HAVO WB, 2021 - III

 

Transistors en opslagcapaciteit.
       
In een smartphone zit een processor. Zo’n processor bestaat meestal uit veel uiterst kleine transistors. Het aantal transistors in een processor is in de loop van de jaren enorm toegenomen.

Een producent van smartphones bracht in september 2013 een telefoon op de markt met een processor die 1 miljard transistors bevatte. Diezelfde producent heeft elk opvolgend jaar, steeds in september, een nieuwe telefoon uitgebracht. In 2018 bracht deze producent een telefoon uit met een processor die 6,9 miljard transistors bevatte. Neem aan dat het aantal transistors in een processor in de tussentijd exponentieel groeide en dat deze groei zich in de jaren daarna voortzette. Je kunt dan voor de telefoon die de producent in 2021 uitbrengt, berekenen hoe groot het aantal transistors is dat de processor van die telefoon zal bevatten.
       
3p. 1. Bereken dit aantal in miljarden. Geef je eindantwoord als geheel getal.
     

 
Op 1 januari 1992 was de prijs per miljoen transistors 222 dollar. Vanaf dat moment nam de prijs per miljoen transistors af met 32% per jaar. Er komt een moment dat de prijs per miljoen transistors voor het eerst minder is dan 0,1 dollarcent, dus minder dan 0,001 dollar.
       
4p. 2. Bereken in welk jaar dat het geval is.
     

 
Als je een computerbestand opslaat, dan komt zo’n bestand bijvoorbeeld op een harde schijf (harddisk) terecht. De opslagcapaciteit van een harde schijf is het aantal GB (gigabyte) dat op die schijf kan worden opgeslagen. Op basis van de opslagcapaciteit van een harde schijf en de prijs van de schijf kun je berekenen wat de prijs per GB is. Deze prijs per GB is in de afgelopen jaren enorm gedaald. In de figuur is deze prijsdaling te zien. Op de verticale as is log(p)  uitgezet. Hierin is p de prijs per GB in dollars.
       

       
In het jaar 2004 was het heel gebruikelijk om te werken met een harde schijf van 250 GB. In 2013 waren harde schijven van 2 TB (terabyte) gebruikelijk. Er geldt: 1 TB = 1000 GB.

Met deze gegevens kun je berekenen hoeveel procent goedkoper een harde schijf van 2 TB uit 2013 was dan een harde schijf van 250 GB uit 2004.

       
4p. 3. Bereken dit percentage. Geef je eindantwoord als geheel getal.
     

  
Hetzelfde snijpunt met de y-as.
       
De functies f en g worden gegeven door:
       

f(x) = x3 - x2 -7x - 29
g(x) = (x2 + x - 2)(x - 3)
       
De grafieken van f en g snijden elkaar in twee punten. Dit zijn de punten A en B. De lijn door A en B snijdt de y-as in het punt S.

Het snijpunt van de grafiek van g met de y-as is het punt T.
       
7p. 4. Bewijs dat S en T dezelfde y-coördinaat hebben.  
     

  

 

Twee transformaties.
       
De functie f wordt gegeven door f(x) = 2√(3x - 4). De lijn l heeft vergelijking  y = 3/4x. Lijn l wordt c eenheden omhoog geschoven. Hierdoor ontstaat de lijn m die een raaklijn is aan de grafiek van f. Zie de volgende figuur.
       

       
8p. 5 Bereken exact met behulp van differentiëren de waarde van c.
     

 
Lijn l heeft twee punten gemeenschappelijk met de grafiek van f. Door lijn l te vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met factor p ontstaat een nieuwe lijn. Er is één waarde van p met p > 0 waarvoor die nieuwe lijn precies één punt gemeenschappelijk heeft met de grafiek van f. Deze situatie is weergegeven in onderstaande figuur.
       

       
6p. 6. Bereken exact deze waarde van p.
     

  

 

Bouwkraan.
       
In de zesde eeuw voor Christus vonden de Grieken de bouwkraan uit, waarmee je zware voorwerpen kunt optakelen. In de figuren a tot en met d zie je dat een blok wordt opgetakeld en 2,5 meter verderop op een stapel blokken wordt neergelaten.
       

       
De kraan bestaat uit:
- een paal RQ van 9 meter, die kan scharnieren om R;
- een kabel PQ met een lengte die aangepast kan worden;
- een kabel recht omlaag vanuit Q met een lengte die aangepast kan worden.
       
Verder geldt:
- de afstand tussen P en R is 5,5 meter;
- het te verplaatsen blok hangt aan de kabel ergens onder Q.
       
