HAVO WB, 2016 - II  PILOT
Drie snijpunten.
       

De functie f  is gegeven door

       

De grafiek van f snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten A, B en O. Zie de figuur.
       

     

2p.

1.

 Onderzoek of AB en BO even lang zijn.
     

 

Verder is gegeven de horizontale lijn l met vergelijking y = p . De grafiek van f snijdt l in drie punten.
     

4p.

2.

Bereken voor welke waarden van p dit het geval is. Rond de getallen in je antwoord af op drie decimalen.
     

  

 

 

 

Afdakje.
       

In de zijgevel van een flat zit een cirkelvormig raam met daarboven een afdakje.
De diameter van het raam is 120 cm. Het middelpunt van het raam zit op 142 cm boven de grond.
De uiteinden van het afdakje bevinden zich 316 cm boven de grond en liggen 505 cm uit elkaar. Het laagste punt van het afdakje bevindt zich 262 cm boven de grond en 92 cm links van het middelpunt van het raam.|
Er wordt een assenstelsel aangebracht zodanig dat het middelpunt van het raam samenvalt met de oorsprong. De eenheden in dit assenstelsel zijn in cm. Zie de figuur, waarin bovendien een aantal maten is gegeven.
       

       

De onderrand van het afdakje heeft de vorm van een deel van een cirkel. Zie de figuur.

Uit de gegevens volgt dat de straal van deze cirkel afgerond op hele cm gelijk is aan 617 cm.
       

4p.

3.

Toon dit op algebraïsche wijze aan.
       

4p.

4.

Bereken de afstand tussen het afdakje en het raam. Geef je antwoord in gehele cm nauwkeurig.
       
Dicht bij elkaar.
       

Op het domein 〈 0,→ 〉 zijn de functies f en g gegeven door:

Voor steeds groter wordende waarden van x komen de grafieken van f en g steeds dichter bij elkaar. Zie de figuur.
       

       

Voor bepaalde waarden van x geldt:    f(x) - g(x) <   1/100
       

4p.

5.

 Bereken exact voor welke waarden van x dit het geval is.
       

Ondanks dat de grafieken van f en g voor steeds groter wordende waarden van x steeds dichter bij elkaar komen, snijden ze elkaar niet.
       

4p.

6.

 Toon op exacte wijze aan dat de grafieken van f en g elkaar niet snijden.
       

De lijn l met richtingscoëfficiënt  3/4  raakt de grafiek van f in het punt R.
Het punt S is het snijpunt van l met de y-as. Zie onderstaande figuur.
       

       

6p.

7.

 Bereken exact de y-coördinaat van S.
       

Het punt T (2, 3) is de top van de grafiek van f.
De grafiek van f wordt ten opzichte van de x-as vermenigvuldigd met een factor a. Hierdoor ontstaat de grafiek van een functie h. Het punt P is de top van de grafiek van h. Er geldt OP = 5.
       

4p.

8.

 Bereken exact de mogelijke waarden van a.
       
Energieverbruik.
       

Sinds het begin van de industriële revolutie is het totale jaarlijkse energieverbruik in de Verenigde Staten (VS) nagenoeg exponentieel toegenomen.
E is het totale energieverbruik per jaar in de VS in joule per jaar. In de volgende figuur is voor een aantal jaren log(E) aangegeven.
       

1 exajoule is gelijk aan 1018 joule.
       

4p.

9.

Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het totale energieverbruik in de VS in het jaar 1950 in hele exajoules nauwkeurig.
Licht je antwoord toe.
     

 

De punten in de figuur liggen bij benadering op een rechte lijn. Deze lijn l is in onderstaande figuur getekend.
       

       

Een formule voor lijn l is:      log(E) = 0,0125t +15,8

Hierin is E het totale energieverbruik per jaar in de VS in joule per jaar en t het aantal jaren met t = 0 voor het jaar 1650.
       

3p.

10.

Bereken in welk jaar volgens de formule in de VS voor het eerst meer dan  3,0·1020 joule aan energie zal worden verbruikt.
     

 

Een onderzoeker voorspelt dat het wereldwijde energieverbruik na 2010 exponentieel groeit, waarbij het elke honderd jaar tien keer zo hoog wordt.

Op 1 januari 2010 was het wereldwijde energieverbruik 1,2·1013 joule per seconde. De aarde ontvangt van de zon veel meer energie, maar liefst 1,7·1017 joule per seconde. Als alle energie die de aarde van de zon ontvangt door de mens gebruikt zou kunnen worden, dan zouden we nu theoretisch gezien alleen met zonne-energie kunnen volstaan. Volgens bovengenoemde voorspelling zullen we in de toekomst op een gegeven moment toch meer energie verbruiken dan de aarde van de zon ontvangt.
       

4p.

11.

