HAVO WB, 2012 - I

 

Vliegende Parkieten
       
De wetenschapper Vance Tucker heeft onderzocht hoeveel energie een parkiet verbruikt bij het vliegen met verschillende snelheden.

Uit zijn onderzoek blijkt dat de hoeveelheid energie die een parkiet per meter bij een bepaalde snelheid verbruikt, bij benadering berekend kan worden met behulp van de formule

 
 

Hierin is D het energieverbruik per meter (in Joule per meter, J/m) en v de snelheid in meter per seconde (m/s). De formule geldt voor v > 5.
In de figuur zie je de grafiek die bij deze formule hoort.

       

       
Een parkiet versnelt van 12 m/s naar 15 m/s.
       
4p. 1. Bereken met hoeveel procent D toeneemt.
     

 
Als het energieverbruik per meter minder is dan 0,10 J/m, kan een parkiet heel lang blijven vliegen.
       
4p. 2. Bereken bij welke snelheden dit het geval is. Geef je antwoord in meter per seconde in één decimaal nauwkeurig.
     

 
De snelheid waarbij het energieverbruik per meter minimaal is, heet de kruissnelheid. Om de kruissnelheid te berekenen, is de afgeleide van D nodig. Er geldt:

       
3p. 3. Toon de juistheid van deze formule voor dD/dv aan.
     

 
4p. 4. Bereken op algebraïsche wijze de kruissnelheid van parkieten in meter per seconde. Rond daarna je antwoord af op één decimaal.
     

 
Prisma
         
Gegeven is balk ABCD.EFGH, met AB = 8 en BC = CG = 6 . De punten K respectievelijk L zijn de middens van AE respectievelijk BF. De punten M en N liggen op FG en EH zo dat HN = GM = 2.
         

         
Van balk ABCD.EFGH wordt een stuk afgesneden zodat prisma ADHNK.BCGML ontstaat.

Hieronder is een begin getekend van een uitslag van het prisma. Hierbij komt een lengte-eenheid van de balk in de figuur hierboven overeen met 0,5 cm.

         

4p. 5. Maak deze uitslag af. Zet de namen bij alle hoekpunten.
       

 
Het prisma wordt doorsneden door het vlak PQRST. Dit vlak is evenwijdig aan ADHNK en verdeelt prisma ADHNK.BCGML in twee delen. Zie de figuur hiernaast.

De lengte van AP is zo gekozen dat de inhoud van het deel ADHNK.PQRST een kwart is van de inhoud van balk ABCD.EFGH.

     
5p. 6. Bereken de lengte van AP.
   

 
     
     
         

 

CO2
         
Sinds 1870 meet men de CO2-concentratie in de atmosfeer. De CO2-concentratie wordt uitgedrukt in parts per million (ppm). Dit is het aantal CO2-deeltjes per miljoen deeltjes. In de figuur hieronder kun je zien hoe de CO2-concentratie in de atmosfeer is veranderd in de periode 1870-2000.
         

         
In het jaar 1900 veronderstelde de latere Nobelprijswinnaar Arrhenius dat de lineaire groei van de CO2-concentratie zoals die toen al sinds 1880 optrad, zich op dezelfde manier zou voortzetten. Hij voorspelde hiermee hoeveel de CO2-concentratie tussen 1900 en 2000 zou toenemen. De toename zoals die door Arrhenius is voorspeld, is veel kleiner dan de werkelijke toename tussen 1900 en 2000.
         
3p. 7. Bepaal met behulp van de figuur hoeveel ppm de door Arrhenius voorspelde toename te klein uitviel.
       

 
Na 1930 steeg de CO2-concentratie sneller dan Arrhenius in 1900 had aangenomen. Een model dat beter past bij de gegevens van 1930 tot 2000 gaat uit van een natuurlijk niveau in de CO2-concentratie met daar bovenop een bijdrage van de mens aan de CO2-concentratie, de zogeheten menselijke component. Wetenschappers hebben kunnen vaststellen dat het natuurlijke niveau al eeuwen rond de 285 ppm schommelt. Voor de menselijke component vanaf 1930 wordt in het model uitgegaan van exponentiële groei.

In 1930 bedroeg de CO2-concentratie 300 ppm. Hiervan was 285 ppm het natuurlijke niveau en 15 ppm de menselijke component. In 2000 was de CO2-concentratie gestegen tot 370 ppm. Met behulp van deze gegevens kun je berekenen met hoeveel procent de menselijke component elke 10 jaar volgens het model toeneemt.

