HAVO WB, 2009 - II

 

Kaas
     
Op foto hieronder zie je drie stukken kaas. Het zijn delen van een hele, ronde kaas. Het grootste stuk is precies de helft van een hele kaas. Deze halve kaas heeft een vlakke zijkant. De vorm van de vlakke zijkant bestaat bij benadering uit een rechthoek van 30 cm bij 10 cm en twee halve cirkels met een diameter van 10 cm. Zie de figuur rechts.
     

     
3p. 1. Bereken de oppervlakte van de vlakke zijkant. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm2
     
Als je verticaal door het midden van de kaas snijdt, kun je stukken kaas maken zoals die ook op de foto te zien zijn. Bij een van de stukken kaas op de foto maken de snijvlakken een hoek van 40° met elkaar.

Zo'n stuk wordt met een snijvlak op de bodem van een balkvormig doosje gelegd. De binnenmaten van het grondvlak van het doosje zijn 20 cm bij 10 cm.
Zie onderstaande figuur.
     

     
4p. 2. Bereken hoe hoog de binnenkant van dit doosje minimaal moet zijn om dit stuk kaas er in te laten passen. Geef je antwoord in een geheel aantal centimeters.
   

 
Het volume van hele kazen die de vorm hebben van de kaas op de foto, kan worden berekend met behulp van de volgende formule:    V = 1/6p • h3 + 1/8p2 • d • h2  + 1/4p • d2 • h

Hierin is V het volume in cm3, h is de hoogte van de kaas in cm en d is de zogeheten binnendiameter van de kaas in cm. Zie volgende figuur.
     

     
Iemand wil kazen maken met deze vorm. Het volume van een hele kaas moet 5000 cm3 zijn en de hoogte moet 8 cm zijn. De kaas wordt gerijpt in een kamer van 3,50 m lang. Over de hele lengte van de kamer zijn planken tegen de muur aan gemaakt waarop de kazen naast elkaar kunnen liggen. Zie onderstaande foto.
     

     
6p. 3. Bereken hoeveel van deze kazen er maximaal naast elkaar op een plank kunnen liggen als ze worden neergelegd zoals op de foto.
   

 
Als de binnendiameter 0 wordt, ontstaat een bolvormige kaas. De inhoud van deze bolvormige kaas kun je ook uitrekenen met bovenstaande formule van V.
     
4p. 4. Vul d = 0 in de formule van V in en werk de formule die hierbij ontstaat om tot de bekende formule voor de inhoud van een bol met straal r.
   

 
Atomium
     
Een bekend gebouw in Brussel is foto het Atomium. Zie de foto.
De constructie van het Atomium bestaat uit 9 bollen die door buizen verbonden zijn. Van deze 9 bollen liggen er 8 op de hoekpunten van een kubus. De negende bol ligt in het midden van deze kubus op het snijpunt van de lichaamsdiagonalen. De kubus steunt op een van de
hoekpunten zo dat het middelpunt van de kubus recht boven het steunpunt ligt. De bollen van het Atomium hebben een diameter van 18 meter.
In figuur 1 is een model van het atomium te zien. Als de bollen van het Atomium als punten worden beschouwd en de buizen als lijnen, dan ziet het Atomium er schematisch uit zoals in figuur 2.

       

   
Van 2003 tot 2005 heeft men gewerkt aan de renovatie van het Atomium. Hierbij is de bekleding van aluminium platen aan de buitenkant van de bollen vervangen door platen van roestvrij staal. Er zijn plaatsen waar geen roestvrij staal aangebracht hoefde te worden.
Dat zijn:
- de plaatsen waar een buis aan een bol vastzit. De oppervlakte van één zo’n aanhechting is 7 m2.
- de ramen, de trapaanhechtingen en het steunpunt van de onderste bol, met een gezamenlijke oppervlakte van 750 m2.
     
4p. 5. Bereken de totale oppervlakte van de roestvrijstalen bekleding van de bollen.
   

 
Door de stand van de kubus liggen de punten F, H en C van het schematische model van figuur 2 op dezelfde hoogte. Ook de punten B, E en D liggen even hoog. Hieronder is, op schaal, een begin gemaakt met het bovenaanzicht van het model in figuur 2.
     

     
4p. 6. Maak dit bovenaanzicht verder af. Zet de namen van alle punten erbij.
   

 
In enkele bollen van het Atomium zijn twee verdiepingen aangebracht. De oppervlakten van de vloeren van de beide verdiepingen zijn even groot. Zie de volgende figuur. De straal van de bol is 9 meter.
     

