HAVO WB, 1999 - II

 

OPGAVE 1.  Een functie.
       

     
In de figuur hiernaast is de grafiek getekend van f en de verticale asymptoot x = 19.
     
6p. 1. Los op:  0 < f(x) < 4
     
De functie g is gegeven door: g(x) = x - 17
     
5p. 2. Teken in één figuur de grafiek van g en de horizontale asymptoot van de grafiek van f ;  geef een toelichting.
       
De grafiek van f heeft punten waarin de raaklijn aan de grafiek van f  evenwijdig is aan de grafiek van g.
       
6p. 3. Bereken de x-coördinaten van die punten.
       

 

OPGAVE 2.  Vaas.
         
Een vaas heeft als zijvlakken een ruit en een aantal driehoeken. De bodem heeft de vorm van een gelijkzijdige driehoek.
hieronder links zie je een tekening van de vaas. In de rechtertekening zie je hoe deze vaas precies past in een balkvormige doos.
         

         
In deze opgave wordt de dikte van de vaaswand verwaarloosd. In de figuur rechtsboven zijn A, B, H, en G hoelpunten van de balk; C,E, I en F zijn de middens van de ribben; D is het snijpunt van de zijvlaksdiagonalen AH en BG.

De hoogte van de doos in de figuur is BH = 21 cm en de breedte AB = 9 cm.
         
5p. 4. Toon aan dat de derde afmeting van de doos gelijk is aan 41/2√3 ≈ 7,8 cm.
         
6p. 5. Onderzoek of driehoek DEB gelijkbenig is.
         
8p. 6. Bereken de inhoud van de vaas: rond je antwoord af op gehele cm3.
         
In de vaas wordt een roos met rechte stengel geplaatst. De stengel staat op de bodem van de vaas en rust in I tegen de bovenrand. We nemen aan dat de stengel geen dikte heeft.
         
6p. 7. Onderzoek of het mogelijk is dat het uiteinde van de stengel op de bodem in B komt.
         

 

OPGAVE 3. Twee functies.
         
Gegeven zijn de functies:  f(x) = 2 • 3logx  en  g(x) = 3log(6 - x).
Hiernaast is de grafiek van f  getekend.

     
5p. 8. Teken in deze figuur de grafiek van g; licht je antwoord toe.
     
7p. 9. Los op:  f(x) ≤ g(x).
     
De grafiek van f wordt a eenheden naar links geschoven zo dat de beeldfiguur door het punt (-5,6) gaat.
     
8p. 10. Bereken a en stel een formule op voor de beeldfiguur
         
OPGAVE 4.  Kanteldeur.
         
Hieronder is een kanteldeur van een garage te zien, met rechts een schematische tekening van het zijaanzicht van deze deur.
         

         
De kanteldeur is door middel van een metalen frame aan de muur bevestigd.
PD en PQ zijn twee onderdelen van dat frame.
Bij het sluiten en openen van de kanteldeur glijdt het hoekpunt A van deze deur langs de horizontale rail PQ.
Het hoekpunt B van de deur is via een metalen arm BC verbonden met het midden M van PD.
Bij het sluiten en openen doorloopt B een halve cirkel, evenals punt C. Dit punt C is door middel van een veer CE verbonden met punt D op de grond. Deze veer zorgt voor tegenwicht zodat de deur bij sluiten en openen hanteerbaar blijft.

Enige gegevens:
• AB = PQ = PD = 200 cm.
• Het draaipunt M is het midden van PD.
• MC = 20 cm.
         
Een aanhangwagentje. geparkeerd in de garage, is 60 cm hoog.
         
7p. 11. Teken in de figuur rechtsboven de kanteldeur AB in de stand waarbij het wagentje er nog net onderdoor kan rijden.
         
De deur wordt gesloten vanuit een geheel geopende stand.
         
5p. 12. Bereken hoeveel cm de veer CE dan wordt uitgerekt.
         
Hoek BMP, uitgedrukt in radialen, noemen we a. Zie onderstaande figuur.
         

         
De hoogte (in cm) van B ten opzichte van de grond is afhankelijk van a en noemen we hB.
         
In de figuur hiernaast is de grafiek van hB getekend als functie van a; het is een sinusoïde.

     
5p. 13. Stel een formule op voor hB als functie van a.
     
De hoogte (in cm) van C ten opzichte van de grond noemen we hC.
     
4p. 14. Teken in de figuur hiernaast de grafiek van hC.
         
In de onderste figuur hiernaast  is de situatie getekend voor  α = 1/2π.

     
7p. 15. Bereken PA voor deze situatie. Geef het antwoord in cm nauwkeurig.
         

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.