HAVO WB, 2015 - II  PILOT
Veilig vliegen.
       
De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid foot (met meervoud feet). Een foot is iets meer dan 30 cm. Om de snelheid van straaljagers aan te geven, gebruikt men de term Mach. Mach 1 is gelijk aan de geluidssnelheid (dit is ongeveer 1224 km/uur). Mach 2 is tweemaal de geluidssnelheid, enzovoorts.

In de figuur zijn alle combinaties van hoogte en snelheid waarmee een F-15-straaljager veilig kan vliegen, grijs weergegeven. Een F-15-piloot zal er tijdens een vlucht voor moeten zorgen dat de combinatie hoogte en snelheid binnen dit veilige gebied valt.
       

       
In de figuur is bijvoorbeeld af te lezen dat een F-15-straaljager op een hoogte van 10 000 feet veilig vliegt bij een snelheid tussen Mach 0,15 en Mach 1,29.

Een F-15 stijgt op vanaf een hoogte van 0 feet met een snelheid van Mach 0,4. Tijdens elke 5000 feet stijging voert de piloot de snelheid met Mach 0,3 op. Tijdens deze vlucht neemt de hoogte lineair toe met de snelheid.
       
4p. 1. Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage tot welke maximale hoogte en bijbehorende snelheid de F-15 op deze manier veilig blijft vliegen. Geef de snelheid in Mach in één decimaal nauwkeurig en de hoogte in duizenden feet nauwkeurig.
     

  
De formule die hoort bij de gekromde linker rand van het in de figuur grijs gemaakte gebied, is: 
h = 60,2 • log(10v)

De formule die hoort bij de gekromde rechter rand van het in de figuur grijs gemaakte gebied, is:
h = 33,3 • √(v - 1,2)

In beide formules is h de hoogte in duizenden feet en v de snelheid in Mach.

Een andere F-15 vliegt op een hoogte van 30000 feet.
       
3p. 2. Bereken de minimale veilige snelheid in Mach van deze F-15. Rond je antwoord af op één decimaal.
       
In de formule  h = 33,3 • √(v - 1,2)   is h uitgedrukt in v.
     

  
3p. 3. Herleid deze formule zo dat v uitgedrukt wordt in h.
     

   
Twee cirkels, één raaklijn.
       

De cirkel c1 met middelpunt O is gegeven door x2 + y2 = 16 .
De cirkel c2 met middelpunt M is gegeven door x2 - 10x + y2 + 16 = 0 .
De cirkels snijden elkaar in de punten A en B. Zie de figuur.
       

       
Er geldt: ∠OAM = 90º
       

5p.

4.

 Toon dit op algebraïsche wijze aan.
       

De lijn l met vergelijking y = -1/12√6 • x + 5/3√6  raakt cirkel c2 in het punt P.
Zie onderstaande figuur.
       

       

5p.

5.

 Bereken exact de coördinaten van P.
       
Functies met een wortel.
       
De functie f wordt gegeven door f(x) = (x - √x)2 .
Er geldt:   f '(x) = 2x - 3√x  + 1
       
3p. 6. Toon dit op algebraïsche wijze aan.
     

  
In de volgende figuur zijn de grafiek van f en de lijn y = x getekend.
 

 

De grafiek van f en de lijn y = x hebben behalve de oorsprong het punt A gemeenschappelijk.
De x-coördinaat van A is 4.
       

5p.

7.

 Toon dit op algebraïsche wijze aan.
       

Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f  in het punt A.
De lijn k gaat door A en staat loodrecht op de lijn y = x .
       

5p.

8.

 Bereken in hele graden nauwkeurig de hoek die k en l met elkaar maken.
       
De formule die hoort bij de grafiek van f is y = (x - √x)2.
Deze formule kun je ook schrijven als  y = (x - p√x)2  met p = 1.
Voor elke waarde van p kan bij de formule  y = (x - p√x)2  de bijbehorende grafiek getekend worden.
In onderstaande figuur zijn voor een aantal waarden van p met p > 0  de bijbehorende grafieken getekend.
       

       
Er zijn twee waarden van p waarvoor de grafiek van  y = (x - p√x)2  door het punt (36, 36) gaat.
       

4p.

9.

 Bereken exact deze waarden van p.
     

   
Vierkanten.
       