     
De oppervlakte van de vloer van een verdieping is 240 m2.
     
5p. 7. Bereken de afstand tussen de twee verdiepingen.
   

 

 

Product van twee sinusoïden
     
De functie f is gegeven door f(x) = 2sinx • (1 + sinx)   met domein [0, 11/3π]
De afgeleide van deze functie is te schrijven als f '(x) = 2cosx • (1 + 2sinx)
     
4p. 8. Toon dit op algebraïsche wijze aan.
   

 
Op het interval [0, 11/3π] heeft de functie f één minimum en één maximum.
     
6p. 9. Bereken exact dit minimum en dit maximum.
   

 


 

Sluipwespen
     
Larven kunnen grote schade toebrengen aan gewassen. Larven kunnen milieuvriendelijk bestreden worden met sluipwespen. Een sluipwesp legt een eitje in de larve waardoor de larve uiteindelijk dood gaat. Een onderzoeker wilde weten hoeveel larven één sluipwesp maximaal per dag kan bestrijden.

Om dit te onderzoeken werd één sluipwesp in een grote afgesloten ruimte met larven gezet. Na één dag werd geteld hoeveel larven er in totaal in de ruimte waren. Dit aantal noemen we L.

Ook werd geteld hoeveel larven er een eitje bevatten.
Dit aantal wordt E genoemd. Het experiment werd zes maal uitgevoerd. De resultaten (stippen) zijn te zien in de volgende figuur.
     

     
Het verband tussen E en L kan redelijk worden benaderd door de formule
E = 64 • (1 − 0,60,02L )
In bovenstaande figuur is de grafiek van E getekend. Uit de figuur valt af te lezen dat bij L = 100 het aantal larven met eitjes volgens de formule nogal afwijkt van het gemeten aantal larven met eitjes.
     
3p. 10. Bereken bij L = 100 het verschil tussen het aantal larven met eitjes volgens de formule, afgerond op een geheel aantal larven, en het gemeten aantal larven met eitjes.
     
De formule is een hulpmiddel om te schatten hoeveel larven maximaal per dag door één sluipwesp kunnen worden bestreden. Volgens de formule kan het aantal larven met eitjes E niet boven een bepaalde grenswaarde uitkomen.
     
4p. 11. Beredeneer hoe groot deze grenswaarde is, door in de formule het aantal larven L te laten toenemen tot zeer grote waarden.
   

 


 

Gebroken functie met rechthoek.
     
De functie f is gegeven door f(x) = 1/x + 1  met x > 0 .

Op de grafiek van f  wordt een punt B gekozen.
Daarna worden punt A op de x-as en punt C op de y-as zodanig gekozen dat vierhoek OABC een rechthoek is. Zie de figuur hiernaast.

Van een punt B is gegeven dat de y-coördinaat 4/3 is.

     
3p. 12. Bereken exact de omtrek van rechthoek OABC
in deze situatie.
   

 
Voor elk punt B(b , 1/b + 1) op de grafiek van f is de oppervlakte van rechthoek OABC groter dan 1.
       
3p. 13. Toon dit op algebraïsche wijze aan.

   

 
De raaklijn aan de grafiek van f in een punt B heeft een richtingscoëfficiënt van  −1/2. Zie de figuur hiernaast.
     
4p. 14. Bereken exact de x-coördinaat van punt B in deze situatie.
   

 
     
     
       



 

Bumpersticker.
     
In het verkeer zie je regelmatig auto’s met bumperstickers. Een veel voorkomende sticker is er een in de vorm van een visje zoals te zien is op de foto. Dit visje is opgebouwd uit twee even grote cirkelbogen die in een gemeenschappelijk punt beginnen en elkaar in een tweede punt snijden. Zie de figuur rechts. Ook is in deze figuur te zien dat het visje precies wordt omsloten door een rechthoek.
     

     
In deze opgave wordt nagegaan hoe een visje getekend kan worden dat in een rechthoek past met een breedte van 10 cm en een hoogte van 4 cm. Om het visje te kunnen tekenen, is het nodig te weten wat de straal is van de bijbehorende cirkelbogen. Ook moet de positie van de middelpunten van de cirkelbogen ten opzichte van de rechthoek bekend zijn.
     
In de figuur hiernaast zijn de rechthoek en een deel van de onderste cirkel getekend. Er geldt het volgende:
- AB = CD = 10 cm
- AD = BC = 4 cm
- E is het midden van AD
- G is het midden van FH
- DH = EG = AF = p cm
- De straal van de cirkelboog is r cm.

