beginwaarde  = 165,9
Dus l = 0,1 • t + 165,9  
   
3. Effectgrootte:  E = 0,9/(0,5 • (6,0 + 6,2)) = 0,147
Dat is kleiner dan 0,4 dus het verschil is gering.
   
4. Als G kleiner wordt, wordt BMI ook kleiner.
Als L groter wordt, wordt BMI kleiner want L staat in de noemer
Beide effecten zorgen er dus voor dat BMI kleiner wordt
Mensen schatten hun BMI dus lager in, dus zullen minder mensen overgewicht lijken te hebben.
   
5. De steekproefproportie is  p = 1286/32664 = 0,0394
De standaarddeviatie is  σ = √((0,0394 • 0,9606)/32664) = 0,0011
0,0394 + 2 • 0,0011 = 0,0416
0,0394 - 2 • 0,0011 = 0,0372
Het 95% betrouwbaarheidsinterval is  [0.0372 ; 0.0416]  ofwel  [3.7% ; 4.2%]
   
6.

 

geopereerd
wel niet totaal
zorginfectie
opgelopen		 wel 1286 3408 4694
niet 31378 59227 90605
totaal 32664 62635 95299
   
 

  Dat ligt tussen  -0,2 en 0,2 dus het verschil is gering.
   
7. De variabelen zijn  "geopereerd" en  |"zorginfectie opgelopen"
Dat zijn wel/niet uitkomsten dus geen gemeten getallen, dus de beide variabelen zijn kwalitatief.
   
8. aflezen: in 2007 heeft 7,8% een zorginfectie
7,8% van 1800000 is 140400
de kosten zijn 140400 • 4 • 1140 = 640,2 miljoen

aflezen:  in 2012 is dat 3,8% een zorginfectie
3,8% van  2000000 is 76000
de kosten zijn opgelopen tot  1140 • 1,035 = 1322
de kosten zijn dan 76000 • 4 • 1322 = 401,8 miljoen

Dat scheelt  640,2 - 401,8 = 238 miljoen euro
   
9. De inhoud van een knikker is  0,5236 • 1,33 = 1,1503 cm3
Het aantal knikkers is dan  0,64 • 800/1,1503 = 445
   
10. Vervang in de berekening van vraag 9 de 800 door Ipot en de 1,1503 door 0,5236 • d3
Dat geeft  K = (0,64 • Ipot)/(0,5236d3)
0,64/0,5236 = 1,222
Daaruit volgt dan direct de gezochte formule.
   
11. Tussen 63,6 en 64,4 ligt volgens de vuistregels (95%) vier keer de standaarddeviatie
Dus 64,4 - 63,6 = 0,8  is vier keer de standaarddeviatie
De standaarddeviatie is dus 0,2.
   
12. Uit de gegevens volgt dat het 95%-betrouwbaarheidsinterval  [63.6 ; 64.4] is.
Invullen in de formule voor K:
p = 63,6 geeft  K = 0,0191 • 63,6 • 1050/0,953 = 1487,7
p = 64,6  geeft  K = 0,0191 • 64,4 • 1050/0,953 = 1506,4
Het interval is dus  [1488 ; 1506]
   
13. Het aantal knikkers is maximaal als de diameter van een knikker zo klein mogelijk is (dus 1,5 cm) en als het percentage gevulde ruimte zo groot mogelijk is (dus 65,0)
K = 0,0191 • 65,0 • 1000/(1,5)3 = 367 knikkers
   
14. Van Cwit wordt voor F maar 1/2000 deel genomen en van Cblauw is dat 1/300 deel.
Cblauw draagt dus veel meer bij aan F dan Cwit, dus Cblauw is gevaarlijker.
   
15. Cwit/2000 + 75/300 = 1
Cwit/2000 + 0,25 = 1
Cwit/2000 = 0,75
Cwit = 0,75 • 2000 = 1500
Dus Cwit is groter dan 1500
   
16. 1 = Cwit/2000 + Cblauw/300
vermenigvuldig met 6000:
6000 = 3Cwit + 20Cblauw.
   
17. F = 1 geeft  6000 = 3Cwit + 20Cblauw (vraag 16) en die lijn gaat door  (0, 300)  en  (2000, 0)
F = 0,3 geeft op dezelfde manier als in vraag 16:  1800 = 3Cwit + 20Cblauw en die lijn gaar door (0, 90) en (600, 0)
Dat geeft de volgende gebieden:
   
 
   
18. Na 6 uur is de temperatuur 72,5
De dalingen waren 4,2 + 4,1 + 4,0 + 3,9 + 3,8 + 3,7
Dat is samen 23,7
De begintemperatuur was dus  72,5 + 23,7 = 96,2 ºC
   
19. van 6 naar 8 uur:  factor  82,8/85,8 = 0,9650 en dat is g2  dus  g = 0,96501/2 = 0,9824
van 8 naar 12 uur factor 77,1/82,8 = 0,9312 en dat is g4 dus g = 0,93121/4 = 0,9823
Dat zijn afnames van 1,76 en 1,77% dus inderdaad afgerond 1,8%
   
20. afname van 1,8% betekent groeifactor 0,982
Noem t = 0 het tijdstip dat de fles 12 uur in de testomgeving staat, dan is B = 77,1
77,1 • 0,982t = 65
Y1 = 77,1 * 0,982^X  en  Y2 = 65  en dan intersect geeft  X = t = 9,4 uur
Dat is vanaf 12 uur, dus dan staat de fles 21,4 uur in de testomgeving en dat is 21 hele uren.
   
21. versienummer 2 is 25 bij 25 hokjes
versienummer 1 is 21 bij 21 hokjes
Dus elk nummer neemt de afmeting van het vierkant 4 hokjes toe.
Versienummer 25 is dus vanaf versienummer 1 een toename van 24 • 4 = 96 hokjes
Versienummer 25 heeft afmetingen 96 + 21 = 117 hokjes
Met de lege ruimte daarbij is dat 117 + 8 = 125 hokjes

De totale oppervlakte is  1252 = 15625 hokjes.
De oppervlakte van de code is 1172 = 13689 hokjes
De code neemt  13689/15625 • 100% = 87,6% van het totaal in beslag
De lege ruimte is dus 100% - 87,6% = 12,4%