Nieuwe pagina 1

Zuigflesje.

Zuigflesjes voor baby’s hebben soms bijzondere vormen. Op de foto is goed de gebogen vorm van zo’n zuigflesje te zien.



In deze opgave bekijken we een model van het vooraanzicht van het doorzichtige deel van het zuigflesje op de foto. In dit model zijn alle maten in cm. In het model is de bovenrand van het zuigflesje de grafiek van een functie f, en de onderrand van het zuigflesje de grafiek van een functie g. De functies f en g worden voor 0 < x ≤ 11 gegeven door:

f(x) = -0,01x³ + 0,20x² - 1,06x + 6,44 g(x) = -0,01x³ + 0,16x² - 0,50x + 0,44

In de figuur hieronder zijn de grafieken van f en g getekend.



De verticale afstand d(x) = f(x) - g(x) is niet voor elke waarde van x gelijk.

4p.	1.	Bereken algebraïsch voor welke waarde van x de verticale afstand d het kleinst is.

Op de foto is midden op het zuigflesje een gebogen lijn te zien. Hierop zijn maatstreepjes aangebracht. In het model is deze lijn de grafiek van een functie h. Zie onderstaande figuur.



Voor elke x is h(x) het gemiddelde van f(x) en g(x).

3p.	2.	Geef een functievoorschrift van h. Schrijf dit functievoorschrift zo eenvoudig mogelijk.

Hyperbool met cirkels.

De functie f is gegeven door: f(x) = ^-6/_{(2x - 3)} + 2 Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt A(3, 0) en lijn m is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt B(0, 4) . Zie de volgende figuur.



De twee raaklijnen hebben allebei richtingscoëfficiënt ⁴/₃.

4p.	3.	Toon dit met behulp van differentiëren aan.

Cirkel c₁ raakt l in A. Bovendien raakt c₁ aan m. Punt M₁ is het middelpunt van c₁ . Zie onderstaande figuur.



De coördinaten van M₁ zijn (²⁷/₂₅, ³⁶/₂₅)

6p.	4.	Bewijs dit.

M₁ ligt op de lijn k met vergelijking y = ⁴/₃x. Cirkel c₂ is gegeven door de vergelijking: x² + y² - 3x - 4y = 0

3p.	5.	Bewijs dat het middelpunt van c₂ ook op k ligt.

Het rendement van warmtemotoren.

In een warmtemotor, bijvoorbeeld de motor van een auto, wordt de totale hoeveelheid energie die in brandstof aanwezig is nooit helemaal omgezet in bewegingsenergie. Het rendement van een warmtemotor is het percentage van de totale hoeveelheid energie dat wel wordt omgezet in bewegingsenergie. Door technische vooruitgang neemt het rendement van warmtemotoren toe. Men gaat ervan uit dat deze ontwikkeling zich de komende jaren blijft voortzetten. Om deze groei van het rendement in de tijd te onderzoeken, gebruikten de Amerikaan Ausubel en de Italiaan Marchetti de formule


Hierin is R het rendement in procenten.

3p.	6.	Leg met behulp van deze formule uit dat een toename van R zorgt voor een toename van K.

In de figuur hieronder, afkomstig uit een artikel van Ausubel en Marchetti, is voor verschillende warmtemotoren (vaak aangeduid met de naam van de uitvinder) K uitgezet tegen het jaartal waarin deze uitgevonden zijn.



In de figuur is te zien dat de warmtemotor die Charles Parsons aan het begin van de twintigste eeuw ontwikkelde een – voor die tijd – zeer hoog rendement had.

4p.	7.	Bepaal met behulp van de figuur het rendement van deze warmtemotor in procenten. Geef je eindantwoord als geheel getal.

In de figuur is een lijn weergegeven die de ontwikkeling van het rendement van warmtemotoren benadert. Bij deze lijn hoort de formule K(t) = 0,00667t - 2 Hierin is t het aantal jaren na 1700. Men gaat ervan uit dat in de toekomst een rendement van 70% haalbaar is.

4p.	8.	Bereken in welk jaar dit rendement voor het eerst behaald zal worden.

Met behulp van de twee gegeven formules kan R uitgedrukt worden in t.

5p.	9.	Druk R uit in t.

Cosinus en lijnen

Op het domein [0, 3] is de functie f gegeven door f(x) = 2cos(3x). Het punt A is het meest links gelegen snijpunt van de grafiek van f en de lijn met vergelijking y = √3 . Lijn k gaat door O en A. Zie de figuur.



De richtingscoëfficiënt van k is ^18√3/_π

4p.	10.	Bewijs dit.

Het punt T is de meest rechts gelegen top van de grafiek van f. Lijn l gaat door O en T. Zie onderstaande figuur.



7p.	11.	Bereken algebraïsch ∠AOT in graden. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wortelfunctie.