Bereken over hoeveel eeuwen dit volgens deze voorspelling het geval zal zijn.
     

 
Sinusoïden.
       

Op het domein   [0, 5/2π]  is de functie f gegeven door  f(x) = 2cos(1/2x - 1/8π)
Zie de figuur .
       

       

3p.

12.

Bereken exact de x-coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f met de x-as.
     

 

De punten A en B zijn de toppen van de grafiek van f. Lijn k gaat door A en B. Zie de volgende figuur.
       

       
De coördinaten van A en B zijn  (1/4π, 2)  en  (9/4π, -2)
Een vergelijking voor k is  y = -2/π • x + 5/2
       

2p.

13.

Toon aan dat deze vergelijking voor k met behulp van de coördinaten van A en B opgesteld kan worden.
     

 

Op hetzelfde domein is de functie g gegeven door   g(x) = sin(x - 1/4π)
De toppen van de grafiek van g liggen ook op k. Zie onderstaande figuur.
       

       

5p.

14.

 Toon dit met exacte berekening aan.
     

 

 

Het midden en de top.
       

De functie f  is gegeven door f (x) = (x + 1)(x2 − 5x + 5).  De grafiek van f snijdt de positieve x-as in de punten A en B. Het punt M is het midden van lijnstuk AB. Zie de figuur.
       

       
de x-coördinaat van M is gelijk aan 21/2.
       

4p.

15.

 Toon dit met een exacte berekening aan.  
     

 

Het punt C is een top van de grafiek van f. De verticale lijn door M gaat niet door C. Zie onderstaande figuur.
       

       

6p.

16.

 Bereken exact het verschil tussen de x-coördinaten van M en C.
     

  
Monte Etna.
       

De vulkaan Etna op Sicilië is vanaf de Middellandse Zee zichtbaar.

De hoogte van de Etna kan worden bepaald door middel van een zogeheten driehoeksmeting. Vanaf een boot op zee wordt twee keer de hoek gemeten waaronder de top T van de Etna te zien is. Eerst wordt hoek α = 5,3° gemeten, vervolgens wordt 10 km in een rechte lijn richting de Etna gevaren en hoek β = 7,4° gemeten. Zie de figuur, waarin ook de hoogte h van de top T ten opzichte van de Middellandse Zee is weergegeven. Deze figuur is niet op schaal.
       

       

In dit model worden de kromming van de aarde en de ooghoogte van de waarnemer boven de zee verwaarloosd.
       

5p.

17.

Bereken de hoogte van de Etna ten opzichte van de Middellandse Zee. Geef je antwoord in tientallen meters nauwkeurig.
       
       
       
Twee parabolen.
       

De functie f is gegeven door:    f (x) = x2 − 6x .
De grafiek van f snijdt de x-as in de oorsprong en in het punt A.
De grafiek van de functie g raakt de x-as in A en gaat door de top T van de grafiek van f. Zie de figuur.
       

       
De grafiek van g is een parabool.
       

7p.

18.

 Bepaal op exacte wijze een functievoorschrift voor g.
     

 

 

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. f(x) = 0
3√(x3 + 3x2 + 2x) = 0
x3 + 3x2 + 2 = 0
x(x2 + 3x + 2) = 0
x(x + 2)(x + 1) = 0
x = 0  ∨ x = -2  ∨  x = -1
Dus  AB = BO = 1 en ze zijn even lang.  
   
2. Zie de figuur hiernaast. De waarde van p moet tussen het maximum en het minimum van de grafiek liggen.
Dat kan met de GR m,et de optie calc - maximum/minimum of algebraïsch zó:

f '(x) = 0
1/3 • (x3 + 3x2 + 2x)-2/3 • (3x2 + 6x + 2) = 0
3x2 + 6x + 2 = 0
ABC-formule:  x = (-6 ±√12)/6
x = -0,42  ∨  x = -1,58

y =  0,727 ∨  y = -0,727 
Dus  -0,727 < p < 0,727

   
3. Hiernaast staan nogmaals de afmetingen wat schematischer weergegeven.
Stel het middelpunt van de cirkel M

PQ = 505/2 = 252,5
Driehoek PQR:

252,52 + (r- 54)2 = r2
63756,25 + r2 - 108r + 2916 = r2
108r = 66672,25
r = 617 cm

   
4. M heeft coördinaten  (-92, 737)
OM = √(922 + 7372) = 742,72
De afstand is dan  7742,72 - 60 - 617 = 66 cm
   
5. (x² - x + 4)/x - (x - 1) = 0,01
vermenigvuldig met x:    x2 - x + 4 - x(x - 1) = 0,01x
x2 - x + 4 - x2 + x = 0,01x
4 = 0,01x
x = 400
De afstand is kleiner voor x > 400
   
6. (x² - x + 4)/x  = x - 1
x2 - x + 4 = x2 - x
4 = 0
Dat heeft inderdaad geen oplossing.

