HAVO WA, 2023 - II

 

Minder rokers.
       
De onderstaande iguur komt uit het rapport Volksgezondheid Toekomst Verkenning 2018 van het RIVM (Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu). In deze figuur zijn voor Nederland het percentage van de mannen dat rookt en het percentage van de vrouwen dat rookt op 1 juli voor de jaren 1990 tot en met 2018 weergegeven.
       
       
Deze hele opgave gaat alleen over mannen en vrouwen van 18 jaar of ouder.

Op 1 juli 2015 telde Nederland 6 618 000 mannen en 6 853 000 vrouwen van 18 jaar of ouder.
       
4p. 1. Bereken met behulp van de figuur hoeveel procent van de rokers op 1 juli 2015 man was. Geef je antwoord in hele procenten.
     

 
Voor de periode vanaf 2018 heeft het RIVM een formule opgesteld om de ontwikkeling van het percentage van de mannen dat rookt te voorspellen. Men gaat uit van een lineaire afname volgens de volgende formule:
       

Pm = -0,61t  + 25,93               (formule 1)
       
Hierin is Pm het percentage van de mannen dat rookt en t het aantal jaren vanaf 1 juli 2018.

Het RIVM beweert dat volgens formule 1 het percentage van de mannen dat rookt voor de start van het jaar 2040 gehalveerd is ten opzichte van 1 juli 2018.
       
3p. 2. Onderzoek of deze bewering juist is.
     

 
De onderstaande figuur is ontstaan door in de vorige figuur de trendlijn te tekenen voor het percentage van de vrouwen dat rookt.
       

       
De percentages van de vrouwen die roken op 1 juli in 1995 en 2004 liggen precies op de trendlijn.

Met deze gegevens kan een formule voor de trendlijn worden opgesteld:

Pv = -0,33t  + 30,67       (formule 2)
       
Hierin is Pv het percentage van de vrouwen dat rookt en t het aantal jaren vanaf 1 juli 1990.

De percentages van de vrouwen die roken in 1995 en 2004 zijn gehele getallen.
       
3p. 3. Bereken met deze percentages de getallen in formule 2 in drie decimalen.
     

 
Het percentage van de mannen dat rookt, kan vanaf 1 juli 2018 worden berekend met formule 1. Het percentage van de vrouwen dat rookt, kan vanaf 1 juli 1990 worden berekend met formule 2.
       
5p. 4. Onderzoek in welk jaar het percentage van de mannen dat rookt en het percentage van de vrouwen dat rookt gelijk zullen zijn.
     

 
Voedselconsumptie.
       
In de periode 2012-2014 is onderzocht wat kinderen en volwassenen aten en dronken. Deze voedselconsumptiepeiling is uitgevoerd bij personen die toen tussen de 1 en 79 jaar oud waren en in Nederland woonden. Om een goed beeld te krijgen van wat er gedurende het jaar gegeten en gedronken werd, is de gegevensverzameling gelijkmatig verdeeld over de dagen van het jaar.
       
2p. 5. Geef een voorbeeld van welk vertekend beeld je zou kunnen krijgen wanneer de gegevensverzameling niet gelijkmatig over de dagen van het jaar verdeeld is.
     

 
In de voedselconsumptiepeiling werd onderscheid gemaakt tussen vast voedsel (inclusief zuivel) en dranken (zonder zuivel. Daarnaast werd ook gekeken of de voedingsmiddelen binnen of buiten de Schijf van Vijf vallen. De Schijf van Vijf is een hulpmiddel dat wordt gebruikt in de voorlichting over gezonde voeding en bevat vijf categorieën met aanbevolen voedingsmiddelen:
-  dranken (zonder zuivel)
-  brood, graanproducten en aardappelen
-  smeer- en bereidingsvetten
-  zuivel, noten, vis, peulvruchten, vlees en ei
-  groente en fruit
       
Buiten de Schijf van Vijf vallen bijvoorbeeld koekjes, cola, chips, witbrood en vla, maar ook groenten met toegevoegd zout in pot of fruit op siroop in blik.

In de figuur hieronder staat op de verticale as de gemiddelde voedselconsumptie per persoon per dag (in gram).
       

       
4p. 6. Bereken met behulp van deze figuur welk percentage van de totale voedselconsumptie per persoon per dag bestond uit dranken (zonder zuivel). Geef je antwoord in hele procenten.
     