In de figuur staan vier vierkanten die telkens in een hoekpunt met elkaar verbonden zijn. Elk vierkant heeft een rangnummer n. In de figuur zijn de vierkanten met de rangnummers 1 tot en met 4 getekend.
       

       
De lengte van de zijde van een vierkant is telkens gelijk aan de lengte van de diagonaal van het voorgaande vierkant.

De lengte van de zijde van een vierkant met rangnummer n stellen we gelijk aan z(n).
Voor het vierkant met rangnummer 1 geldt  z(1) = 1.
Voor het vierkant met rangnummer 3 geldt  z(3) = 2.

De lengte van de zijde van een opvolgend vierkant wordt telkens vergroot met een factor k.
       
3p. 10. Bereken de exacte waarde van k.
     

  
Voor de oppervlakte A van een vierkant met rangnummer n geldt de formule:  A(n) = 1/2 • 2n

Voor een bepaald vierkant is de oppervlakte gelijk aan 131072.
       

3p.

11.

 Bereken exact het bijbehorende rangnummer n.
     

  
Er kan een formule voor z(n )opgesteld worden waarmee je direct de lengte van een zijde kunt berekenen.
Deze formule is van de vorm  z(n) = 2a•n + b
       

4p.

12.

 Bereken de waarden van a en b.
     

   
Niet-werkende werkzoekenden
       

Op de website van het UWV (Uitvoeringsinstituut Werknemersverzekeringen) worden gegevens gepubliceerd over de aantallen niet-werkende werkzoekenden in Nederland. In onderstaande figuur zijn deze gegevens door middel van kleine vierkantjes per kwartaal weergegeven over de jaren 2005 tot en met 2008. Verder is in de figuur een grafiek getekend die het aantal niet-werkende werkzoekenden benadert.
       

       

Over de jaren 2005 tot en met 2008 nam het aantal niet-werkende werkzoekenden bij benadering exponentieel af.
In het eerste kwartaal van 2005 waren er 356 000 niet-werkende werkzoekenden. In het laatste kwartaal van 2008 waren dat er 144 000.
       

4p.

13.

Bereken met behulp van deze gegevens met hoeveel procent per kwartaal het aantal niet-werkende werkzoekenden in deze periode bij benadering afnam. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
       
In de volgende figuur zijn vier toenamendiagrammen getekend.
       

       

Eén van bovenstaande toenamendiagrammen past bij de exponentiële afname uit de eerste figuur.
       

3p.

14.

 Leg uit welk toenamendiagram dat is.
       
Een functie met sinus.
       

Op het domein [0, 6π] is de functie f gegeven door:  f (x) = x • sin(x) -  sin(x)

Op het gegeven domein zijn de punten O(0, 0) , P(1, 0) , Q, R, S, T, U en V de snijpunten van de grafiek van f met de x-as.
De punten A en B liggen op de grafiek van f.
De x-coördinaat van A ligt midden tussen de x-coördinaten van R en S.
De x-coördinaat van B ligt midden tussen de x-coördinaten van T en U.
Zie de figuur.
       

       

Uit de gegevens volgt: xA = 21/2π en xB = 41/2π
       

4p.

15.

Toon met behulp van exacte berekeningen aan dat inderdaad uit de gegevens volgt dat xA = 21/2π
en xB = 41/2π
       
Lijn l is de lijn door de punten A en B. Zie de volgende figuur.
       

       
Lijn l lijkt door P(1, 0) te gaan.
       

4p.

16.

 Toon met behulp van exacte berekeningen aan dat l door P gaat.
       
Cirkel en punt.
       

De cirkel c is gegeven door (x - 2)2 + ( y + 3)2 = 20 .
Bovendien is gegeven het punt A(3, 1) .
       

3p.

17.

 Onderzoek of A op, binnen of buiten de cirkel ligt.
       

Gegeven is het punt B(1, -5) .
De cirkel c heeft twee snijpunten met de y-as, de punten P en Q.
       

6p.

18.

 Bereken hoek PBQ in hele graden nauwkeurig.
       
Van een rechte naar een scheve cilinder.
       

In deze opgave bekijken we een cilinder waarvan de hoogte 50 is en de diameter van het grondvlak 10. In figuur 1 is een zijaanzicht van deze rechte cilinder weergegeven.