De functie f is gegeven door f(x) = √x. Het punt A(1, 1) ligt op de grafiek van f. Lijn k is de horizontale lijn door A. Deze lijn snijdt de y-as in het punt S. We bekijken nu een functie g met de volgende kenmerken:
-	de grafiek van g gaat door het midden M van lijnstuk AS;
-	de grafiek van g kan uit de grafiek van f ontstaan door middel van een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as;
-	de grafiek van g kan ook uit de grafiek van f ontstaan door middel van een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as.

Lijn l is de verticale lijn door A. Deze lijn snijdt de grafiek van g in het punt N. Zie de onderstaande figuur.



4p.	12.	Bereken exact de y-coördinaat van N.

Punt B(b, √b) met b > 0 ligt op de grafiek van f, zodanig dat OA = AB. Zie onderstaande figuur.



4p.	13.	Bereken b. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Brug.

Op de foto is een boogbrug te zien. De vorm van de onderrand van de boog van de brug wordt benaderd met behulp van een wiskundig model.



In de figuur hieronder is de onderrand van de boog schematisch weergegeven.



In deze figuur is x de lengte in meters van het wegdek gemeten vanaf het meest linkse punt van de brug en y de hoogte in meters van de onderrand van de boog ten opzichte van het wegdek. We nemen aan dat de onderrand van de boog begint en eindigt op het wegdek. De onderrand van de boog begint bij x = 1,4 in punt P en eindigt bij x = 12,0 in punt Q. Het hoogste punt is T bij x = 4,1 en y = 2,4 . De boog kan benaderd worden met een formule van de vorm:



7p.	14.	Bereken algebraïsch de waarden van a, b en c. Geef je eindantwoord zo nodig in twee decimalen.

Ingeschreven cirkel.

De ingeschreven cirkel van een driehoek ABC is de cirkel die raakt aan alle zijden van de driehoek. Het punt M is het middelpunt van deze cirkel en r is de straal van deze cirkel. Zie de figuur linksonder.



Elke driehoek ABC kan met behulp van punt M in drie aparte driehoeken AMB, BMC en AMC worden verdeeld. Zie de rechterfiguur. Wanneer we de zijden AB, BC en AC als basis kiezen voor respectievelijk de driehoeken AMB, BMC en AMC, dan is r de bijbehorende hoogte van elk van deze driehoeken. Voor elke driehoek ABC kan de oppervlakte G daarom worden uitgedrukt in de omtrek P van de driehoek en de straal r van de ingeschreven cirkel van de driehoek. Er geldt: G = ¹/₂ • P • r

3p.	15.	Bewijs dit.

We bekijken nu een driehoek ABC met zijden AB = 14, BC = 13 en AC = 15.

6p.	16.	Bereken de straal van de ingeschreven cirkel van deze driehoek. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Exponentiële functie.

De functie f is gegeven door f(x) = ¹/₉ • (3^-^0,5x+ 27) Zie de figuur.



Op het domein [a, -4] is het bereik van f gelijk aan [4, 16] . Er geldt, afgerond op twee decimalen: a ≈ -8,67.

4p.	17.	Bereken a exact.

Een ander functievoorschrift voor f is:


5p.	18.	Bewijs dit.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	f(x) - g(x) = (-0,01x³ + 0,20x² - 1,06x + 6,44) - (-0,01x³ + 0,16x² - 0,50x + 1,44) = 0,04x² - 0,56x + 5,00 Dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is: 0,08x - 0,56 = 0 Dat geeft x = 7

2.	h = ^{(f + g)}/₂ h = ¹/₂(-0,01x³ + 0,20x² - 1,06x + 6,44 - 0,01x³ + 0,16x² - 0,50x + 0,44) h = -0,01x³ + 0,18x² - 0,78x + 3,44

3.	f(x) = -6 • (2x - 3)^-1 f '(x) = -6 • -1 • (2x - 3)^-2 • 2 f ' (0) = -6 • -1 • (-3)^-2 • 2 = ¹²/₉ = ⁴/₃ f '(3) = -6 • -1 • (3)^-2 • 2 = ¹²/₉ = ^4/₃

4.	Maak een vergelijking van de lijn door M en A Die heeft rc -³/₄ (want loodrecht op l) Gaat door A: 0 = -³/₄ • 3 + b geeft b = ⁹/₄ Bereken het snijpunt van de lijn met lijn m: ⁴/₃x + 4 = -³/₄x + ⁹/₄ ²⁵/₁₂x = -⁷/₄ x = -0,84 Dan is y = -³/₄ • -0,84 + ⁹/₄ = 2,88 S = (0.84, 2.88) Het midden van AS is (1.08, 1.44) Dat is inderdaad punt M₁

5.	x² + y² - 3x - 4y = 0 x² - 3x + 2,25 - 2,25 - 4y + 4 - 4 = 0 (x - 1,5)² - 2,25 + (y - 2)² - 4 = 0 (x - 1,5)² + (y - 2)² = 6,25 M₂ = (1.5, 2) 2 = ⁴/₃ • 1,5 dus M₂ ligt inderdaad op k