 
Deze figuur kwam tot stand op basis van een steekproef van 2237 personen.
Ga uit van de volgende aannames:
- de steekproef is aselect en representatief
- de populatie bestaat uit in Nederland wonende personen met een leeftijd tussen de 1 en 79 jaar
- de gemiddelde voedselconsumptie per persoon is normaal verdeeld
- het bijbehorende 95%-betrouwbaarheidsinterval van het populatiegemiddelde van de gemiddelde voedselconsumptie per persoon is 25 gram breed.
We kunnen dan de standaardafwijking berekenen die bij de steekproef hoort.
       
4p. 7. Bereken deze standaardafwijking. Geef je antwoord in gehele grammen.
     

 
De behoefte aan voedingsstoffen verschilt per persoon en is normaal verdeeld. Een voedingsnorm is de aanbevolen hoeveelheid voedingsstof die genoeg is voor bijna alle mensen. Zie de volgende figuur.
       

       
Omdat deze figuur gebaseerd is op de aanname dat de individuele behoefte normaal verdeeld is, kan er concreter worden aangegeven wat er bedoeld wordt met ‘bijna alle mensen’.
       
2p. 8. Geef het percentage dat hier bedoeld wordt met ‘bijna alle mensen’.
     

 
Aantal stemmen per liedje.
       
De Top 2000 is een jaarlijks terugkerend radioprogramma. Mensen kunnen vooraf stemmen op liedjes. De 2000 populairste liedjes worden achter elkaar gedraaid. Alleen de aantallen stemmen op het liedje op positie 1 en het liedje op positie 2000 worden openbaar gemaakt. Men vermoedt dat de volgende formule een goede schatting geeft voor het aantal stemmen op een liedje in de ranglijst:
       

       
Hierin is:
- N de positie in de ranglijst;
- S het geschatte aantal stemmen op het liedje dat op positie N in de ranglijst staat;
- E het werkelijke aantal stemmen op het liedje dat op positie 1 in de ranglijst staat;
- L het werkelijke aantal stemmen op het liedje dat op positie 2000 in de ranglijst staat
       
Met formule 1 kun je een schatting maken van het aantal stemmen op het liedje dat op positie 1 in de ranglijst staat.
       
2p. 9. Laat zien dat dit geschatte aantal overeenkomt met het werkelijke aantal stemmen op dit liedje.
     

 
Het liedje met de meeste stemmen komt op positie 1, het liedje dat daarna de meeste stemmen heeft, komt op positie 2, enzovoort. Logischerwijs zou dus het geschatte aantal stemmen S op een liedje lager moeten worden naarmate N groter wordt.
       
3p. 10. Laat met een redenering zien dat formule 1 deze eigenschap heeft.
     

 
Voor de Top 2000 van 2006 geldt:
 -  het liedje op positie 1 had 10 000 stemmen;
 -  het liedje op positie 2000 had 150 stemmen.

Hiermee kan formule 1 herleid worden tot:
 

       
4p. 11. Geef deze herleiding.
     

 
Over de Top 2000 van 2006 is meer bekend dan gebruikelijk: er zijn in totaal 1,5 miljoen stemmen uitgebracht.
       
3p. 12. Bereken hoeveel procent van de stemmen in totaal op de top 3 van deze Top 2000 is uitgebracht volgens formule 2. Geef je antwoord in hele procenten.
     

 
Omdat het aantal stemmen per liedje normaal gesproken niet openbaar gemaakt wordt, vraagt men zich af wat men bij de Top 2000 doet als een liedje precies evenveel stemmen krijgt als een ander liedje. Als we met formule 2 het geschatte aantal stemmen per liedje berekenen en dat vervolgens afronden op een geheel getal, dan kan het zijn dat er na afronding liedjes zijn die evenveel stemmen hebben gekregen.
       
3p. 13. Bereken hoeveel liedjes er in de Top 2000 van 2006 zijn die volgens formule 2 na afronding 200 stemmen zouden hebben gekregen.
     

 
Geregistreerde misdrijven.
       
In de onderstaande figuur staat voor Nederland het aantal geregistreerde misdrijven per duizend inwoners per jaar. Er is ook een uitsplitsing gemaakt naar verschillende types misdrijven, waaronder vermogensmisdrijven en geweldsmisdrijven.
       

