HAVO WB, 2021 - I

 

Gebroken functie en wortelfunctie.
       
De functie f wordt gegeven door:
       

       
De grafiek van f gaat door de oorsprong O. Zie de volgende figuur.
       

       
4p. 1. Bereken exact de helling van de grafiek van f  in O.
     

 
Het functievoorschrift van  f  is ook anders te schrijven, namelijk:
       

       
De functie g wordt gegeven door g(x) = √x

De grafieken van f en g hebben twee punten gemeenschappelijk, O en B. Zie de volgende figuur.
       

       
6p. 2. Bereken exact de x-coördinaat van B.
     

 
De grafiek van  f  heeft een horizontale en een verticale asymptoot. Het punt S is het snijpunt van deze twee asymptoten. De grafiek van g snijdt de verticale asymptoot van  f  in het punt R. Zie de volgende figuur, waarin de asymptoten van f gestippeld zijn.
       

       
4p. 3. Bereken exact de afstand tussen R en S.
     

  
Twee cirkels en twee lijnen.
       
De cirkel c1 wordt gegeven door:

x2 - 4x + y2 - 6y = -8

De lijn k wordt gegeven door: y = 1/2x + 41/2
Lijn k raakt cirkel c1 .
       
3p. 4. Bewijs dit.  
     

 
Het punt M is het middelpunt van c1 . De lijn l gaat door M en staat loodrecht op k. Het punt S is het snijpunt van l met de y-as. De cirkel c2 is de cirkel door M met middelpunt S. Zie de figuur.

 

       
6p. 5. Stel op exacte wijze een vergelijking op van c2.  
     

  
Oppervlakte onder een grafiek.
       
De functie f  is gegeven door f(x) = 1/4x2 + x + 1
De grafiek van f is een parabool.
       
2p. 6. Bewijs dat de top van de parabool op de x-as ligt.
     

 
De lijn m is de verticale lijn met vergelijking x = p , met p > 0 .
We kijken naar het gebied dat aan de bovenkant wordt begrensd door de grafiek van f, aan de onderkant door de x-as, aan de linkerkant door de y-as en aan de rechterkant door lijn m.
In de volgende figuren is dit gebied grijs gemaakt:  in de linker figuur voor de situatie p = 1, in de rechter figuur voor de situatie p = 2 .
       

       
De oppervlakte van dit grijze gebied noemen we A. De waarde van A hangt dus af van de keuze van p. Een formule voor A is:

       
Zo is bijvoorbeeld A = 42/3 als p = 2 en dus is de oppervlakte van het grijze gebied in de rechter figuur gelijk aan 42/3.

Voor een bepaalde waarde van p is de oppervlakte van het grijze gebied gelijk aan 42.
       
4p. 7. Bereken exact deze waarde van p.
     

 
Zonder de voorgaande formule te gebruiken kun je toch een goede benadering vinden van de oppervlakte. In de rest van de opgave doen we dit voor het geval p =1. De benadering van de oppervlakte van het grijze gebied in de linker figuur gaat als volgt:
- De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt R (1/2, 19/16)
- K is het snijpunt van lijn l met de y-as.
- M is het snijpunt van lijn l en lijn m.
- S is het punt met coördinaten (1, 0).
- De oppervlakte van vierhoek OSMK is de benadering.
       
Zie onderstaande figuur, waarin de oppervlakte van vierhoek OSMK grijs is gemaakt.
       

       
Een vergelijking van l is:   y = 11/4x + 15/16
       
3p. 8. Bewijs dat  y = 11/4x + 15/16  inderdaad een vergelijking van l is.
     

 
De oppervlakte van de grijs gemaakte vierhoek OSMK in de figuur wijkt een beetje af van de oppervlakte van het grijze gebied in de linker figuur bovenaan deze opgave.
       
5p. 9. Bereken algebraïsch hoeveel procent deze afwijking is. Geef je eindantwoord in één decimaal.
     

 

 

Roeien
       
In sportscholen vind je apparaten waarmee je een roeibeweging simuleert. Zo’n apparaat wordt een roei-ergometer genoemd. Zie de foto.
       

       
In de volgende figuur zie je een serie zijaanzichten van de beweging van een roeier op een roei-ergometer.
       

       
Doordat het voetenbord vast zit, blijven de voeten vast op één punt. Wanneer de roeier de benen strekt en weer buigt, beweegt het zitje horizontaal van voor naar achter en weer terug. De roeibeweging begint op moment 1, waarna de roeier zijn benen strekt (momenten 2 en 3). Daarna worden de benen weer gebogen (momenten 4 en 5).

In onderstaande figuur zie je een model van een roeier op de momenten 1 en 3. Het punt V is de voet, K is de knie en H is de heup (die in dit model samenvalt met het zitje).
       