De cilinder wordt scheef doorgesneden en vervolgens worden de twee losse delen zo aan elkaar vastgemaakt dat het cirkelvormige grondvlak en bovenvlak van de rechte cilinder tegen elkaar liggen. Uiteindelijk ontstaat een scheve cilinder. In de figuren 2 tot met 6 wordt dit proces in het zijaanzicht weergegeven.
       

       

De hoek die het snijvlak bij het scheef doorsnijden van de cilinder maakt met de lengterichting noemen we α en de lengte van de doorsnede in het zijaanzicht noemen we d. De hoogte van de scheve cilinder in de stand van figuur 6 noemen we h. In de figuren 2 tot en met 5 zijn α en d aangegeven. In figuur 6 zijn α , d en h aangegeven.

Bij een bepaalde waarde van α is de hoogte h van de scheve cilinder 90% van de hoogte van de oorspronkelijke, rechte cilinder.
       
3p. 19. Bereken deze waarde van α . Geef je antwoord in hele graden nauwkeurig.
     

  

Voor de inhoud V1 van de rechte cilinder geldt V1 = 50 • G1 , waarbij G1 de oppervlakte van het grondvlak van de rechte cilinder is. Voor de inhoud V2 van de scheve cilinder geldt V2 =  h • G2 , waarbij G2 de oppervlakte van het grondvlak van de scheve cilinder is.

De inhoud van beide cilinders is gelijk, dus V1 = V2 .

Er geldt:  G2 = G1/sin(α)

       
4p. 20. Toon dit laatste op algebraïsche wijze aan.
     

   

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Teken een lijn van  (0.4, 0)  die steeds 0,3 naar rechts en 5(000) omhoog gaat. Zie de volgende figuur
   
 

  Die lijn verlaat het veilige gebied bij de lijnen met de blauwe pijlen.
Aflezen:  snelheid  1,5 Mach en hoogte 18000 feet.
   
2. Voor de minimale snelheid moet je de formule h = 60,2 • log(10v) gebruiken.
30 = 60,2 • log(10v)
log(10v) = 30/60,2 = 0,4983...
10v = 100,4983... = 3,15
v = 0,3  Mach.
   
3. h = 33,3 • √(v - 1,2)
kwadrateren:  h2 = 1108,89  (v - 12)
h2 = 1108,89v - 13306,68
h2 + 13306,68 = 1108,89v
v =  h²/1108,68 + 1108,68
v = 0,00090h2 + 1108,68
   
4. De straal van cirkel 1 is 4.  Dus OA = 4

 x2 - 10x + y2 + 16 = 0
x2 - 10x + 25 - 25 + y2 + 16 = 0
(x - 5)2 + y2 = 9  dus c2 heeft middelpunt  (5, 0) en straal 3  dus  AM = 3 en OM = 5

AM2 + OA2 = 32 + 42 = 52 = OM2
Pythagoras geldt in driehoek OAM dus de driehoek is rechthoekig.
De langste zijde is OM dus de rechte hoek is hoek OAM
   
5. y = -1/12√6 • x + 5/3√6  invullen in de cirkelvergelijking   x2 - 10x + y2 + 16 = 0
x2 - 10x + ( -1/12√6 • x + 5/3√6 )2 + 16 = 0
x2 - 10x + 6/144x2 - 2 • 1/12 • 5/3 • 6x + 25/9 • 6 + 16 = 0
150/144x2  - 35/3x + 98/3 = 0
150x2 - 1680x + 4704 = 0
ABC-formule:   x = (1680 ± √0)/300  = 1680/300 = 5,6
y = -1/12√6 • 5,6 + 5/3√6  = 1,2√6 
P = (5.6 ; 1.2√6) 
   
6. f(x) = (x  - √x)2 = (x - √x)(x - √x) = x2 - x√x - x√x + x  = x2 - 2x√x + x  = x2 - 2x1,5 + x

f '(x) =  2x - 1,5 • 2x0,5 + 1
f '(x) =  2x - 3√x + 1 
   
7. (x - √x)2  = x
x2 - 2x√x + x = x
x2 - 2x√x = 0
x(x - 2√x) = 0
x = 0  ∨  x = 2√x
x = 0  ∨  x2 = 4x
x = 0  ∨  x2 - 4x = 0
x = 0  ∨  x(x - 4) = 0
x = 0  ∨  x = 0  ∨  x = 4
De derde is punt A.
   