       
Van 1960 tot 1985 steeg het totaal aantal geregistreerde misdrijven van 13 naar 81 per duizend inwoners. Neem aan dat deze stijging exponentieel verliep.
       
4p. 14. Bereken met deze gegevens het jaarlijkse groeipercentage. Geef je antwoord in één decimaal.
     

 
In 1985 was bijna 80% van het totaal aantal geregistreerde misdrijven een vermogensmisdrijf.
       
3p. 15. Beredeneer met behulp van de figuur, zonder een berekening te maken, of dit percentage in 2002 hoger of lager was dan in 1985.
     

 
Sinds het begin van deze eeuw daalt het totaal aantal geregistreerde misdrijven, met name door een daling van het aantal geregistreerde vermogensmisdrijven. Een voorbeeld van een vermogensmisdrijf is een woninginbraak. Iemand vermoedt dat er in het begin van deze eeuw bij een kleiner percentage van de woningen werd ingebroken dan aan het eind van de vorige eeuw. Om hier zicht op te krijgen is in 2004 in een aselecte steekproef uit de woningen gekeken bij welk percentage er in dat jaar was ingebroken. De resultaten kunnen worden vergeleken met die van een aselecte steekproef uit de woningen in 1998. Zie de tabel.
       
  1998 2004
aantal woningen 3437 1456
percentage woningen waarbij is ingebroken 2,15 1,58
       
De tabel laat zien dat het steekproefpercentage woningen waarbij is ingebroken in 2004 lager is dan in 1998. We gaan deze gegevens op twee manieren met elkaar vergelijken.
       
3p. 16. Onderzoek of het steekproefpercentage uit 2004 in het 95%-betrouwbaarheidsinterval ligt van het populatiepercentage in 1998.
     

 
In 2004 is het steekproefpercentage woningen waarbij is ingebroken lager dan in 1998.
       
4p. 17. Onderzoek met behulp van het formuleblad of het verschil in steekproefpercentage woningen waarbij is ingebroken in de twee steekproeven groot, middelmatig of gering is.
     

 
       
De 100 meter.
       
In deze opgave bekijken we een wiskundig model van een sprint over 100 meter hardlopen. In dit model gaan we uit van 2 fases:
 -   fase I: zo snel mogelijk op topsnelheid komen;
 -   fase II: de topsnelheid vasthouden tot het einde van de sprint.

Van een bepaalde topatleet staat in onderstaande  figuur de afgelegde afstand A in meter uitgezet tegen de tijd t in seconden.
       

       
Deze atleet legt zijn sprint in 9,9 seconden af. Na 4,0 seconden bereikt hij zijn topsnelheid; dan heeft hij al 31 meter afgelegd.

Je kunt met deze gegevens zijn topsnelheid berekenen; deze is afgerond 11,7 m/s.
       
3p. 18. Bereken deze topsnelheid in twee decimalen.
     

 
Het eerste deel van de grafiek is (toenemend) stijgend. Je kunt je afvragen of er sprake is van exponentiële groei. In de tabel staan een aantal waarden uit fase I van die sprint.
       
t(s) 1,2 1,9 3,0
A(m) 5 10 20
       
3p. 19. Onderzoek met behulp van de tabelwaarden of er sprake kan zijn van exponentiële groei.
     

 
Het verband tussen de aflegde afstand A in meter en de tijd t in seconden in fase I kan voor de atleet benaderd worden door de formule:

A = 3,8 · t1,5
       
De atleet moet in het begin nog op snelheid komen. Hij zal daarom ook langer doen over de eerste 25 meter dan over de laatste 25 meter van de 100 meter. Bij de laatste 25 meter is hij immers al op topsnelheid.
       
5p. 20. Bereken hoeveel seconden hij hier langer over doet. Geef je antwoord in één decimaal.
     

 
Er is voor fase I ook een formule die de snelheid v in m/s vrij goed beschrijft. Deze is van de vorm:
       

v = k · √t
       
3p. 21. Bereken met behulp van zijn topsnelheid de waarde van k voor deze atleet.
     

 
In de vragen hiervoor is de hele sprint van een topatleet over 100 meter beschreven. In onderstaande figuur staan vier globale grafieken (a, b, c, d), waarbij de snelheid v uitgezet is tegen de tijd t.
       

