HAVO WB, 2022 - II

 

Logaritme en parabool.
       
De functie f wordt gegeven door  f(x) = 3 + 2log(x + 4).
De grafiek van f snijdt de x-as in het punt A.
       
3p. 1. Bereken exact de x-coördinaat van A.
     

 
Het functievoorschrift f(x) = 3 + 2log(x + 4) is te herschrijven in de vorm  f(x) = 2log(ax + b)
       
2p. 2. Bereken exact de waarden van a en b.
     

 
De grafiek van f snijdt de y-as in het punt S. De grafiek van f heeft een verticale asymptoot. Deze asymptoot snijdt de x-as in het punt T.

De functie g is een kwadratische functie. De grafiek is dus een parabool. Punt T is de top van de parabool. De parabool gaat bovendien door S. Zie de figuur.
       

       
5p. 3. Stel op exacte wijze een functievoorschrift van g op.
     

 
       
Gooilandkaart.
       
In 1723 heeft landmeter M. Walraven onderstaande kaart van het Gooi gemaakt. De hoekpunten van de driehoeken op de kaart zijn vaak de kerktorens van de dorpen. Met behulp van een hoekmeetinstrument heeft Walraven enkele hoeken zeer nauwkeurig opgemeten. Verder zijn twee hemelsbrede afstanden bepaald. Met het netwerk van driehoeken op de kaart kunnen zo de afstanden tussen de kerktorens berekend worden.

In 1723 zijn de volgende metingen gedaan:
- De afstand tussen (de kerktorens van) Laren en Hilversum is 5060 meter.
- De afstand tussen (de kerktorens van) Naarden en Huizen is 4810 meter.
- De hoek tussen Laren-Hilversum en Laren-Naarden is 90,9°.
- De hoek tussen Hilversum-Laren en Hilversum-Naarden is 49,3°.
- De hoek tussen Naarden-Huizen en Naarden-Laren is 47,7°.
       
Zie de figuur.

       
6p. 4. Bereken de afstand tussen (de kerktorens van) Huizen en Hilversum. Geef je eindantwoord in tientallen meters nauwkeurig.
     

 
       

 

Wortel en cirkel.
       
De functie f wordt gegeven door f (x) = √(3x + 4).
In onderstaande figuur is de grafiek van f weergegeven.
       

       
De grafiek van f ontstaat uit de grafiek van y = √x door een horizontale translatie en een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as.
       
3p. 5. Geef aan welke translatie en vermenigvuldiging dit zijn en in welke volgorde ze moeten worden toegepast.
     

 
De grafiek van f snijdt de y-as in het punt A(0, 2). De lijn k is de raaklijn aan de grafiek van f in A. De lijn l snijdt lijn k loodrecht in A. Het punt M is het snijpunt van l met de x-as.
De cirkel c heeft punt M als middelpunt en raakt de grafiek van f in punt A. Lijn k is dus ook de raaklijn in A aan c.
De punten P en Q zijn de snijpunten van cirkel c met de x-as. Zie de volgende figuur.
       

       
7p. 6. Bereken exact de x-coördinaten van P en Q.
     

 
       
Sinusoïden en somfunctie.
       
De functies f en g worden gegeven door:

f(x) = 1 + 3sin(2x)
g(x) = 1 + 3cos(2x)

Het punt P is de eerste top van de grafiek van f rechts van de y-as en het punt R is de eerste top van de grafiek van g rechts van de y-as. Zie de figuur hiernaast, waarin ook het lijnstuk PR getekend is.
       
4p. 7. Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk PR. Geef je eindantwoord in twee decimalen
     

 
De grafiek van de somfunctie h(x) = f(x) + g(x) blijkt ook een sinusoïde te zijn. Zie de figuur hiernaast.

Het functievoorschrift van h is te schrijven als:
h(x) = p + q • cos(r(x - s))
     
7p. 8. Bereken mogelijke waarden van p, q, r en s. Geef je eindantwoorden, indien nodig, in twee decimalen.
     

 
       

 

Luchtvervuiling.
       
De Air Quality Index (AQI) is een waarde die overheden gebruiken om aan te geven hoe vervuild de lucht is: hoe hoger de AQI, des te sterker is de luchtvervuiling. De AQI wordt berekend uit de ozonconcentratie C in ppm. De ppm is een veelgebruikte eenheid voor concentratie.