       
In dit model geldt:
- De lengte van het bovenbeen is 48 cm.
- De lengte van het onderbeen is 42 cm.
- Het hoogteverschil tussen heup en voet is 15 cm.
- Tussen de momenten 1 en 3 schuift het zitje 45 cm naar voren.
- De hoek tussen bovenbeen en onderbeen op moment 1 is 60° .
- A is het punt recht onder de heup, op dezelfde hoogte als de voet.
- Met A1 wordt de positie van A op moment 1 bedoeld enzovoorts.
       
Op moment 1 is de afstand tussen de heup en de voet (HV1) ongeveer 45,3 cm. Deze afstand kan exact berekend worden.
       
2p. 10. Bereken exact de afstand in cm tussen de heup en de voet op moment 1.
     

 
Ga bij het volgende onderdeel uit van H1V = 45,3. Op moment 3 is het been bijna gestrekt, dus hoek H3K3V is bijna 180. Om deze hoek te berekenen, is het handig om gebruik te maken van de driehoeken A1VH1 en  A3VH3.
       
5p. 11. Bereken hoek H3VK3. Geef je eindantwoord in gehele graden.
     

  
Een sinusoïde en nog een sinusoïde.
       
De functie f wordt gegeven door

       
Het punt A is het eerste snijpunt van de grafiek van f  met de positieve x-as. Het punt B is de derde top rechts van de y-as. De lijn k gaat door A en B. In de volgende figuur is de hoek α aangegeven die lijn k met de x-as maakt.
       

       
6p. 12. Bereken algebraïsch hoe groot hoek α is. Geef je eindantwoord in gehele graden.
     

 
In onderstaande figuur is de grafiek van f getekend en ook de lijn met vergelijking  y = 11/2. Deze lijn heeft oneindig veel snijpunten met de grafiek van f. Het eerste snijpunt rechts van de y-as is K, het vierde is L. In de figuur is met een groene lijn nog een sinusoïde weergegeven. Voor deze sinusoïde geldt:
-  De eerste top rechts van de y-as valt samen met K.
-  De derde top rechts van de y-as valt samen met L.
-  De sinusoïde raakt de lijn met vergelijking y = -1.
       

       
De functie g die bij de groene grafiek hoort, heeft een functievoorschrift van de volgende vorm:

g(x) =  a cos(b(x - c)) + d

Hierin zijn a, b, c en d getallen.
       
7p. 13. Bereken exact voor elk van deze vier getallen een mogelijke waarde.
     

  
Driehoek met maximale oppervlakte.
       
De functie f wordt gegeven door  f(x) = 3√x - 2x + 1. Het punt T is de top van de grafiek van f. Zie de figuur.
       

       
4p. 14. Bereken exact de coördinaten van T.  
     

 
Op het deel van de grafiek van f dat boven de x-as ligt, wordt een punt P gekozen. Het punt A ligt op de x-as en heeft dezelfde x-coördinaat als P. In de figuren hieronder is de situatie voor twee posities van P geschetst. In de rechter figuur  is de oppervlakte van driehoek OAP groter dan in de linker figuur.
       

       
Er is een positie van P op de grafiek van f zo dat de oppervlakte van driehoek OAP maximaal is. Deze positie van P kun je vinden door de oppervlakte van driehoek OAP in x uit te drukken, waarbij x de lengte van zijde OA is.
       
4p. 15. Bereken de maximale oppervlakte van driehoek OAP. Geef je eindantwoord in drie decimalen.
     

  

 

De invloed van leeftijd op hardloopprestaties.
       
Gemiddeld leveren langeafstandslopers de beste prestaties op een leeftijd van ongeveer 30 jaar. Daarna nemen de prestaties met de jaren af. Er bestaan meerdere modellen om de prestaties van langeafstandslopers van verschillende leeftijden met elkaar te vergelijken. In deze opgave komen twee van zulke modellen aan bod.

Model 1
Dit model gaat ervan uit dat tussen 35 en 55 jaar de gemiddelde snelheid van langeafstandslopers bij wedstrijden met 0,8% per levensjaar afneemt.

De halve marathon is een hardloopwedstrijd over een afstand van 21,0975 km. De Nederlandse hardloper Aart Stigter heeft meerdere keren aan de halve marathon van Egmond deelgenomen. In 1993 liep hij op 36-jarige leeftijd deze halve marathon met een gemiddelde snelheid van 19,5 km per uur. Precies 12 jaar later, in 2005, liep hij dezelfde halve marathon in een tijd van 1 uur, 10 minuten en 4 seconden.
Uitgaande van zijn gemiddelde snelheid in 1993 en een afname van die gemiddelde snelheid met 0,8% per levensjaar, heeft Aart Stigter in 2005 sneller gelopen dan model 1 voorspelt.
       
5p. 16. Bereken hoeveel seconden sneller. Geef je eindantwoord als geheel getal.
       
