Nieuwe pagina 1

Twee cirkels en twee lijnen.

De cirkel c met middelpunt M is gegeven door (x + 6)² + (y - 1)² = 49. Ook is gegeven de lijn l met vergelijking y = 2x. De cirkel en de lijn snijden elkaar in de punten A en B. Punt A ligt onder de x-as, punt B ligt boven de x-as. Zie de volgende figuur.



4p.	3.	Bereken algebraïsch de x-coördinaat van B. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

De lijn m is de horizontale raaklijn aan de onderkant van c. Het punt C is het snijpunt van m en l. Het punt N ligt op m op een afstand 8 rechts van C. De cirkel d heeft N als middelpunt en straal 3. Zie onderstaande figuur.



6p.	4.	Bereken exact de afstand tussen de twee cirkels.

Ademhaling.

In deze opgave bekijken we het longvolume. Dit is de hoeveelheid lucht in de longen van de mens. In onderstaande figuur is voor een bepaalde persoon in rust weergegeven hoe dit longvolume V afhangt van de tijd. Hierbij is V in mL en t de tijd in seconden.



Deze grafiek is te beschrijven met een formule van de volgende vorm: V = p + q · cos(rt)

4p.	5.	Bereken de waarden van p, q en r. Geef niet-gehele waarden in je eindantwoord in twee decimalen.

Als een persoon zich inspant, zal hij sneller gaan ademen. Ook ademt hij elke keer méér lucht in dan wanneer hij in rust is. Voor iemand die zich inspant, geldt:

V = 2500 + 1200 · sin(4,19(t - 0,37))

Hierin is V het longvolume in mL en t de tijd in seconden. Hieronder is een schets van de bijbehorende grafiek te zien.



De hoeveelheid lucht die deze persoon elke keer inademt, is gelijk aan het verschil tussen het maximum en het minimum van V. Gedurende één minuut ademt deze persoon meerdere keren in. In totaal ademt hij dan bijna 100 liter lucht in.

4p.	6.	Bereken hoeveel liter lucht deze persoon per minuut inademt. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Een test om na te gaan hoe goed iemands longen werken is de zogeheten spirometrietest. De persoon moet tijdens deze test krachtig in een apparaat blazen. Zie de foto. Benny moet zo’n test ondergaan. Het resultaat is te zien in de grafiek hieronder. Op de verticale as staat het volume uitgeademde lucht in liters en op de horizontale as de tijd in seconden.

Er is een moment waarop de snelheid waarmee de persoon uitblaast, maximaal is. Deze maximale snelheid, in liters per minuut, wordt de PEF (peak expiratory flow) genoemd.

4p.	7.	Bepaal met behulp van de figuur hieronder de PEF van Benny in liters per minuut. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Transition.

Transition is een kunstwerk dat langs de autoweg N34 bij Eext in Drenthe staat. Het is een gekromde buis die gedeeltelijk ingegraven is in de grond. Zie de foto.


In de figuur hieronder is een model weergegeven van een van de uiteindes van de buis: een cirkel met middelpunt M en straal r. Punt D is het hoogste punt van de buis. De doorgang van de buis is het deel van de cirkel boven lijnstuk AB. De basis van de doorgang is lijnstuk AB. De lengte van de basis is b. Punt C is het midden van AB. De afstand tussen C en D is de hoogte h van de doorgang. Lijnstuk CD staat loodrecht op AB. Er geldt dus CM = h - r.



Er is een formule waarmee je de straal r kunt berekenen bij de gegeven basis en hoogte, namelijk:



Hierin is r de straal, b de lengte van de basis AB en h de hoogte CD. Er geldt h ≥ r. Met behulp van driehoek ACM kun je bewijzen dat formule 1 juist is.

4p.	8.	Bewijs dat formule 1 juist is. Je kunt hierbij de figuur gebruiken.

In het kunstwerk Transition is de straal r gelijk aan 1,63 m. Voor het ingraven van de buis was het handig om te weten hoe lang de basis b moest zijn. Deze lengte hangt af van de gewenste hoogte h. Je kunt formule 1 herleiden tot een formule waarin b wordt uitgedrukt in h. Voor r = 1,63 is formule 1 te schrijven in de volgende vorm:

b = p · √(q · h - h²) (formule 2)

Hierin zijn p en q constanten.

3p.	9.	Herleid formule 1 tot de vorm van formule 2.

Halve hoek.

Gegeven zijn de driehoeken ABC en BCQ met AB =10, BC =12 , BQ = CQ = 7 en ∠BAC = α . Bovendien is gegeven ∠BQC = 2α. Zie de figuur.



6p.	10.	Bereken AC. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Twee functies.

De functie f wordt gegeven door f(x) = 2·2^x - 3 - 4 Het is mogelijk de grafiek van f door middel van transformaties te laten ontstaan uit de grafiek die hoort bij de formule y = 2^x. Dit kan op verschillende manieren. Er is een manier die alleen gebruikmaakt van translaties, dus zonder vermenigvuldigingen ten opzichte van x-as of y-as.