8. De helling van l is  f '(4) = 2 • 4 - 3√4  + 1 = 3
l maakt een hoek van  tan-1(3) = 71,57º met de x-as

De helling van k is -1 want k staat loodrecht op y = x
k maakt een hoek van tan-1(-1) = 45º met de x-as

De hoek tussen k en l is  180 - 45 - 71,57 = 63,43º
   
9. Punt invullen:   36 = (36 - p√36)2
36 = (36 - 6p)2
36 - 6p = √36  ∨  36 - 6p = -√36
36 - 6p = 6  ∨   36 - 6p = -6
6p = 30  ∨  6p  = 42
p = 5  ∨  p = 7
   
10. Als je twee keer met k vermenigvuldigd, dan verdubbelt de lengte.
Dus k2 = 2
Dan is  k = Ö2
   
11. 1/2 • 2n = 131072
2n = 262144
n = 2log262144 = log262144/log2 = 18
   
12. Bij n = 1 hoort z = 1  dus  1 = 2a • 1 + b   dus dan geldt  a + b = 0    (immers 20 = 1)
Bij n = 3 hoort  z = 2  dus  2 = 2a • 3 + b   dus dan geldt  3a + b = 1

a + b = 0  geeft a = -b
invullen in  3a + b = 1  geeft dan   3 • -b + b = 1
-3b + b = 1
-2b = 1
b = -1/2
Dan is  a = -b  = 1/2.
   
13. In 15 kwartalen nam het aantal af met een factor  144000/356000 = 0,4045
Per kwartaal is de factor dan  (0,4045)1/15 = 0,9414
Dat is een afname van 5,9%
   
14. De grafiek vertoont afnemende daling
Dat betekent dat de stokjes van de toenamendiagrammen negatief moeten zijn (daling) en steeds korter moeten worden (afnemend)
Dat is bij figuur II zo.
   
15. x • sin(x) -  sin(x) = 0
sinx • (x - 1) = 0
sinx = 0  ∨  x - 1 = 0
x = 0, π, 2π, 3π, 4π, 5π, 6π  ∨  x = 1
op volgorde:  0, 1, π, 2π, 3π, 4π, 5π, 6π

R en S horen bij 2π en 3π
A ligt daar midden tussenin:  xA = 21/2π.


R en S horen bij 4π en 5π
B ligt daar midden tussenin:  xB = 41/2π.
   
16. A = (21/2π, 21/2π - 1)
B = (41/2π, 41/2π - 1)
 
  l is de lijn  y =  x + b
l moet door  (21/2π, 21/2π - 1) gaan dus b = -1  en l is de lijn y = x - 1

P is het punt  (1, 0)
0 = 1 - 1 dus l gaat inderdaad door P.
   
17. (x - 2)2 + ( y + 3)2 = ....  en vul hier  (3, 1) in.
Dat geeft  12 + (4)2 = 17 en dat is kleiner dan 20 dus A ligt binnen de cirkel.
   
18. (x - 2)2 + ( y + 3)2 = 20  met x = 0  geeft:
4 + (y + 3)2 = 20
(y + 3)2 = 16
y + 3 = 4  V  y + 3 = -4
y = 1  ∨  y = -7
De snijpunten met de y-as zijn P = (0, 1)  en  Q = (0, -7)
B = (1, -5)
BP heeft helling  (-5 - 1)/(1 - 0) = -6 en maakt een hoek van  tan-1(-6) = 80,54º met de x-as
BQ heeft helling  (-5 - - 7)/(1 -  0) = 2 en maakt een hoek van tan-1(2) = 63,43º met de x-as
De hoek tussen BP en BQ is dan  80,54 + 63,43 = 144º
   
19. 90% van 50 is 45
sinα = h/50  dus  h = 50 • sinα
45 = 50 • sinα
sinα = 0,9
 α = 64º
   
20. h = 50 • sinα   (zie vraag 19)
V2 = h • G2 = 50 • sinα  • G2
V1 = 50 • G1
Dus als  V1 = V2  dan moet gelden:   50 • sinα  • G2 = 50 • G1
delen door 50:   sinα  • G2 = G1
G2 = G1/sina .