De verplaatsing gaat als volgt:
- Het blok in figuur a takelt men omhoog door de kabel onder Q korter te maken. Hierdoor ontstaat de situatie van figuur b.
- Vervolgens maakt men kabel PQ langer, waardoor paal RQ linksom scharniert en het blok naar links beweegt. Zo ontstaat de situatie van figuur c.
- Ten slotte laat men het blok recht omlaag zakken door de kabel onder Q weer langer te maken. Zo ontstaat de situatie van figuur d.
       
In de figuur hieronder zie je de situatie van de figuren a en b schematisch weergegeven. Het punt op de grond recht onder punt Q, noemen we S. Ergens op lijnstuk QS bevindt zich het midden van het blok.
       

       
Als de bouwkraan zich in de situatie van de figuren a en b bevindt, is de lengte van PQ gelijk aan 12 meter. ∠SRQ is dan afgerond 71 graden. Deze hoek kan nauwkeuriger berekend worden.
       
4p. 7. Bereken algebraïsch ∠SRQ in graden. Geef je eindantwoord in één decimaal.
     

 
Zoals in de eerste figuren is te zien, moet het blok 2,5 meter naar links worden verplaatst. Kabel PQ moet dus zo veel langer worden dat de afstand tussen R en S met 2,5 meter toeneemt.
       
4p. 8. Bereken algebraïsch de lengte van kabel PQ in de situatie van de figuren c en d. Geef je eindantwoord in meters in één decimaal.
     

  
       
Prooidieren en roofdieren.
       
Er bestaan wiskundige modellen die het verband aangeven tussen aantallen prooidieren en roofdieren. Deze modellen worden prooi-roofdiermodellen genoemd.

Als er in een gebied veel prooidieren zijn, dan zal na verloop van tijd het aantal roofdieren in dat gebied sterk toenemen, omdat die zich voldoende kunnen voeden met de prooidieren. Door die toename van het aantal roofdieren zal het aantal prooidieren teruglopen. Hierdoor kunnen de roofdieren minder voedsel vinden en zullen zij in aantal afnemen. Als gevolg daarvan zal het aantal prooidieren weer toenemen. En daarmee begint deze cyclus weer opnieuw. In de volgende figuur wordt een model van zo'n  cyclus weergegeven.
       

       
De grafieken van het aantal roofdieren en het aantal prooidieren zijn in dit model sinusoïden.
       
4p. 9. Stel op algebraïsche wijze een functievoorschrift voor r op waarmee je het aantal roofdieren r in deze figuur kunt berekenen als functie van de tijd t in jaren.
     

 
In de rest van deze opgave gaan we uit van een ander prooi-roofdiermodel:
       

       
Hierin is p het aantal prooidieren, r het aantal roofdieren en t de tijd in jaren. In onderstaande figuur zijn de grafieken van p en r geschetst.
       

       
In elke periode is er één moment waarop de groeisnelheid van het aantal prooidieren maximaal is. In het bijbehorende punt op de grafiek is de helling dus maximaal.
       
3p. 10. Bereken deze maximale groeisnelheid. Geef je eindantwoord in gehele honderdtallen prooidieren per jaar.
     

 
Iemand zegt: “Op de momenten dat er 4300 prooidieren zijn, zijn er … roofdieren of … roofdieren.”
       
4p. 11. Bereken welke twee getallen op de plaats van de puntjes moeten staan, zodat de uitspraak juist is. Geef deze getallen in gehele honderdtallen.
     

  

 

Raaklijn aan cirkel.
       
De cirkel c heeft vergelijking x2 + y2 = 25 . Het middelpunt van c is O. Het punt P(-3, -4) ligt op c.
De lijn l is de raaklijn aan de cirkel in P. Lijn l snijdt de x-as in het punt S. Cirkel c snijdt de x-as in de punten A en B. Zie de figuur.
       

       
Een vergelijking van l  is  y = -3/4x + 61/4.
       
3p. 12. Bewijs dat   y = -3/4x + 61/4  inderdaad een vergelijking van l is.
     

 
Er geldt:  AS • BS = PS2
       
5p. 13. Bewijs dat voor deze situatie inderdaad geldt  AS • BS = PS2
     

 
De gelijkheid  AS • BS = PS2  geldt algemener, namelijk voor elke situatie waarin geldt:
- A, B en P zijn drie willekeurige punten op een cirkel;
- het punt S is het snijpunt van de lijn door A en B met de raaklijn aan de cirkel in P.
       
In onderstaande figuur is de cirkel d met middelpunt M(5, 4) en straal 3 weergegeven.
De punten A, B en P zijn drie punten op de cirkel.