         
4p. 8. Bereken deze procentuele toename per 10 jaar. Rond je antwoord af op een geheel aantal procenten.
       

 
Een formule die de CO2-concentratie vanaf 1 juli 1930 goed benadert, is C = 15 • 1.025t + 285
Hierin is C de CO2-concentratie in ppm en t is de tijd in jaren na 1 juli 1930.
         
4p. 9. Bereken met behulp van deze formule in welk jaar de menselijke component even groot zal zijn als het natuurlijke niveau.
       

 

 

Wortelfunctie.
         
De functie f is gegeven door:   f(x) = √(4x - 12)
De lijn met vergelijking   y = 2x - 5 en de grafiek van f snijden elkaar niet.
         
5p. 10. Toon dit op algebraïsche wijze aan.
       

 
Er bestaat precies één lijn die evenwijdig is aan de lijn  y = 2x - 5 en die raakt aan de grafiek van f. Omdat deze lijn evenwijdig is aan de lijn y = 2x - 5   heeft deze een vergelijking van de vorm y = 2x + b.
         
7p. 11. Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van b.
       

 
De functie g is gegeven door g(x) = √x . De grafiek van f ontstaat uit de grafiek van g door twee transformaties na elkaar toe te passen.
         
3p. 12. Geef aan welke twee transformaties dit kunnen zijn en in welke volgorde ze moeten worden toegepast.
       

 
Satellieten.
         
Satellieten zijn objecten die om andere objecten, bijvoorbeeld de aarde, draaien. De tijd die een satelliet nodig heeft om een volledige ronde om de aarde te maken, wordt de omlooptijd genoemd. Bij benadering geldt de volgende formule: 
 
 

Hierin is T de omlooptijd in seconden en r de afstand in km van het middelpunt van de satelliet tot het middelpunt van de aarde.

De bekendste satelliet van de aarde is de maan. De omlooptijd van de maan is ongeveer 28 dagen.

         
3p. 13. Bereken de afstand tussen het middelpunt van de maan en het middelpunt van de aarde. Geef je antwoord in duizenden kilometers nauwkeurig.
       

 
In deze opgave wordt de aarde beschouwd als een bol. De straal van de aarde is ongeveer 6400 km.

Een weersatelliet draait in een baan om de aarde op een constante hoogte van 800 km boven het aardoppervlak. Weersatellieten zijn klein vergeleken met de afstand tot de aarde. Ze mogen daarom als punten worden beschouwd.

         
5p. 14. Bereken met welke snelheid deze weersatelliet om de aarde draait. Geef je antwoord in duizenden km/uur nauwkeurig.
       

 
Een satelliet draait in een baan om de aarde, recht boven de evenaar. De satelliet scant een deel van het aardoppervlak aan beide zijden van de evenaar. De totale breedte van de gescande strook is 400 km. Omdat dit klein is ten opzichte van de straal van de aarde, mag de strook als een cilindermantel worden beschouwd. Zie de figuur.

     
3p. 15. Bereken hoeveel procent van het aardoppervlak door de satelliet wordt gescand. Rond je antwoord af op een geheel aantal procenten.
   

 
     
         

 

Sinusoïde
         
Op het domein [0, p] is de functie f gegeven door f(x) = 2 - 4sin(2x).
De grafiek van f snijdt de x-as in de punten A en B. Zie de figuur.
         

         
4p. 16. Bereken exact de x-coördinaten van de punten A en B.
       

 
Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (0,2).
         
6p. 17. Bereken exact de coördinaten van het snijpunt van l met de x-as.
       

 

 

Ei.
         
In deze opgave bekijken we een model-ei. Dit model-ei is 6 cm lang en 4 cm breed. Het model-ei bevat eiwit en eigeel. Het eigeel is bolvormig en heeft een straal van 11/2 cm. Zie de figuur.
         

         
In deze opgave laten we de eierschaal buiten beschouwing.

Voor de inhoud I (in cm3) van het model-ei geldt de formule I = 1/6 ∙ π ∙ b2 ∙ l
Hierin is l de lengte in cm en b de breedte in cm van het model-ei. Zie de figuur.

De inhouden van eiwit en eigeel in het model-ei verhouden zich exact als 23:9.

         
4p. 18. Toon dit aan.  

 
         
Een eirol is een cilindervormige rol die bestaat uit gekookt eiwit en eigeel. Eirollen worden gebruikt in restaurants en door cateringbedrijven. Zie de foto.

Veronderstel dat bij het maken van eirollen alleen gebruik wordt gemaakt van model-eieren. Hierbij gaat geen eiwit of eigeel verloren.