OF:
(x² - x + 4)/x  = x - 1 + 4/x
Dat is altijd 4/x groter dan g(x), en 4/x is nooit nul.
   
7. f(x) = x - 1 + 4/x = x - 1 + 4x-1
f '(x) = 1 - 4x-2  en dat moet gelijk zijn aan 3/4
1 - 4x-2 = 3/4
4x-2 = 1/4
x-2 = 1/16
x2 = 16
x = 4

R is het punt  (4, 4)
de raaklijn lijn is  y = 3/4x + b en dan geldt  4 = 3/4 • 4 + b  dus  b = 1
De y-coördinaat van S is dus 1.
   
8. (2, 3) wordt bij vermenigvuldiging met factor a gelijk aan (2, 3a)
OP = √(22 + (3a)2) = 5
4 + 9a2 = 25
9a2 = 21
a2 = 21/9
a = ±√(21/9) = ±1/3√21
   
9. aflezen :  log(E)  ≈ 19,6
E = 1019,6 = 1018 • 101,6 = 39,8 • 1018
dat is dus  afgerond 40 exajoules.
   
10. log(E) = log(3,0 • 1020) ≈ 20,477
20,477 = 0,0125t + 15,8
0,0125t = 4,677
t = 374,2
dus dat is in het jaar 2025
   
11. elke honderd jaar 10 keer zo groot betekent een groeifactor 10 per honderd jaar.
1,7 • 1017 = 1,2 • 1013 • 10t
10t  = 14166,67
t = log(14166,67) = 4,15
Dat zijn honderden jaren dus  na 4,15 eeuwen. 
   
12. 2cos(1/2x - 1/8π) = 0
cos(1/2x - 1/8π) = 0
1/2x - 1/8π = 1/2π + k2π  ∨   1/2x - 1/8π = -1/2π + k2π
1/2x = 5/8π + k2π   ∨  1/2x = -3/8π + k2π
x = 5/4π + k4π  ∨   x = -3/4π + k4π
Tussen 0 en  2,5π  geeft dat de oplossing  x = 5/4π 
   
13. a = Δy/Δx = (-2 - 2)/(9/4π - 1/4π) = -4/(8/4π) = -4/(2π) = -2/π = a
A invullen:  2 = -2/π • 1/4π + b
2 = -2/4 + b
b = 2,5
   
14. y = sinx heeft de toppen  (1/2π, 1)  en  (3/2π, -1)
sin(x - 1/4π) is dezelfde grafiek maar 1/4π naar rechts geschoven
die heeft dus de toppen  (3/4π, 1) en (7/4π, -1)

liggen die op k?

x = 1/4π  geeft  y = -2/π • 1/4π + 2,5 = -6/4 + 2,5 = 1  klopt
x = 7/4π  geeft  y = -2/π • 7/4π + 2,5 = -14/4 + 2,5 = -1  klopt ook.    
   
15. f(x) = 0
(x + 1)(x2 - 5x + 5) = 0
x + 1 = 0    ∨   x2 - 5x + 5 = 0
x = -1  ∨  x =  (5 ±√(25 - 20))/2
x = -1   ∨  x = 2,5 ± √5
De laatste twee zijn  de x-coördinaten van A en B
Het gemiddelde daarvan is  ((2,5 + √5) + (2,5 - √5))/2 = 2,5
   
16. Voor de x-coördinaat van C moet je de afgeleide gelijkstellen een nul.
productregel:  f ' =  1 • (x2 - 5x + 5) +  (x + 1)(2x - 5) 
f ' = x2 - 5x + 5 + 2x2 - 5x + 2x - 5
f ' =  3x2 - 8x  = 0
x(3x - 8) = 0
x = 0  ∨  3x = 8
de x-coördinaat van C is  8/3
het verschil is  8/3 - 2,5 = 1/6  
   
17.
   
  Zie de hoeken hierboven.
sinusregel:  10/sin(2,1) = AT/sin(172,6)
AT = 10/sin(2,1) • sin(172,6) = 35,148

Driehoek ACT:  sin(5,3) = h/35,148
h = 35,148 • sin(5,3) = 3,25 km  dus dat is 3250 m.
   
18. x2 - 6x = 0
x(x - 6) = 0
x = 0  x = 6   dus  A = (6, 0)

De top van f ligt dan bij x = 3  en is dus  T = (3, -9)

De top van g is punt  (6, 0) dus g ziet eruit als  y = a(x - 6)2
T moet erop liggen:   -9 = a(3 - 6)2
-9 = a • 9
a = -1
g(x) = -(x - 6)2 = -(x2 - 12x + 36) = -x2 + 12 - 36