HAVO WB, 1996 - II

 

OPGAVE 1. Sneeuwvlokkromme.
       

       
In de figuur linksboven is een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm en de omgeschreven cirkel getekend. Deze figuur noemen we het nulde model.
Uit een model ontstaat het volgende model volgens onderstaande procedure:
a. Verdeel elke zijde van de veelhoek in drie gelijke stukken.
b. Teken tegen elk middelste stuk een gelijkzijdige driehoek (aan de buitenkant van de veelhoek).
c. Laat vervolgens elk middelste stuk uit het oorspronkelijke model weg.
       
Als deze procedure één keer is toegepast ontstaat het eerste model de gelijkzijdige driehoek wordt een ster (zie de figuur rechtsboven).
Pas hierop weer dezelfde procedure toe en je krijgt het tweede model (figuur linksonder). Zo kan men doorgaan, op den duur gaat de kromme steeds meer op een sneeuwvlok lijken (figuur rechtsonder).
       
3p. 1. Bereken de omtrek P0 van de driehoek in het nulde model en de omtrek P1 van de ster in het eerste model.
       
5p. 2. Bereken uit hoeveel lijnstukjes het vijfde model bestaat.
       
De formule voor de omtrek Pn van de veelhoek in het n-de model is:
       
4p. 3. Toon dit aan.  
       
4p. 4. Bereken de kleinste waarde van n waarvoor de omtrek groter is dan 1 kilometer.
       
Voor de oppervlakte On van de veelhoek in het n-de model geldt de formule:
       
5p. 5. Controleer de juistheid van deze formule voor n = 0 en n = 1.
       
4p. 6. Onderzoek of On groter kan zijn dan 25 cm2.
       
OPGAVE 2.
         
De functie f is gegeven door f(x) = 1 - 2sin1/3(x + π) waarbij  0 ≤ x ≤ 8π
         
4p. 7. Los op:  f(x) = 0.
         
7p. 8. Teken de grafiek van f. Licht je antwoord toe.
         
4p. 9. Geef de coördinaten van de toppen van de grafiek van f. Licht je antwoord toe.
         
5p. 10. Voor welke waarden van x geldt zowel  f ' (x) > 0 als  f '' (x) < 0? Licht je werkwijze toe.
         
OPGAVE 3.  Opslagruimte.
         

         
Met behulp van een frame van uitschuifbare tentstokken AE en BF en een rechthoekig zeil van 5 bij 10 meter wordt tegen een schutting een opslagruimte gemaakt in de vorm van een revht prisma AEHD.BFGC. De grensvlakken AEHD en BFGC blijven open en hebben elk de vorm van een trapezium met rechte hoeken in A, D, B en C.
De breedte AD van de opslagruimte is 3 meter. Het zeil wordt met de lange kant van 10 meter op de grond bevestigd langs AB.
Het wordt over de stok EF strak gespannen naar de schutting waar het zo hoog mogelijk wordt bevestigd. In de figuur is dat langs HG. De korte kant van het zeil valt langs AE en EH.
AE + EH = 5 meter. Doordat AE (= BF) variabel is, zal de hoogte van HG ook variabel zijn.
         
6p. 11. Bereken de inhoud van de opslagruimte als AE = 1 m. Rond je antwoord af op gehele m3.
         
De inhoud V van het prisma AEHD.BFGC hangt af van de lengte h van AE.
Voor V geldt:  V = 30h + 15√(16 - 10h + h2), waarbij h uitgedrukt is in m en V in m3.
         
6p. 12. Toon aan dat deze formule juist is.
         
Neem aan dat V = 60.
         
5p. 13. Toon aan dat dan geldt:  (4 - 2h)2 = 16 - 10h + h2 en bereken daaruit tot welke lengte AE en BF zijn uitgeschoven.
         
8p. 14. Bereken in gehele cm nauwkeurig de waarde van h waarbij de inhoud van de opslagruimte maximaal is.
         

 

OPGAVE 4. Regelmatig twaalfvlak.
         

         
Hierboven en hiernaast kun je zien hoe met een kubus en zes gelijke dakvormige figuren een nieuwe ruimtelijke figuur kan worden samengesteld. Hiernaast is te zien hoe de dakvormige figuren tegen de kubus zijn  bevestigd. Deze dakdelen zijn zo te maken dat er een regelmatig twaalfvlak ontstaat waarvan de twaalf grensvlakken regelmatige vijfhoeken zijn.

De lengte van de ribben van de kubus stellen we 2x en van de dakdelen stellen we de lengte van de ribben die niet tegen de kubus aankomen, gelijk aan y. We willen 2x en y zo kiezen dat er vlakke vijfhoeken, bijvoorbeeld PQGRF in de figuur hiernaast, ontstaan.

Jaap wil op de beschreven manier een regelmatig twaalfvlak maken met ribbe 4. Dus y = 4.

Hij probeert eerst wat uit. Hij neemt 2x = 6. In de figuur hieronder heeft hij een dakvorm getekend met y = 4 en 2x = 6.
         

         
Jaap gaat nu letten op de hellingshoeken α en β van de schuine vlakken.
         
7p. 15. Toon met een berekening aan dat nu geldt:  α ≈ 68º en β ≈ 39º .
         
Het lukt Jaap niet om met de gekozen afmetingen van de kubus en die dakdelen een regelmatig twaalfvlak te maken, want bijvoorbeeld driehoek RGF en vierhoek PQFG vormen zo geen vlakke vijfhoek PQRFG.

Jaap wil nieuwe dakvormen maken die wel samen met een kubus een regelmatig twaalfvlak kunnen vormen.
         
4p. 16. Leg uit waarom de afmetingen daarvoor zo gekozen moeten worden dat   α + β = 90º
         
Jaap wil een regelmatige twaalfvlak maken met een ribbenlengte van 4. Dus y = 4.
         
7p. 17. Bereken de exacte waarde van x bijvoorbeeld met behulp van de eigenschap:
als  tanα · tanβ = 1 dan is   α + β = 90º
         

 

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.