De eirol wordt in gelijke plakjes gesneden. De plakjes zijn cirkelvormig met een diameter van 4,0 cm. In het midden van elk plakje zit een cirkelvormig stuk eigeel. De verhouding van de oppervlakten van eiwit en eigeel in de plakjes is ook 23:9.

         
5p. 19. Bereken de diameter van het cirkelvormige stuk eigeel. Rond je antwoord in centimeter af op één decimaal.
       

 

 

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. v = 12  geeft  D = 6,0/122 + 0,00050•122 - 0,033 = 0,0807
v = 15 geeft  D = 6,0/152 + 0,00050•152 - 0,033 = 0,1062
de toename is 0,1062 - 0,0870 = 0,0255
dat is  0,0255/0,0870 • 100% = 31,6%
   
2. D = 0,10 geeft  6,0/v2 + 0,00050v2 - 0,033 = 0,10
Y1 = 6,0/X^2 + 0,0005X^2 - 0,033  en  Y2 = 0,10
calc - intersect levert dan X = v = 7,59  of  v = 14,44
De parkiet kan heel lang blijven vliegen voor snelheden tussen de 7,59 en 14,44 m/s.
   
3. D = 6,0/v2 + 0,00050v2 - 0,033  =  6,0 • v-2 + 0,00050v2 - 0,033
de afgeleide is dan  D' = -2 • 6,0 • v-3 + 2 • 0,00050 • v   = -12•v-3 + 0,001•v  = -12/v3 + 0,001v
   
4. Het energieverbruik is minimaal als de afgeleide ervan nul is.
-12/v3 + 0,001v = 0
Vermenigvuldig alles met v3:   -12  + 0,001v4  = 0
⇒ 0,001v4 = 12   ⇒  v4 = 12/0,001 = 12000  ⇒   v = 120001/4 = 10,5 m/s
   
5. Zie de figuur hiernaast.

LM2 = 32 + 42  dus  LM = 5

(je kunt de lengte van LM ook uit de vierhoek BLCG overnemen met je passer)
   
6. De inhoud van de balk is  8 • 6 • 6 = 288, dus de inhoud van ADHNK.PQRST is  288/4 = 72.
De figuur is een prisma dus de inhoud is grondvlak • hoogte, waarbij het grondvlak ADHNK is, en de hoogte AP.
ADHNK is een rechthoek waar een driehoekje is afgehaald, dus de oppervlakte ervan is  6•6 - 1/2•4•3 = 30
Dus moet gelden:  grondvlak • hoogte = 30 • AP = 72   dus is AP = 72/30 = 2,4
   
7. Trek het lijnstuk tussen 1880 en 1900 door, zoals hiernaast is gebeurd.
De voorspelde concentratie in 2000 is dan ongeveer 314.

De werkelijke concentratie in 2000 was 370.

Dat is dus 370 - 314 = 56 ppm te laag.
 
   
8. In 2000 was de concentratie 370, dus de menselijk component was 370 - 285 = 85 ppm
In 70 jaar is het gegroeid van 15 naar 85
Dus geldt, als je stappen van 10 jaar bekijkt:    85 = 15 • g7 
g7 = 85/15  ⇒  g = (85/15)1/7 = 1,281
Dat is een toename van 28%
   
9. C = 15 • 1,025t  + 285
Dat betekent dat de menselijke component gelijk is aan  15 • 1,025t  (het natuurlijke niveau is 285)
Als dat gelijk moet zijn aan het natuurlijke niveau, dan moet gelden   285 = 15 • 1,025t

1,025t = 285/15 = 19
t = log19/log1,025 = 119 jaar
t = 0 is 1 juli 1930, dus zal t = 119 in het jaar 2049 vallen.  
   
10. Ze snijden elkaar als  2x - 5 = √(4x - 12)
Als ze elkaar niet snijden, dan mag deze vergelijking dus géén oplossing hebben.
Beide kanten kwadrateren:  (2x - 5)2 = (4x - 12)
⇒  (2x - 5)(2x - 5) = 4x - 12
⇒  4x2 - 10x - 10x + 25 = 4x - 12
⇒  4x2 - 24x + 37 = 0
Dat is een kwadratische vergelijking, en die heeft geen oplossing als de Discriminant ervan kleiner dan nul is.
D = b2 - 4ac = (-24)2 - 4 • 4 • 37  = 576 - 592 = -16
Dat is kleiner dan nul, dus de vergelijking heeft inderdaad geen oplossing, dus de grafieken hebben geen snijpunt.
   
