HAVO WB, 1993 - I

 

OPGAVE 1.
         

In de figuur hiernaast is de grafiek getekend van f(x) = sin1/4πx
voor 0 ≤ x ≤  4.
T is de top van deze grafiek en O en S zijn de randpunten.
We willen deze grafiek gaan benaderen door de lijnstukken OT en TS.

     
4p. 1. Stel een vergelijking op van lijn OT en stel een vergelijking op van lijn TS.
         
Het punt A beweegt over de lijnstukken OT en TS.
Het punt B beweegt over de sinusoïde zo dat lijn stuk AB evenwijdig aan de y-as blijft. Zie de figuur hiernaast.

     
7p. 2. Bereken de maximale lengte van AB in twee decimalen nauwkeurig.
         
We gaan de grafiek nu benaderen door een parabool met dezelfde top T die ook door O en S gaat.
         
3p. 3. Stel een vergelijking op van deze parabool.
         

 

OPGAVE 2.
       
In 1991 kreeg in het kader van de Nederlandse meubelprijzen het bijzettafeltje Cable-Table van Willem Scholtens een eervolle vermelding.
Het bijzettafeltje bestaat uit twee even grote regelmatige piramiden waarvan alle ribben even lng zijn. De piramiden ABCD en EFGH worden door zeven stalen kabels van 1 mm dikte bij elkaar gehouden. De piramide EFGH hangt met de top H naar beneden aan een kabel die verbonden is met de top D van de piramide ABCD.
Deze verticale kabel is op de tekening hiernaast te zien.

De bovenkant van het tafeltje is van glas.
In de figuur hieronder zie je een deel van het bovenaanzicht.

       
6p. 4. Voltooi dit bovenaanzicht van de Cable-Table met de ontbrekende ribben en de kabels.
       
6p. 5. Geef aan hoe de ligging is - evenwijdig, snijdend, kruisend - van de kabel AE ten opzichte van elk van de andere zes kabels.
       
Een Cable-Table met ribben van 54 cm moet voor vervoer verpakt worden in een doos in de vorm van een regelmatig prisma waar de Cable-Table rechtop gezet precies in past met de glasplaat naar boven. De bodem van de doos is zeshoekig.
       
5p. 6. Bereken de oppervlakte van de bodem van die doos in gehele cm3 nauwkeurig.
       
De hoogte van een Cable-Table met ribben van 54 cm is 50 cm.
       
9p. 7. Bereken de lengte van de kabel DH in gehele mm nauwkeurig.
       

OPGAVE 3.
         

         

Een betonnen drinkwaterreservoir is gedeeltelijk ingegraven. Het deel wat er nog van te zien is heeft de vorm van een afgeknotte piramide ABCD.EFGH met vierkant grondvlak. Het bovenvlak EFGH van het reservoir bevindt zich op hoogte 3 meter boven het grondvlak ABCD.
De lengte van de diagonalen EG en HF is 80 meter.
De zijvlakken van de piramide maken een hoek van 37º met het grondvlak.
         

5p.

8.

Bereken de oppervlakte van het grondvlak ABCD van de piramide in gehele m2 nauwkeurig.
         

6p.

9.

Toon door een berekening aan dat de hellingshoek van de opstaande ribben van de piramide bij benadering gelijk is aan 28º
         

Op het drinkwaterreservoir is een kunstwerk geplaatst, gevormd door twee stalen bogen die elkaar midden boven het reservoir snijden. De bogen zijn zo geplaatst dat zij zonder knik overgaan in de opstaande ribben van de piramide; de hellingshoek van de bogen is daar dus eveneens 28º. Zie de volgende figuur.
         

         

Om een model van de bogen te kunnen maken brengen we een assenstelsel Oxy aan met de x-as op de diagonaal HF van het bovenvlak en de y-as door het midden van HF en het snijpunt S van de bogen.
De vorm van boog HSF wordt gegeven door de vergelijking:  y = √(7225 - x2) - 75
         

5p.

10.

Toon aan dat alle punten van deze boog op afstand van 85 m liggen van het punt (0, -75)
         

6p.

11.

Toon met behulp van de gegeven vergelijking aan dat de hellingshoek aan de voet van de bogen inderdaad 28º is, afgerond op gehele graden.
         
 

De ingang van het reservoir bevindt zich midden in het zijvlak DAEH. Een fotograaf maak een foto van het reservoir met de bogen. Door de wijze waarop de foto is genomen lijkt één van de bogen op de foto precies te eindigen boven de rechterkant van de ingang.

Hiernaast staat een plattegrond van het reservoir en de omgeving.
De fotograaf stond in de berm van de snelweg toen hij zijn foto maakte.

 

     

3p.

12.

Geef in de plattegrond aan waar de fotograaf stond en licht je antwoord toe.
         

OPGAVE 4.
         
In de figuur hiernaast zijn de parabool p:  y = x2  en de lijn l: y = x + 4
getekend. Uit deze twee grafieken kun je een 'productgrafiek' maken; dat is de grafiek die hoort bij  y = x2 (x + 4)

Op l liggen de roosterpunten A, B en C (zie de figuur)

     
4p. 13. Verklaar waarom de productgrafiek door deze punten gaat.
     
Op de parabool liggen ook punten van de productgrafiek.
     
5p. 14. Geef de coördinaten van deze punten. Verklaar je antwoord.
         
De lijn l wordt evenwijdig verschoven, maar de parabool p blijft op zijn plaats.
Daardoor verandert de productgrafiek.
Hieronder zijn de parabool p en een aantal posities van de lijn l getekend.
         

         
7p. 15. Teken op elke van de getekende lijnen de snijpunten van die lijn en de bijbehorende productgrafiek.
         
Alle lijnen l hebben als vergelijking y = x + a
De productgrafieken hebben dus als vergelijking y = x2 (x + a)
In de volgende figuur zijn tien van de productgrafieken getekend. Als a ≠ 0  heeft de productgrafiek behalve O(0,0) nog een tweede top. 
         

         
4p. 16. Bereken de coördinaten van die tweede top als a = 4.    
         
5p. 17. Toon aan dat voor elke a ≠ 0  die tweede top ligt op de kromme met vergelijking  y = -1/2x3
         

 

 

 

 

UITWERKING
   
1. y = 1/2x  en  y = -1/2x + 2
   
2. 0,21
   
3. y = -1/4(x - 2)2 + 1
   
4.  
   
5. AE snijdt AF en BE
AE is evenwijdig aan CG
AE kruist BG, CF en DH
   
6. 2525 cm2
   
7. 382 mm
   
8. 4164 m2
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14. (0,0)  (-3,9)
   
15.  
   
16. (-8/3, 256/27)
   
17.