Met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek MGE kan een vergelijking worden opgesteld.  
Deze vergelijking kan vervolgens worden omgewerkt tot  r = 1/4p2 + 1
     
6p. 15. Stel de gevraagde vergelijking op en werk deze om tot r = 1/4p2 + 1
   

 
Op soortgelijke manier kan met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek MBF een vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan vervolgens worden omgewerkt tot
II   p2 − 20p + 116 − 8r = 0

De in vergelijking I gegeven uitdrukking voor r kan in vergelijking II worden gesubstitueerd. Hierdoor ontstaat een vergelijking die kan worden omgewerkt tot
III  p2 + 20p − 108 = 0
     
3p. 16. Voer de hierboven beschreven substitutie uit en werk de daarbij verkregen vergelijking om
tot p2 + 20p − 108 = 0 .
     
Hieronder is een rechthoek van 10 cm bij 4 cm getekend. Om daarin een visje te kunnen tekenen, heb je de waarden van p en r nodig. Deze kunnen worden berekend door eerst vergelijking III op te lossen en daarna de gevonden waarde van p in vergelijking I in te vullen.
     

     
6p. 17. Bereken de waarden van p en r en teken daarmee een visje in de rechthoek. Geef duidelijk uitleg over je werkwijze.
   

 
Wortelfunctie en raaklijn.
   
De functie f is gegeven door f(x) = 4• √(9 + 3x).
Lijn m is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt S(9, 24). Zie onderstaande figuur.
   

   
De richtingscoëfficiënt van lijn m is 1.
     
4p. 18. Toon dit door middel van differentiëren aan.
   

 
De grafiek van f snijdt de y-as in punt A. De lijn m snijdt de y-as in punt B. Zie de figuur.
     
5p. 19. Bereken exact de oppervlakte van driehoek ASB.
   

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. De oppervlakte van de rechthoek is 10 • 30 = 300
De twee halve cirkels zijn samen een hele cirkel met straal 5, en die heeft oppervlakte π • 52 = 25π
Samen is dat 300 + 25π = 379 cm2
   
2. Het vooraanzicht is als hiernaast.
Daarin zie je dat sin40º = h/20
Dus h = 20 • sin40º = 12,9

Het doosje moet dus minstens 13 cm hoog zijn.

   
3. V = 5000 en h = 8 invullen geeft  5000 = 1/6π • 83 + 1/8π2 • d • 82  + 1/4π • d2 • 8
dat geeft  268,08257 + 78,9568d + 6,2832d2 = 5000  dus  6,2832d2 + 78,9568d - 4731,91743 = 0
ABC formule met a = 6,2832  en b = 78,9568  en  c = -4731,91743 geeft  d = 21,87  (of d = -34,4)
(het kan natuurlijk ook met intersect van de GR)
Als de hoogte 8 is, is de straal van de cirkel die de zijkanten vormt 4.
De totale lengte wordt dan  21,87 + 2 • 4 = 29,87
Als de plank 350 cm is, passen er  350/29,87 = 11,7 kazen naast elkaar.
Dat zijn dus 11 kazen. 
   
4. V = 1/6π • h3 + 1/8π2 • 0 • h2  + 1/4π • 0 • h
V = 1/6π • h3
Maar h = 2r   dus daar staat  V = 1/6π • (2r)3 = 1/6π • 8r3 = 8/6π • r3 = 4/3πr3
   
5. De oppervlakte van één bol is  4 • π • 92 = 324π. Dus 9 bollen hebben oppervlakte 9 • 324π = 2916π
Van de 8 bollen aan de rand lopen 4 buizen naar een andere bol. Dat zijn 8 • 4 = 32  aanhechtingspunten op die bollen.
Van de middenbol lopen 8 buizen naar de andere bollen. In totaal zijn er dus 32 + 8 = 40 aanhechtingspunten.
Elk heeft oppervlakte 7m2 dus in totaal is dat 40 • 7 = 280 m2
De oppervlakte die overblijft voor de bekleding is dan  2916p - 280 - 750 = 8130,88 m2
   
6. F ligt recht onder G zodat GF = GH = GC.
Teken EF evenwijdig een HG en even lang.
Dat geeft punt E.
Teken FB evenwijdig aan AC en even lang.
Dat geeft punt B
Samen geeft dat het bovenaanzicht hiernaast.