De lijn m is de raaklijn aan de cirkel in P. Het punt S is het snijpunt van lijn m en de lijn door A en B. Verder is gegeven dat AB = 4 en BS = 3.
       

       
4p. 14. Bereken exact de afstand tussen punt S en cirkel d.
     

  
       

 

Logaritmen en snijpunten.
       
De functies f en g worden gegeven door
  f(x) = log(2x - 4)
g(x) = log(6 - x)
       
Beide grafieken hebben een verticale asymptoot. Het punt S is het snijpunt van de grafieken van f en g. Zie de figuur.
       

       
De afstand van S tot de asymptoot van de grafiek van g is groter dan de afstand van S tot de asymptoot van de grafiek van f.
       
5p. 15. Bereken exact hoeveel keer zo groot.
     

 
De lijn met vergelijking x = a ligt rechts van S en snijdt de grafieken van f en g in de punten P en Q.
De waarde van a is zo gekozen dat de lengte van lijnstuk PQ gelijk is aan 1. Zie onderstaande figuur.
       

       
5p. 16. Bereken exact de waarde van a.
     

  
Maximale richtingscoëfficiënt
       
Op het domein  〈0,→〉 wordt de functie f gegeven door:

       
Het punt P ligt op de grafiek van f. De x-coördinaat van P is p. De y-coördinaat van P is dus f(p).
De lijn l gaat door de oorsprong O en door P. De richtingscoëfficiënt van l noemen we a. Er geldt:
       

       
In de beide figuren hieronder is lijn l voor twee posities van P getekend. In de onderste figuur is a groter dan in de bovenste figuur.
       

       
Er is een waarde van p waarvoor a maximaal is. Deze waarde van p kun je berekenen door eerst a uit te drukken in p.
       
5p. 17. Bereken exact de waarde van p waarvoor a maximaal is.
     

  

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. in vijf jaar groeit het aantal van 1 miljard naar 6,9 miljard, dus dat is een factor  6,9/1 = 6,9
g5 = 6,9
g = 6,91/5 = 1,47...
2021 is na 8 jaar dus dan is het aantal 1 • 1.47...8 = 22 miljard.
   
2. Een afname van 32% betekent een groeifactor van 1 - 0,32 = 0,68 per jaar.
222 • 0,68t = 0,001
0,68t = 0,000004504...
t = log(0,000004504...)/log(0,68) = 31,92...
Dus de prijs is voor het eerst lager in 2023
   
3. aflezen:  in 2004 is log(p) = 0  dus p = 1
de prijs van een harde schijf is dan 250 • 1 = 250 dollar

aflezen in 2013 is log(p) = -1,6 dus p = 10-1,6 = 0,025...
de prijs van een harde schijf is dan  2 • 1000 • 0,025... = 50,23... dollar

De afname is  199,77...dollar en dat is 199,77/250 = 80%
   
4. x3 - x2 -7x - 29
g(x) = (x2 + x - 2)(x - 3) = x3 - 3x2 + x2 - 3x - 2x + 6 = x3 - 2x2 - 5x + 6
snijden van f en g:
x3 - x2 -7x - 29 = x3 - 2x2 - 5x + 6
x2 - 2x - 35 = 0
(x - 7)(x + 5) = 0
x = 7 ∨  x = -5
Dat zijn de punten  (7, 216)  en  (-5, -144)
De lijn daardoor heeft r.c.  (216- -144)/(7- -5) = 30
216 = 7 • 30 + b  geeft  b = 6
Dus S = (0, 6)

g(0) = 03 - 2 • 02 - 5 • 0 = 6 = 6,  dus  T = (0,6)
S en T zijn inderdaad gelijk.
   
5. Als f en m elkaar raken dan hebben ze dezelfde helling, dus is  3/4 = f  '
f(x) = 2√(3x - 4).= 2(3x - 4)0,5
f ' = 0,5 •2•(3x - 4)-0,5 • 3
f ' = 3•(3x - 4)-0,5 = 3/4
(3x - 4)-0,5 = 1/4
(3x - 4)0,5 = 4
3x - 4 = 16
3x = 20
x = 20/3
dan is y = 2√(16) = 8
het punt op l met x-coördinaat 20/3 heeft nu y-coördinaat  3/4 • 20/3 = 5
Dus dat punt moet 3 omhoog worden geschoven.
Dus c = 3
   