Men heeft de mogelijke waarden van de AQI in categorieën opgedeeld. In de tabel is voor elke categorie luchtkwaliteit te zien welke waarden van C en de AQI daarbij horen. Zo is de laagste waarde van de AQI in de categorie ‘gemiddeld’ gelijk aan 50 en dat is het geval als C = 0,065.
       
categorie luchtkwaliteit C (ppm) AQI
goed 0 - 0,065 0 - 50
gemiddeld 0,065 - 0,085 50 - 100
ongezond voor kinderen en ouderen 0,085 - 0,105 100 -150
ongezond 0,105 - 0,125 150 - 200
erg ongezond 0,125 - 0,375 200 - 300
       
Binnen elke afzonderlijke categorie is er een stijgend lineair verband tussen de AQI en C.

Op een bepaalde plek wordt een ozonconcentratie gemeten van 0,20 ppm.
       
4p. 9. Bereken de bijbehorende AQI. Geef je eindantwoord als geheel getal.
     

 
In plaats van de concentratie in ppm te geven, kan deze ook in milligram per kubieke meter (mg/m3) gegeven worden. Als de temperatuur bekend is, kan de concentratie van ppm naar mg/m3 omgerekend worden. Daarvoor geldt de volgende formule:

       
Op zeker moment in 2015 werd in Amsterdam een ozonconcentratie van 0,0612 mg/m3 gemeten. De temperatuur was op dat moment 20 graden Celsius.
       
4p. 10. Bepaal de categorie luchtkwaliteit op dat moment.
     

 
Als de temperatuur constant 25 graden blijft, dan is het verband tussen Cppm en Cmg/m³ recht evenredig.
       
3p. 11. Bereken de evenredigheidsconstante als Cppm wordt uitgedrukt in Cmg/m³  bij een temperatuur van 25 graden Celsius. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
     

 
       
Minimale omtrek.
       
De functie f wordt gegeven door    f(x) = 3/x³ met x > 0 .
Punt P is een willekeurig punt op de grafiek van f.
Bij zo’n punt P kun je een rechthoek tekenen met horizontale en verticale zijden en hoekpunten P en O.
In de linker figuur hieronder is de rechthoek getekend als P het punt (1, 3) is en in de rechterfiguur is de rechthoek getekend als P het punt  (2, 3/8) is.
       

       
De omtrek van de rechthoek in de linkerfiguur  is groter dan de omtrek van de rechthoek in de rechterfiguur.
De omtrek is dus afhankelijk van de keuze van P.

Je kunt P zó op de grafiek van f  kiezen, dat de omtrek van de bijbehorende rechthoek minimaal is.
       
6p. 12. Geef een formule voor de omtrek en bereken daarmee exact de coördinaten van het punt P, zó dat de omtrek van de bijbehorende rechthoek minimaal is.
     

 
       

 

Een raaklijn en een evenwijdige lijn door O.
       
De functie f wordt gegeven door f(x) = -2 + √(8 + x).
Het punt A is het snijpunt van de grafiek van f met de x-as.
De lijn k raakt de grafiek van f  in het punt A. Zie de volgende figuur.
       

       
Een vergelijking van k is  y = 1/4x + 1.
       
5p. 13. Bewijs dit.  
     

 
Het punt B is het randpunt van de grafiek van f.
Lijn l is de lijn door B en de oorsprong O. Zie de volgende figuur.
       

       
Lijnen k en l zijn evenwijdig.
       
3p. 14. Bewijs dit.  
     

 
4p. 15. Bereken exact de afstand tussen k en l.  
     

 
Daglengte.
       
De daglengte is het aantal uren tussen zonsopgang en zonsondergang. De daglengte verandert in de loop van het jaar en varieert ook per plaats op aarde.
Gedurende een jaar is voor elke dag in Luxemburg de daglengte bepaald. Bij deze waarnemingen is een zo goed mogelijk passend model opgesteld en vervolgens is daarbij de grafiek getekend. Zie de figuur. Hierbij is de daglengte L in Luxemburg in uren gegeven als functie van de tijd t in dagen met t = 0 op 1 januari.