   
7. De oppervlakte is 240, dus πr2 = 240
Dan is r2 = 240/π = 76,39  dus  r = √76,39 = 8,74
In het vooraanzicht hiernaast zie je dat Pythagoras geeft dat  92 = 8,742 + d2  dus  d2 = 92 - 8,742 = 4,61
dan is d = √4,61 = 2,146
De afstand tussen de verdiepingen is dan 2 • 2,146 = 4,3 m.

   
8. f(x) = 2sinx + 2sinx • sinx  = 2sinx + 2sin2x
Met de kettingregel:  f '(x) = 2cosx + 2 • 2sinx • cosx  = 2cosx(1 + 2sinx)

of direct met de productregel:
f '=  2cosx(1 + sinx) + 2sinx • cosx = 2cosx + 2cosx sinx + 2sin cosx = 2cosx + 4sinxcosx
= 2cos(1 + 2sinx)
   
9. f '(x) = 0  ⇒  cosx = 0  of  1 + 2sinx = 0
cosx = 0  geeft  x = 1/2π

1 + 2sinx = 0  ⇒  2sinx = -1  ⇒  sinx = -1/2  ⇒  x = -1/6π  of  x = 11/6π  en die laatste is de goede.

minimum: f(11/6π) = 2sin11/6π • (1 + sin11/6π) =  -1/2

maximum:  f(1/2π) = 2sin1/2π • (1 + sin1/2π) = 4
   
10. Bij L = 100 lees je ongeveer af  E = 48.
Volgens de formule moet het zijn  E = 64 • (1 - 0,60,02 • 100) = 40,96 dus ongeveer 41.
Het verschil is  48 - 41 = 7 larven.
   
11. Als L groter wordt gaat  0,60,02L   naar nul toe.
Dan gaat 1 - 0,60,02L naar 1 toe
Dan gaat 64 • (1 - 0,60,02L) naar 64 toe
De grenswaarde van E zal 64 zijn.
   
12. 1/x + 1 = 4/3  ⇒  1/x = 1/3  ⇒  x = 3
De omtrek is dan 3 + 4/3 + 3 + 4/3 = 82/3.
   
13. De oppervlakte is  y • x
Dat is  (1/x + 1) • x = 1/x • x +  1 • x = 1 + x
Omdat x > 0 is dit altijd groter dan 1
   
14. f(x) = x-1 + 1
f '(x) = -x-2
f '(x) = -1/2  ⇒  -x-2 = -1/2  ⇒  x-2 = 1/2  ⇒  1/x2 = 1/2  ⇒  x2 = 2  ⇒  x = √2   (x = -√2 kan niet)
Dus de x-coördinaat van B is √2.
   
15. In driehoek MGE:  EG2 + GM2 = EM2
EG = p
GM = r - 2
EM = r
Dat geeft  p2 + (r - 2)2 = r2  ⇒  p2 + r2 - 4r + 4 = r2  ⇒  p2 + 4 = 4r  ⇒   r = 1/4(p2 + 4) = 1/4p2 + 1
   
16. p2 - 20p + 116 - 8(1/4p2 + 1) = 0
⇒  p2 - 20p + 116 - 2p2 - 8 = 0
⇒  -p2 - 20p + 108 = 0
⇒  p2 + 20p - 108 = 0
   
17. p2 + 20p - 108 = 0
ABC formule met a = 1, b = 20 en c = -108
geeft p = 4,42  (en ook p = -24,42 maar die klopt niet)
r = 1/4p2 + 1 = 1/4 • 4,422 + 1 = 5,9
Teken H zodat DH = 4,42.
Teken recht daaronder M zodat HM = 5,9
Teken cirkelbogen met straal MH en je krijgt de figuur hiernaast.		 2
   
18. f(x) = 4 • (9 + 3x)0,5
Met de kettingregel:  f '(x) =  0,5 • 4 • (9 + 3x)-0,5 • 3 = 6(9 + 3x)-0,5
f '(9) = 6(9 + 3 • 9)-0,5 = 6 • 36-0,5 = 6 • 1/6 = 1
   
19. de vergelijking van m is (omdat de richtingscoëfficiënt 1 is):  y = x + b
m gaat door (9, 24) dus  24 = 9 + b  dus  b = 15.  En daarom is  B = (0,15)

f(0) = 4 • √(9 + 3 • 0) = 12  dus  A = (0, 12)

Kies als  basis van driehoek ABS zijde AB; die is 15 - 12 = 3
De hoogte is dan de afstand van S tot de y-as en die is 9.
De oppervlakte is dan 0,5 • 3 • 9 = 13,5