6.	Als R groter wordt, dan wordt (100 - R) kleiner. Als de noemer van de breuk kleiner wordt en de teller groter, dan wordt de hele breuk ook groter. Het grondtal van log is 10, dus als ^R/_{(100 - R)} groter wordt, dan wordt log ervan ook groter. Dus als R groter wordt, dan wordt K ook groter

7.	Aflezen: K = -0,5 ¹⁰log(^R/_{(100 - R)}) = -0,5 ^R/_{(100 - R)} = 10^-0,5 = 0,316... R = 0,316(100 - R) R = 31,6 - 0,316R 1,316R = 31,6 R = 24%

8.	K = log(⁷⁰/_(100-70)) = log(2,33...) = 0,368 0,368 = 0,00667t - 2 2,368 = 0,00667t t = 355,01... Dat is in 2056

9.	0,00667t - 2 = log(^R/_{(100 - R)}) 10^{(0,00667t - 2)} = ^R/_{(100 - R)} R = (100 - R)•10^{(0,00667t - 2)} R = 100 • 10^{(0,0066t - 2)} - R • 10^{(0,00667t - 2)}R + R • 10^{(0,00667t - 2)} = 100 • 10^{(0,00667t - 2)} R(1 + 10^{(0,00667t - 2)} ) = 100 • 10^{(0,00667t - 2)}


10.	2cos(3x) = √3 cos(3x) = ¹/₂√3 3x = ¹/₆π x = ¹/₁₈π y = √3 rc k is: ^√3/ (¹/₁₈π) = ¹⁸^√3/_π

11.	De tweede top (vanaf de oorsprong) van cosx is (2π, 1) 3x = 2π geeft x = ²/₃π y = 2 want de formule is met 2 vermenigvuldigd. De top is dus (²/₃π, 2) = T OT heeft rc ²/(2/₃π) = 0,9549... Voor de hoek van OT met de x-as geldt tan(α) = 0,9549 en dat geeft α = 43,68° Voor de hoek van OA met de x-as geldt tan(α) = ^18√3/_π = 9,923... en dat geeft α = 84,25° ∠AOT = 84,25 - 43,68 = 41°

12.	M is het midden van AS dus g ontstaat uit f door een vermenigvuldiging tov de y-as met factor 0,5 Dan is g(x) = √(2x) x_A = 1 = x_N y_N = √(2 • 1) = √2

13.	A = (1,1) OA = √(1² + 1²) = √2 B = (b, √b) AB = √((b - 1)² + (√b - 1)²) OA = AB geeft √2 = √((b - 1)² + (√b - 1)²) Invoeren in de GR bij Y1 en Y2 en dan intersect geeft b = 2,31

14.	P = (1.4, 0) geeft a(1,4 + b + ^c/_1,4) = 0 dus 1,4 + b + ^c/_1,4 = 0 Q = (12, 0) geeft a(12 + b + ^c/₁₂) = 0 dus 12 + b + ^c/₁₂De eerste geeft b = -1,4 - ^c/_1,4 en dat kun je invullen in de tweede: 12 - 1,4 - ^c/_1,4 + ^c/₁₂= 0 10,6 - 0,6309...c = 0 c = 16,8 Dan is b = -1,4 - ^c/_1,4 = -13,4 T = (4.1, 2.4) geeft dan 2,4 = a(4.1 - 13,4 + 16,8/4,1) 2,4 = -5,20...a a = -0,46 a ≈ -0,5

15.	opp. AMC = 0,5 • AC • r opp. BMC = 0,5 • BC • r opp. AMB = 0,5 • AB • r optellen: G = 0,5 • AC • r + 0,5 • BC • r + 0,5 • AB • r = 0,5 • r • (AC + BC + AB) Daar tussen de haakjes staat precies de omtrek

16.	cosinusregel: 13² = 14² + 15² - 2 • 14 • 15 • cos(A) 169 = 421 - 420cos(A) -252 = -420cos(A) cos(A) = 0,6 ∠A = 53,13° Voor de hoogtelijn g vanuit C op AB geldt dan: sin(53,13) = ^h/₁₅ h = 15 • sin(53,13) = 12 oppervlakte 0,5 • 14 • 12 = 84 84 = ¹/₂ • P • r = ¹/₂ • (13 + 14 + 15) • r 84 = 21r r = 4

17.	f(-4) = ¹/₉ • (3^-^{0,5 • -4}+ 27) = 1/9 • (3² + 27) = 36/9 = 4 f(a) = 16 ¹/₉ • (3^-^{0,5 • a} + 27) = 16 3^-^{0,5 • a}+ 27 = 144 3^-^{0,5 • a}= 117 -0,5a = ³log(117) a = -2 • ³log(117)

18.	f(x) = ¹/₉ • (3^-^0,5x+ 27) = 3^-2 • (3^-0,5x + 3³) = 3^-2 • 3^-0,5x + 3^-2• 3³ = 3^-2-0,5x + 3 = 3^{-0,5(4 + x)} + 3 = (3^-0,5)^{4 + x} + 3 = (¹/_√3)^{4 + x} + 3

HAVO WB, 2022 - III