       
Er is één grafiek die het best past bij de sprint van de topatleet.
       
3p. 22. Welke grafiek is dat? Licht je antwoord toe.
     

 
Testresultaten en Afhakers.
       
Wanneer artsen een nieuwe behandeling testen op patiënten, is het mogelijk dat er tijdens het onderzoek een aantal patiënten afhaakt (de afhakers). Dit komt bijvoorbeeld omdat ze de behandeling te belastend vinden. Het succespercentage P van een nieuwe behandeling kan op twee verschillende manieren berekend worden:
       
exclusief afhakers
Hierbij worden patiënten
die afhaken niet meegeteld
in formulevorm:		 inclusief afhakers
Hierbij worden patiënten
die afhaken niet meegeteld
in formulevorm:
       
Hierin geldt:
- G is het aantal patiënten dat de behandeling volhoudt en geneest
- N is het aantal patiënten dat de behandeling volhoudt en niet geneest
- A is het aantal patiënten dat afhaakt
       
Het wel of niet meetellen van het aantal patiënten dat afhaakt in het testresultaat zal tot verschillende succespercentages leiden, zie figuur.
       

       
In het voorbeeld in de figuur is het absolute verschil tussen de twee succespercentages gelijk aan 25.

Het wel of niet meetellen van het aantal patiënten dat afhaakt bij de berekening van het succespercentage kan tot forse verschillen leiden. Men heeft afgesproken dat het succespercentage alleen berekend wordt als het percentage patiënten dat afhaakt niet hoger is dan 20%.

We kijken nu naar een onderzoek waarbij het percentage patiënten dat afhaakt gelijk was aan het maximale percentage van 20%. Bij dit onderzoek waren er uiteindelijk 240 patiënten die de behandeling hadden volgehouden en was het absolute verschil tussen de twee succespercentages 16. Er kan nu onderzocht worden wat het aantal patiënten moet zijn geweest dat de behandeling heeft volgehouden, maar niet is genezen.
       
7p. 23. Voer dit onderzoek uit en bepaal dit aantal.
     

 
       

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. aflezen uit de figuur:  mannen 30%,  vrouwen 22,5%
dat zijn 0,3 · 6618000 = 1985400 mannelijke rokers  en  0,225 · 6853000 = 1541925 vrouwelijke rokers.
In totaal zijn er dus 1985400 + 1541925 = 3527325 rokers
het percentage mannen is dan  1985400/3527325 · 100%  = 56,2... %
Afgerond is dat 56%.
   
2. 1 juli 1020:  t = 0 geeft  P = 25,93
1 juli 2040:  t = 21,5 geeft  P =  -0,61 · 21,5 + 25,93 = 12,815%
Dat is inderdaad (iets meer dan)een halvering.
   
3. 1995 geeft  t = 5 en P = 29
2004 geeft  t = 14 en P = 26
a = (26 - 29)/(14 - 5) = -0,333....

29 = -0,333.. · 5 + b geeft dan b = 30,666...
afgerond dus a = -0,273 en b = 30,667
   
4. In 2018 is de waarde van formule 2 gelijk aan   Pv = -0,33 · 28  + 30,67 = 21,43
De formule voor de vrouwen met t = 0 in 2018  wordt dan  Pv = -0,33 · t + 21,43
Stel die gelijk aan de mannenformule:      -0,33 · t + 21,43 = -0,61t  + 25,93
0,28t = 4,50
t = 4,50/0,28 = 16,07...
Dat is in 2034         
   
5. In de zomer wordt er ander voedsel gegeten dan in de winter.
Dus als je alleen mensen in de zomer vraagt welk voedsel ze eten lijkt het alsof dat voedsel (ijs, verse groenten, frisdrank e.d. ) veel meer gegeten wordt.
   
6. dranken zonder zuivel:  1300 en 550:  samen 1850
totaal:  2000 en 1050:  samen 3050
1850/3050 · 100 = 60,6.... %
afgerond dus 61%
   
7. het 95%-betrouwbaarheidsinterval is  gemiddelde ± 2 · S/√n
de breedte daarvan is dus 4 · S/√n 
4 · S/√n  = 25
4 · S/√2237  = 25
0,08457S = 25
S = 25/0,08547 = 295,60... gram
afgerond 296 gram.
   