Het functievoorschrift dat bij dit model hoort, ziet er als volgt uit:     
L(t) = 12 + 4,1 • sin(a(t - b))
       

       
De periode van het model is 365 dagen en de langste dag is op t = 168.
       
2p. 16. Bepaal de waarden van a en b. Geef de waarde van a in drie decimalen en de waarde van b als geheel getal.
     

 
De toename van de daglengte volgens het model is het grootst als de helling van de grafiek van L maximaal is. Met behulp van de figuur kun je de maximale helling bepalen.
       
3p. 17. Bepaal met behulp van de figuur de maximale helling van de grafiek van L.
Geef je eindantwoord in hele minuten per dag.
     

 
       
Vierkant en halve cirkel.
       
Het punt A(3, 3) ligt op lijn l met vergelijking y = -x  en het punt B(3, 3) ligt op lijn k met vergelijking y = x.
Door de punten A en B gaat een halve cirkel met diameter AB en middelpunt M.
Voor vierkant OPQR geldt:
- R ligt op l en P ligt op k.
- Zijde PQ raakt de halve cirkel in het punt K.
       
Zie de figuur.

       
5p. 18. Bereken exact de coördinaten van K.
     

 

 

 

 

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. 3 + 2log(x + 4) = 0
2log(x + 4) = -3
x + 4 = 2-3 = 0,125
x = -3,875
   
2. 3 + 2log(x + 4)
= 2log23 + 2log(x + 4)
= 2log8 + 2log(x + 4)
= 2log(8(x + 4))
= 2log(8x + 32)
   
3. De asymptoot zit bij  x + 4 = 0  dus is de lijn x = -4  dus  T = (-4, 0)
x = 0  geeft  y = 3 + 2log(4) = 3 + 2log(22) = 3 + 2 = 5  dus  S = (0, 5)

Een parabool met top (-4, 0) heeft vergelijking  y = a(x + 4)2 + 0
Punt S(0,5) moet daar op liggen dus  5 = a(0 + 4)2   dus  a = 5/16
Dat geeft de parabool  y = 5/16(x + 4)2
   
4.

  Bekijk eerst de lichtblauwe driehoek:
De hoek tussen  Hilversum-Naarden-Laren  is 180 - 90,9 - 49,3 = 39,8°
Sinusregel:   HN/sin(90,9) = 5060/sin39,8
Dat geeft HN = 7903,9...
Gebruik nu de cosinusregel in de driehoek Huizen-Hilversum-Naarden:

x2 = 48102  + 7903,92 - 2 • 4810 • 7903,9 • cos(39,8 + 47,7)
Dat geeft  x =  9070 meter.
   
5. y = √x
Translatie 4 naar links:  y = √(x + 4)
Vermenigvuldiging t.o.v.  de y-as met factor 1/3:   y = √(3x + 4)
   
6. x = 0  geeft  y = √4 = 2  dus  A = (0, 2)
y = √(3x + 4) = (3x + 4)0,5
y '   = 0,5(3x + 4)-0,5 • 3    dus  y '(0) = 0,5 • 4-0,5 • 3 = 0,75
k heeft helling 0,75
l heeft dus helling  -4/3
l is de lijn  y = -4/3x + 2
y = 0 geeft  4/3x = 2  dus  x = 1,5  en  M = (1.5, 0)
MA = √(1,52 + 22) = 2,5
Dus ook MP = 2,5  en MQ = 2,5
Dat geeft  xP = -1   en  xQ = 4 
   
7. De eerste top van sin(x) is normaal  (1/2π, 1)
Door de verschuiving 3 wordt dat  (1/2π, 3)
Door de vermenigvuldiging factor 1/2 wordt dat (1/4π, 3)

De eerste top van cos(x) is normaal  (π, -1)
Door de verschuiving 3 wordt dat  (π, -3)
Door de vermenigvuldiging factor 1/2 wordt dat (1/2π, -3)

De afstand is dan  √((1/4π)2 + 62) = 6,05
   
8. Voer de formule  Y1 = 1 + 3sin(2x) + 1 + 3cos(2x)  in je GR in.
Bereken de coördinaten van het eerste maximum en het eerste minimum.

