OPGAVE 1.
Een elektriciteitskabel wordt opgehangen tussen palen die 30 m hoog zijn en 300 meter van elkaar staan. een technisch tekenaar wil met een computer een tekening maken van de hangende kabel. Daarbij neemt hij aan dat de vorm waarin de kabel tussen twee opeenvolgende palen hangt, een parabool is. Dat is een redelijke benadering.
De tekenaar kiest voor een Oxy-stelsel waarbij O op de grond in het midden tussen twee palen ligt en waarbij d ex-as horizontaal is. De vergelijking van een parabool heeft de gedaante:
Hierin zijn x en y gemeten in meters. De constanten a en c kunnen niet onafhankelijk van elkaar worden gekozen.
	1.	Toon aan dat tussen a en c het volgende verband moet bestaan:  9a + 4c = 120.
Er bestaan voorschriften voor het ophangen van elektriciteitskabels. Eén van de eisen is dat het laagste punt van de kabel tenminste 10 meter boven de grond moet hangen. Bovendien mag, in verband met de spankracht van de kabel, het laagste punt in de hier gegeven situatie zich niet meer dan 20 meter boven de grond bevinden.
	2.	Bereken welke waarden voor a zijn toegestaan, uitgaande van bovenstaande formules.
Bij het ophangen van een kabel is de hellingshoek van de kabel in een ophangpunt bepalend voor de waarden van a en c, en omgekeerd.
	3.	Bereken die hellingshoek in graden nauwkeurig in het geval c = 15.

OPGAVE 2.
Op het dal van een woning wordt een dakkapel geplaatst zoals aangegeven in de bovenste figuur hieronder. Daaronder zie je twee aanzichten van de woning met de te plaatsen dakkapel. De afmetingen zijn gegeven in meters.
In de figuur hieronder is de woning in perspectief getekend met de voorgevel parallel aan het tafereel.
	4.	Voltooi de perspectieftekening van het huis met de dakkapel.
De timmerman wil de precieze afmetingen hebben van de opening die in het dak gemaakt moet worden om de dakkapel te kunnen plaatsen. Daarom wordt er een tekening gemaakt waaruit lengten en hoeken nauwkeurig kunnen worden afgelezen.
	5.	Maak zo'n tekening van de opening in het dak op schaal 1 : 50.
	6.	Bereken hoeveel extra ruimte (in m3) de woning krijgt door het plaatsen van de dakkapel.
We bekijken het dakdeel van de dakkapel met de zijden AD en BC
	7.	Toon aan dat AB en BC bij verlenging elkaar in de dakgoot snijden.

OPGAVE 3.
Gegeven is de functie  f(x) = √(1 - 2x) In de figuur hiernaast  is de grafiek van f getekend. De punten T en S zijn de snijpunten van de grafiek met de x- en y-as. De raaklijn aan de grafiek van f in het punt S snijdt de x-as in R.
	8.	Bereken de x-coördinaat van R.
Het punt B doorloopt de grafiek van f tussen T en S; de punten A en C zijn steeds de projecties van B op respectievelijk de x-as en de y-as. Zie de volgende figuur.
Als B niet met S of met T samenvalt, is OABC een rechthoek. Die rechthoek verandert voortdurend van vorm. Er is één plaats van B waarbij OABC een vierkant is.
	9.	Bereken de coördinaten van die plaats.
Als B van T naar S beweegt over de grafiek van f,  neemt de oppervlakte van OABC eerst toe en later weer af. Iemand heeft het vermoeden dat de oppervlakte van OABC maximaal is in het geval dat OABC een vierkant is.
	10.	Onderzoek of dit vermoeden juist is.

OPGAVE 4.
ABCD.EFGH is een balk met een vierkant grondvlak (3 bij 3 cm) en een hoogte van 4 cm. Door de hoekpunten A en B is de lijn l getrokken. Het punt P beweegt met een constante snelheid van 1 cm per seconde over de lijn in een richting zoals aangegeven in de volgende figuur:
Op t = 0 bevindt P zich in hoekpunt B (de tijd t wordt gemeten in seconden).
	11.	Bereken de hoek die de verbindingslijn HP maakt met het grondvlak op het tijdstip t = 1.
HP snijdt het zijvlak BCGF in punt S. Als P over de lijn l beweegt, verandert de positie van S in het zijvlak BCGF.
	12.	Beredeneer dat S over de rechte lijn BG beweegt.
	13.	Teken zijvlak BCGF op ware grootte en teken daarin de baan die S heeft afgelegd in het tijdsinterval 1 ≤ t ≤ 6. Geef een toelichting bij je tekening.
Het punt P legt in gelijke tijdsintervallen gelijke afstanden af.
	14.	Laat zien dat dit voor S niet het geval is.
De snelheid waarmee S over BG beweegt is afhankelijk van t.
	15.	Druk de snelheid van S uit in t.

OPGAVE 5.
In 1610 werden de vier helderste Jupitermanen ontdekt door Galileï. De manen beschrijven bij benadering cirkelvormige banen om Jupiter, alle vier in dezelfde omlooprichting (zie de figuur hieronder). Deze banen liggen (vrijwel) in één vlak met Jupiter en de aarde. Daarom zie je Jupiter en de vier manen in een kijker altijd op één horizontale lijn liggen (die is onder de volgende figuur getekend).
De onderlinge posities van de manen in het kijkerbeeld veranderen voortdurend. Voor amateur-astronomen worden maandelijks grafieken gepubliceerd waaruit ze op ieder moment de posities van de manen kunnen aflezen. De grafiek hiernaast bevat de informatie voor januari 1990. Op 1 januari 1990, 0.00 uur waren dus van links naar rechts in de kijker te zien: Ganymedes (III), Europa (II), Jupiter, Io (I) en Callisto (IV) In de figuur hieronder zijn van de vier manen de cirkelbanen en de grafieken van 31 december 1990 0.00 uur tot 6 januari 1990, 0.00 uur getekend.
	16.	Teken in deze figuur voor Ganymedes (III) het deel van de cirkelbaan dat werd doorlopen tussen 1 januari 0.00 uur en 3 januari 0.00 uur.
De cirkelbeweging van een maan wordt in de kijker zichtbaar als een harmonische beweging. Van Callisto (IV) wordt deze harmonische beweging goed benader door de formule:  u = 1,5 • sin3/8(t - 16) t is de tijd in dagen; t = 1 komt overeen met 1 januari 0.00 uur. De uitwijking u (in cm) van Callisto ten opzichte van Jupiter wordt positief gerekend als Callisto zich in het kijkerbeeld rechts van Jupiter bevindt en negatief als zij zich links van Jupiter bevindt.
	17.	Bereken de omlooptijd van Callisto met behulp van deze formule.
Uit de figuur met de harmonische bewegingen van alle vier de manen blijkt: hoe kleiner de straal van de oploopbaan (R), hoe korter de omlooptijd (T). Iemand zet voor de vier manen logR uit tegen logT in een grafiek. Uit die grafiek kan worden afgeleid dat geldt:  logT = 1,5logR + 0,8 Hieruit kan een formule worden gevonden die T uitdrukt in R
	18.	Geef die formule.

UITWERKING
1.
2.	40/9 ≤ a ≤ 80/9
3.	11º
4.
5.
6.	61/3 m3
7.
8.	R(1,0)
9.	B = (-1 + √2, -1 + √2)
10.	Nee;  OA = 1/3
11.	39º
12.
13.
14.
15.	15/(t + 3)2
16.
17.	16,8 dagen
18.	T = 100,8 • R1,5