Model 2
Dit model maakt gebruik van correctiegetallen voor de tijd. De World Master Athletics-bond (WMA) heeft tabellen uitgegeven met correctiegetallen om prestaties van hardlopers van verschillende leeftijden met elkaar te kunnen vergelijken. Met deze correctiegetallen kun je de tijd van elke hardloper omrekenen naar een tijd die hoort bij een 30-jarige met een gelijkwaardige prestatie.
In de tabel zie je de correctiegetallen voor 36-jarigen tabel en 49-jarigen op de halve marathon. Door de tijd van een 36-jarige hardloper met 0,9920 te vermenigvuldigen krijg je de tijd die hoort bij een 30-jarige hardloper met een gelijkwaardige prestatie. Neem aan dat de correctiegetallen voor de leeftijden tussen 36 en 49 jaar bij benadering exponentieel afnemen met de leeftijd.
leeftijd correctiegetal|
t.o.v. 30-jarige
36 0,9920
49 0,9039
Bij de NK halve marathon 2019 was de 47-jarige Marcel Laros met een tijd van 4279 seconden de snelste in de categorie 45-49 jaar. Bij diezelfde halve marathon was de 36-jarige Wynfrith Meijwes de snelste in de categorie 35-39 met een tijd van 4130 seconden.
       
6p. 17. Onderzoek op algebraïsche wijze welke van deze twee hardlopers de beste prestatie heeft geleverd volgens model 2.
     

  

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. f(x) = 1 + 3/(4x - 3) = 1 + 3 • (4x - 3)-1 
f '(x) = 3 • -1 • (4x - 3)-2 • 4   (die laatste 4 is van de kettingregel)
x = 0 invullen geeft  3 • -1 • (-3)-2 • 4 = -4/3 
   
2. √x = 4x/(4x - 3) 
(4x - 3)√x = 4x
kwadrateren:  (4x - 3)2 • x = 4x
(16x2 - 24x + 9) • x - 4x = 0
16x3 - 24x2 + 5x = 0
x(16x2 - 24x + 5) = 0
x = 0  ∨  16x2 - 24x + 5 = 0
x = 0  ∨  x = (24 ± √256)/32
x = 0  ∨  x = 11/4  ∨  x = 1/4   
x = 1/4 voldoet niet, dus punt B heeft x-coördinaat 11/4
   
3. voor grote x-waarden is  f(x) ≈ 1  want het stuk 3/(4x - 3) wordt bijna nul.
de verticale asymptoot zit bij delen door nul, dus als x = 3/4
S = (3/4, 1)
R ligt op de grafiek van g dus  y = g(3/4) = √(3/4)
De afstand is dan  yS - yR = 1 - √(3/4)
   
4. Als de lijn de cirkel raakt dan is er één snijpunt.
Voor het snijpunt vul je de vergelijking van de lijn in in de cirkel:
x2 - 4x + (1/2x + 41/2)2 - 6(1/2x + 41/2) = -8
x2 - 4x + 1/4x2 + 41/2x + 201/4 - 3x - 27 + 8 = 0
vermenigvuldig voor het gemak alles met 4:
4x2 - 16x + x2 + 18x + 81 - 12x - 108 + 32 = 0
5x2 - 10x - 5 = 0
D = 102 - 4 • 5 • 5 = 0
Dan is er één oplossing, en dat is dus een raakpunt. 
   
5. x2 - 4x + y2 - 6y = -8
x2  - 4x + 4 - 4 + y2 - 6y + 9 - 9 = -8
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 5
M = (2, 3)
Lijn loodrecht op k heeft r.c. -2
y = -2x + b  door punt (2,3)  geeft 3 = -4 + b  dus  b = 7
l is de lijn  y = -2x + 7  dus  S = (0, 7) en dat is het middelpunt van c2
MS = √(22 + 42) = √20 en dat is de straal van c2
c2 is de cirkel x2 + (y - 7)2 = 20
   
6. f(x) = 1/4x2 + x + 1
top:  f ' = 0  geeft  1/2x + 1 = 0  dus  x = -2
y = 1/2 • (-2)2 + 1 = 0  dus dat ligt inderdaad op de x-as
   
7. 2/3(1/2p + 1)3 - 2/3 = 42
vermenigvuldig met 3:   2(1/2p + 1)3 - 2 = 126
2(1/2p + 1)3 = 128
(1/2p + 1)3 = 64
1/2p + 1 = 4
1/2p = 3
p = 6
   
8. f '(x) = 1/2x + 1
f '(1/2) = 11/4
R = (1/2, 19/16)  dus  19/16 = 11/4 • 1/2 + b  dus  b = 15/16
   
9. K:   x = 0  dus  y = 11/4 • 0 + 15/16 = 15/16  en  K = (0, 15/16)
M:  x = 1  dus  y = 11/4 • 1 + 15/16 = 23/16 en M = (1, 23/16)