Dat zijn (0.3927, 6.2426)  en  (1.9635, -2.2426)

de evenwichtslijn is  (6.2426 + -2.2426)/2 = 2
de amplitude is  6.2426 - 2 = 4,24
de periode is hetzelfde als van de oorspronkelijke functies, dus in de formule staat nu 2x
het beginpunt van cosinus is de top  dus x = 0,39

Dat geeft  h(x) = 2 + 4,24 • cos(2(x - 0,39))
   
9. Het lineaire verband tussen C en AQI gaat door de punten:   (0.125,  200)  (0.375, 300)
r.c. = (300 - 200)/(0,375 - 0,125) = 400
AQI = 400C + b
200 = 400 • 0,125 + b geeft  b = 150
AQI = 400C + 150
C = 0,20 geeft AQI = 230
   
10. 0,0612 = (584,976 • C)/(273,15 + 20)
0,0612 = 584,976C/293,15
0,0612 = 1,995...C
C = 0,03066...
Dan is de categorie luchtkwaliteit  "goed"
   
11. Cppm = a • Cmg/m³
T = 25 geeft  Cmg/m³ = (584,976 • Cppm)/(273,15 + 25)
Cmg/m³ = (584,976 • Cppm)/298,15
Cmg/m³ = 1,962 • Cppm
Cppm  = 1/1,962 • Cmg/m³
Cppm  = 0,5097... • Cmg/m³
De evenredigheidsconstante is 0,51.
   
12. P = (x, 3/x³)
De rechthoek heeft hoogte 3/x³  en breedte x
De omtrek is dan  O = x + x + 3/x³ + 3/x³  =  2x + 6/x³

Dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is
O = 2x + 6x-3
O '= 2 - 18x-4 = 0
18x-4  = 2
x-4 = 2/18 = 1/9
x4 = 9
x = 4√9 = 91/4  en dan is  y = 3/93/4
P = (91/4 , 3/93/4)
   
13. y = 0  geeft  -2 + √(8 + x) = 0
√(8 + x) = 2
8 + x = 4
x = -4
A = (-4, 0)
f(x) = -2 + (8 + x)0,5
f '(x) = 0,5(8 + x)-0,5
f '(-4) = 0,5 • (4)-0,5 = 1/4  
De raaklijn is  y = 1/4x + b en gaat door  (-4, 0) 
0 = 1/4 • -4 + b  geeft  b = 1
De raaklijn is dus   y = 1/4x + 1.
   
14. Voor het randpunt is  (8 + x) = 0  dus  x = -8  en  B = (-8, -2)
OB heeft helling   (-2 - 0)/(-8 - 0) = -2/-8 = 1/4
Dat is inderdaad gelijk aan de helling van k.
   
15. Stel een formule op voor de lijn door O loodrecht op k
k heeft helling 1/4 dus die lijn heeft helling -4
Het is de lijn y = -4x

Bereken het snijpunt van deze lijn met k:
-4x = 1/4x + 1
41/4x = -1
x = -4/17
dan is y =  1/4 • -4/17 + 1 = 16/17

De afstand van O tot dit snijpunt is  √((4/17)2 + (16/17)2) = √(272/289)
   
16. de periode is 365  dus  a = 2π/365 = 0,017
De top is bij t = 168 en het beginp0unt is een kwart periode daarvoor
Dus het beginpunt is bij b = 168 - 0,25 • 365 = 77
   
17. Het steilste punt is bij L = 12
Teken de rakalijn daar:
   
 
  Die raaklijn gaat  bijv. door (150, 17)  en  (50, 10)
De helling is dan  (17 - 10)/(150 - 50) = 0,07
0,07 uur per dag is 4 minuten per dag.
   
18. MA = MB = 3 dus de straal van de cirkel is 3.
MA en MB staan loodrecht op de y-as (want het is een halve cirkel) dus M = (0, 3)
De cirkel heeft dan als vergelijking  x2 + (y - 3)2 = 9

MK is evenwijdig aan OP  dus heeft helling 1
MK is de lijn  y = x + 3
Snijden met de cirkel:

x2 + (x + 3 - 3)2 = 9
2x2 = 9
x2 = 4,5
xK = √4,5
Dan is  yK = 3 + √4,5