6. De lijn gaat door O en krijgt dus vergelijking y = ax
Als die de grafiek van f raakt, dan moeten de functiewaarden én de afgeleiden gelijk zijn.
Dus moet gelden  ax =  2√(3x - 4)  én  a = 3•(3x - 4)-0,5
De tweede invullen in de eerste:  3•(3x - 4)-0,5 • x =  2√(3x - 4)
3x = 2(3x - 4)
3x = 6x - 8
x = 8/3
dan is  a = 3•(3x - 4)-0,5 = 3/2
a krijg je door de oorspronkelijke helling 3/4 met p te vermenigvuldigen.
3/4p = 3/2
p = 2
   
7. Cosinusregel in driehoek PQR:  122 = 5,52 + 92 - 2 • 5,5 • 9 • cos(PRQ)
144 = 111,25 - 99cos(PRQ)
32,75 = -99cos(PRQ)
cos(PRQ) = -0,33...
∠PRQ = 109,317...°
Dan is ∠SRQ = 180 - 109,37... = 70,68...°
afgerond dus 70,7°
   
8. In het begin is RS = 9 • cos(71°) = 2,93
Daar komt bij het verplaatsen 2,5 bij op, dus na verplaatsen is RS = 5,43
PS is dan  RS + 5,5 = 10,93
Pythagoras:  QS = √(92 - 5,432) = 7,177...
Nog een keer Pythagoras:  PQ = √(10,932 + 7,1772) = 13,1
   
9. Hoogste punt 5000, laagste punt 1000  dus evenwichtslijn (5000 + 1000)/2 = 3000
amplitude is dan  5000 - 3000 = 2000
toppen tussen t = 1 en t = 11, dus periode 10.
dan staat er in de formule 2π/10
beginpunt waar de sinusoïde stijgend door de evenwichtlijn gaat:  bij t = 1
r(t) = 3000 + 2000sin(2π/10 • (t - 1))
   
10. een sinusoïde heeft maximale helling op het punt waar de grafiek door de evenwichslijn omhoog gaat.
dat is hier bij  t = 3
Y1 = 4800 + 3400*sin(π/4*(X-3))
calc -  6:dy/dx  en dan X = 3  geeft helling  2700
   
11. Y1 = 4800 + 3400*sin(π/4*(X-3))
Y2 = 4300
calc - intersect geeft  t = 2,81  of  t = 7,18
r(2,81) = 1200  en  r(7,18) = 3800
Dat zijn de gevraagde twee getallen.
   
12. O = (0,0) en P =(-3, -4)
OP heeft helling  4/3
lijn l staat daar loodrecht op dus heeft r.c. a = -3/4
verder moet l door (-3, -4) gaan
Dat geeft  -4 = -3/4 • -3 + b  dus  b = -61/4
   
13. De straal van de cirkel is 5, dus  A = (-5, 0) en B = (5,0)
Voor S geldt:   -3/4x + 61/4 = 0  en dat geeft  x = -81/3
AS = 31/3
BS = 131/3
AS • BS = 444/9
Pythagoras: PS2 = (51/3)2 + 42 = 444/9.
Klopt! 
   
14. AS • BS = 7 • 3 = 21
Dus PS2 = 21  dus  PS = √21
MP= 3 (straal cirkel)
MP staat loodrecht op PS  want PS is een raaklijn.
Dus geldt Pythagoras in driehoek MPS
32 + (√21)2 = MS2
MS = √30
Voor de afstand van S tot de cirkel moet de straal van de cirkel daar nog vanaf gehaald worden:
De afstand van S tot de cirkel is dus  √30 - 3
   
15. Een log-grafiek heeft een verticale asymptoot bij log(0)
verticale asymptoot van f:  2x - 4 = 0  dus  x = 2
verticale asymptoot van g:  6 - x = 0  dus x = 6

snijpunt f en g:
log(2x - 4) = log(6 - x)
2x - 4 = 6 - x
3x = 10
x = 31/3

de afstanden van S tot de asymptoten  zijn 4/3 en 8/3
De afstand van S naar de asymptoot van g is dus twee keer zo groot als van S naar de asymptoot van f
   
16. Als de verticale afstand 1 is, dan is f(p) - g(p) = 1
log(2x - 4) - log(6 - x) = 1
log((2x - 4)/(6 - x)) = 1
(2x - 4)/(6 - x) = 101 = 10
2x - 4 = 10(6 - x)
2x - 4 = 60 - 10x
12x = 64
x = 51/3 = a
   
17.

  a is maximaal als de afgeleide hiervan nul is:
a = 3p-1 - p-3 - 1
a '=  -3p-2 + 3p-4 = 0
vermenigvuldig alles met p4:    -3p2 + 3 = 0
3p2 = 3
p2 = 1
p = 1   (p = -1 voldoet niet)