Je kunt OSMK opdelen in een rechthoek OSLK en een driehoek KLM
OSLK heeft oppervlakte 1 • 15/16 = 15/16
KLM heeft hoogte 23/16 - 15/16 = 5/4 en oppervlakte 1/2 • 5/4• 1 = 5/8
OSMK heeft dus oppervlakte  15/16 + 5/8 = 25/16

De formule geeft grijze oppervlakte:   2/3• (1/2 • 1 + 1)3 - 2/3 = 19/12

Dat scheelt  25/16 - 19/12 = -1/48
Dat is  (1/48)/(19/12) • 100% = -1,3%
   
10. Cosinusregel in driehoek H1K1V:
H1V2 = 482 + 422 - 2 • 48 • 42 • cos(60)
H1V2 = 2304 + 1764 - 4032 • 0,5
H1V2 = 2052
H1V = √2052  (= 6√57)
   
11. Pythagoras in driehoek H1A1V:  A1V2 = H1V2 - A1H12
A1V2 = 45,32 - 152 = 1827,09
A1V = √1827,09 = 42,74...

Pythagoras in driehoek A3H3V: 
A3V = 45 + 42,74... = 87,74...
H3V2 = 87,74...2 + 152 = 7924,09...
H3V = √7942,09... = 89,01...

Cosinusregel in driehoek H3K3V:
89,01...2 = 482 + 422 - 2 • 48 • 42 • cosα
7942,09... = 4068 - 4032cosα
3856,09... = -4032cosα
cosα = -0,9563...
α = 163,01...°
de hoek is dus ongeveer 163°
   
12. De periode is 2π/0,25π = 8  dus  xA = 4 en xB = 10
De amplitude is 3, dus  A = (4,0) en B = (10,3)
De horizontale afstand tussen A en B is 6
Dan is tanα = 3/6 (overstaande zijde gedeeld door aanliggende zijde)
Dat geeft  α = 26,5... dus ongeveer 27°
   
13. De toppen zitten tussen y = 1,5 en y = -1
De evenwichtslijn is dus  (1,5 + -1)/2 = 0,25 dus d = 0,25
De amplitude is  2,5/2 = 11/4 dus  a = 11/4

Punt K:   3sin(1/4πx) = 11/2
sin(1/4πx) = 0,5
1/4πx = 1/6π + k • 2π  ∨  1/4πx = 5/6π + k • 2π
x = 2/3 + k • 8  ∨  x = 31/3 + k • 8
Dat geeft oplossingen  2/3,  31/3,  82/3, 111/3, ...
xK = 2/3  en dat is het beginpunt van de cosinus, dus c = 2/3
en  xL = 111/3  dus de periode is  111/3 - 2/3 = 102/3
b = 2π/102/3 = 3/16π
   
14. f (x) = 3√x - 2x + 1 = 3x0,5 - 2x + 1
f ' (x) = 1,5x-0,5 - 2
Voor de top geldt:  1,5x-0,5 - 2 = 0
1,5x-0,5 = 2
x-0,5 = 4/3
x0,5 = 3/4
x = 9/16
Dan is  y = 3 • 3/4 - 2 • 9/16 + 1 = 21/8
Dus T = (9/16, 21/8)
   
15. OA = x
OP = y = 3√x - 2x + 1
oppervlakte =  0,5 • OA • OP = 0,5 • x • (3√x - 2x + 1)
oppervlakte = 1,5x1,5 - x2 + x
Y1 = 1,5x1,5 - x2 + x
calc - maximum  geeft  maximale oppervlakte  1,285
   
16. 0,8% afname betekent dat er 99,2% overblijft, dus de groeifactor is 0,992
in 1993 was de gemiddelde snelheid 19,5
2005 is 12 jaar later dus zou de gemiddelde snelheid gelijk moeten zijn aan
19,5 • 0,99212 = 17,708... km/uur
   
 
21,0975 km 17,708... km
?? 1 uur
  ?? = 21,0975/17,708... = 1,1915... uur
Dat is 1,1915... • 3600 = 4289 seconden
Zijn gelopen tijd was 3600 + 10 • 60 + 4 = 4204 seconden
Dat was dus 85 seconden sneller dan het model voorspelde.
   
17. In 13 jaar was de groeifactor 0,9039/0,9920 = 0,9111....
per jaar geldt dan g13 = 0,9111... dus  g = 0,9111...1/13 = 0,99287...
47-jarigen zijn 11 jaar ouder dan 36-jarigen
dus is het correctiegetal 0,9928...11 = 0,9243...
Bij een 36-jarige zou dan een tijd van 4279 • 0,9243... = 3955 seconden
Dat is beter dan 4130 seconden dus Laros heeft de beste prestatie geleverd.