11. Als de lijn de grafiek raakt, dan hebben ze dezelfde helling.
De helling van de lijn is 2, dus moet de helling van  de grafiek ook 2 zijn.
Dus is de afgeleide 2 (dat is immers de helling)
y = √(4x - 12)  = (4x - 12)0,5
Dat geeft  y' = 0,5 • (4x - 12)0,5 - 1 • 4    (die 4 komt van de kettingregel)
y'= 2  geeft dan  2 = 0,5 • (4x - 12)-0,5 • 4  =  2 • (4x - 12)-0,5
⇒  (4x - 12)-0,5 = 1  ⇒  4x - 12 = 1   ⇒  4x = 13   ⇒  x = 3,25

x = 3,25 geeft  y = √(4 • 3,25 - 12) = 1  dus het raakpunt is het punt  (3.25, 1)
Daar moet de lijn y = 2x + b ook doorheen gaan.
Dan geldt  1 = 2 • 3,25 + b  ⇒  1 = 6,5 + b  ⇒  b = -5,5
   
12. √x →  √(x - 12) →  √(4x - 12)
Bij de eerste pijl wordt x vervangen door x - 12, en dat betekent dat de grafiek 12 naar rechts wordt geschoven (translatie 12 naar rechts)
Bij de tweede pijl wordt x vervangen door 4x en dat betekent dat de afstand tot de y-as 1/4 keer zo groot wordt (vermenigvuldiging tov de y-as met factor 1/4)
   
13. 28 dagen is 28 • 24 • 60 • 60 = 2419200 seconden.
dan moet gelden  2419200 = 0,00995 • r1,5
2419200/0,00995 = 243135678,4 = r1,5
r = 243135678,41/1,5 = 389552,3202 km
afgerond is dat 390000 km
   
14. De afstand van de satelliet tot het middelpunt van de aarde is 800 + 6400 = 7200 km.
T - 0,00995 • 72001,5 = 6078,86 seconden

de afstand die de satelliet aflegt is de omtrek van een cirkel met straal 7200, en dat is 2 • π • 7200 = 45238,93 km

De snelheid is dus  afstand/tijd = 45238,93/6078,86 = 7,442 km/sec.
per uur is dat 3600 • 7,442 = 26791 km/uur en dat is afgerond  27000 km/uur.
   
15. de lengte van de strook is  2 • π • 6400
de breedte van de strook is 400
de oppervlakte van de strook is dan  2 • π • 6400 • 400

de oppervlakte van een bol is 4πr2 dus de oppervlakte van de aarde is  4 • π • 64002

het percentage is dan  2 • π • 6400 • 400 /4 • π • 64002  • 100% = 3%
   
16. y = 0:   2 - 4sin(2x) = 0
4sin(2x) = 2
sin(2x) = 1/2
2x = 1/6π + k2π  ∨  2x = π - 1/6π + k2π
x = 1/12π + kπ  ∨  x = 5/12π + kπ
Omdat A en B tussen x = 0 en x = π liggen zijn de x-coördinaten:  1/12π  en  5/12π 
   
17. f '(x) =  -4cos(2x) • 2  (die 2 komt van de kettingregel)
f '(0) = -4 • cos(2 • 0) • 2 = -8
De raaklijn heeft dus vergelijking  y = -8x + b
De raaklijn moet door (0, 2) gaan dus b = 2 en de vergelijking is y = -8x + 2
Snijpunt met de x-as:  -8x + 2 = 0 ⇒  8x = 2  ⇒  x = 1/4.
De coördinaten zijn dus  (1/4, 0)
   
18. De inhoud van een bol is  4/3πr3  dus de inhoud van het eigeel is  4/3π • 1,53 = 4,5π
De inhoud van het ei is 1/6 • π • 42 • 6 = 16π
De inhoud van het eiwit is  16π - 4,5π = 11,5π
De verhouding is dan  11,5π/4,5π = 11,5/4,5 = 23/9
   
19. Als de verhouding 23 : 9 is,  dan is het eigeel 9/32 deel van het totaal (en het eiwit 23/32 deel)
De totale oppervlakte is  πr2 = π • 22 = 12,57
Het eigeel heeft dus oppervlakte  9/32 • 12,57 = 3,53
Als de straal van het eigeel r is, dan geldt er dus  πr2 = 3,53
r2 = 3,53/π = 1,125  ⇒  r = √1,125 = 1,06
De diameter is dan  2 • 1,06 = 2,1 cm