8. Buiten de grenzen van gemiddelde  ± 2 · S  ligt 5%
Rechts naast de grens van gem + 2S ligt dus 2,5%
Dus links ervan 97,5%
   
9. Als N = 1 dan is  (N - 1) = 0
Dan geldt dus  S = E/(1 + 0)
Dus S = E
   
10. Als N groter wordt.....
Dan wordt N - 1 ook groter
Dan wordt E(N - 1)  ook groter
Dan wordt E(N - 1)/ 2000L  ook groter
Dus dan wordt de noemer van S groter.
Maar dan wordt S zelf kleiner.
   
11. Vul in  E = 10000 en  L = 150:
 
  In de laatste stap zijn teller en noemer vermenigvuldigd met 300000
Haakjes wegwerken:
 
  Deel nu de teller en noemer beiden door 10000 en je krijgt de gevraagde formule.
   
12. S = 300000/(N + 29)
N = 1 geeft  S = 10000
N = 2 geeft  S = 300000/31 = 9677
N = 3 geeft  S = 300000/32 = 9375
Samen zijn dat 10000 + 9677 + 9375 =   29052 stemmen
29052/1500000 · 100% = 2%
   
13. afgerond 200 stemmen betekent niet-afgerond tussen de 199,5 en 200,5 stemmen
Y1 = 300000/(X + 29)
kijk bij TABLE welke waarden tussen de 199,5 en 200,5 liggen
Dat is voor X = 1468, 1469, 1470, 1471, 1472, 1473 en 1474
Dat zijn dus 7 liedjes.
   
14. De groeifactor is 81/13 = 6,23...
Dat is in 25 jaar.
Per jaar is de groeifactor dan 6,23...1/25 = 1,0759...
Dat is een groei van 7,6%
   
15. Het aantal vermogensmisdrijven in 2002 en 1985 was ongeveer gelijk.
Het totaal was in 2002 hoger dan in 1985
Dus is het percentage in 2002 lager dan in 1985
   
16. 2 · √(0,0215 · (1 - 0,0215)/3437) = 2 · 0,00247 = 0,0049
Het betrouwbaarheidsinterval is [0.0215 - 0.0049  ;  0.0215 + 0.0049] = [0.0166 ; 0.0264]
0,0158 is kleiner dan 0,0166 dus de waarde van 2004 ligt NIET binnen dit betrouwbaarheidsinterval.
   
17. maak een kruistabel:
 
  1998 2004 totaal
wel inbraak 74 23 97
geen inbraak 3363 1433 4796
totaal 3437 1456  
  phi = √(74 · 1433 - 23 · 3363)/(3437 · 1456 · 97 · 4796)) = 0,018...
Dat ligt tussen -0,2 en 0,2 dus het verschil is  gering.
   
18. De topsnelheid duurt 9,9 - 4,0 = 5,9 seconden
In die tijd legt de atleet 100 - 31 = 69 meter af
de snelheid is dus 69/5,9 = 11,69 m/s
   
19. Tussen de afstanden is de groeifactor steeds 2 (verdubbeling)
maar dat gebeurt niet in gelijke tijdsverschillen, en dat is bij exponentiële toename wel zo.
Dus de groei is niet exponentieel
   
20. 25 = 3,8 · t1,5 
t1,5 = 6,5789...
t = 6,57891/1,5 = 3,511...

De laatste 25 meter duurt  25/11,7 = 2,136... seconden

Dat scheelt dus  3,511 - 2,136 = 1,4 seconden.
   
21. Na 4 seconden is de snelheid 11,7
11,7 = k · √4
11,7 = k · 2
k = 11,7/2 = 5,85
   
22. Het eerste deel is de grafiek een wortelgrafiek en die ziet eruit als a of d

Het laatste deel is de snelheid constant, dus moet de grafiek een horizontale lijn zijn

Het is dus grafiek  d
   
23. G + N = 240
Pexclusief = G/240 · 100 = 0,4166...G

240 was 80% van het totaal.
Dus het totaal was  240/0,8 = 300
Pinclusief =  G/300 · 100 = 0,3333.. G

het verschil moet 16 zijn, dus    0,4166G - 0,3333G = 16
0,0833G = 16
G = 16/0,0833 = 192
Het aantal patiënten dat volhoudt maar niet geneest is dan   240 - 192 = 48