3p.	11.	Bewijs dat er zo'n manier is. In je antwoord moeten de translaties worden genoemd.

Op de grafiek van f ligt een punt met y-coördinaat 10.

4p.	12.	Bereken exact de x-coördinaat van dit punt.

De functie g wordt gegeven door g(x) = -2^{x - 3} + 2 Het punt S is het snijpunt van de grafieken van f en g.

4p.	13.	Bereken exact de coördinaten van S.

Tienkamp.

De tienkamp is een sportwedstrijd waarbij atleten gedurende twee dagen tien atletiekonderdelen moeten afleggen. Twee onderdelen van de tienkamp zijn hoogspringen en 1500 m hardlopen. Met formules worden de resultaten van de onderdelen omgezet in punten. Vervolgens worden alle punten die de atleet op de onderdelen heeft behaald, opgeteld. De atleet met de meeste punten wint de tienkamp.
Per onderdeel is ooit bepaald wat de ondergrens is om punten te scoren. Bij het hoogspringen was die ondergrens een hoogte van 75 cm. Daarom krijgt de atleet 0 punten als hij 75 cm of lager springt. Bij sprongen met een hoogte boven 75 cm behaalt de atleet wél punten. Bij een sprong met een hoogte van 220 cm krijgt hij 1000 punten. Bij het hoogspringen gebruikte men tot het jaar 1920 voor sprongen vanaf 75 cm een lineaire formule van de volgende vorm:
P = a ·(H - b)

Hierin is P het aantal punten en H de gesprongen hoogte in centimeters ( H ≥ 75 ) en zijn a en b constanten.

4p.	14.	Bereken de waarden van a en b. Geef niet-gehele waarden in je eindantwoord in één decimaal.

Een lineaire formule werd niet eerlijk gevonden, omdat bijvoorbeeld een verbetering van 75 cm naar 76 cm makkelijker te behalen is dan een verbetering van 160 cm naar 161 cm, terwijl dat toch evenveel extra punten oplevert. Daarom wilde men een andere formule, waarbij een verbetering van bijvoorbeeld 1 cm, méér extra punten oplevert naarmate er hoger wordt gesprongen. De formule die tegenwoordig voor het hoogspringen gehanteerd wordt, is

P = 0,8465 · (H - 75)^1,42

Hierin is P weer het aantal punten en H de gesprongen hoogte in centimeters (H ≥ 75). Het aantal punten dat je extra verdient door 1 cm hoger te springen, wordt steeds groter.

2p.	15.	Leg dit uit met behulp van de formule, zonder getallen in te vullen of een schets/tekening te maken.

De punten die bij de tienkamp-onderdelen worden behaald, worden eerst met de bijbehorende formule berekend en daarna naar beneden afgerond op een geheel getal. Dus als de uitkomst van de formule bijvoorbeeld 982,73 is, dan krijgt de atleet 982 punten. Bij het onderdeel 1500 m hardlopen wordt de volgende formule gebruikt:

Q = 0,03768 · (480 - t)^1,85

Hierin is Q het aantal punten en t de gelopen tijd in seconden. Deze tijd wordt altijd gemeten in honderdsten van seconden nauwkeurig. Op 1 juli 2019 was tot dan toe de beste prestatie bij het onderdeel hoogspringen een sprong met hoogte 228 cm. Er worden verschillende tijden gelopen op de 1500 m hardlopen waarmee je méér punten behaalt dan met een sprong van 228 cm hoog.

5p.	16.	Bereken de langzaamste tijd waarmee je méér punten behaalt dan met een sprong van 228 cm hoog. Geef je eindantwoord in minuten en seconden, met het aantal seconden in twee decimalen.

Cosinusbreuk.

Voor 0 ≤ x ≤ π wordt de functie f gegeven door:



In onderstaande figuur is de grafiek van f weergegeven.



De grafiek van f heeft twee verticale asymptoten.

4p.	17.	Stel op exacte wijze voor beide asymptoten een vergelijking op.

Op de grafiek van f liggen twee punten met y-coördinaat ²/₃ . Het rechter punt is P. Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in P. Zie onderstaande figuur. De richtingscoëfficiënt van l kan met de grafische rekenmachine worden benaderd.



3p.	18.	Bereken de richtingscoëfficiënt van l. Geef je eindantwoord in één decimaal.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	De wortel kan niet van een negatief getal genomen worden. Dus 3x - 5 ≥ 0 3x ≥ 5 x ≥ ⁵/₃ Het domein is [⁵/₃ ; →〉

2.	f(x) = 2(3x - 5)^0,5 f '(x) = 0,5 · 2 · (3x - 5)^-0,5 · 3 = 3 · (3x - 5)^-0,5 3 · (3x - 5)^-0,5 = ³/₄ (3x - 5 )^-0,5 = ¹/₄ (3x - 5)^0,5 = 4 3x - 5 = 16 3x = 21 x = 7 f(7) = 2(3 · 7 - 5)^0,5 = 8 g heeft dus top (7, 8) Dan is g(x) = a(x - 7)² + 8 dus p = 7 en q = 8 y_B = 2(3 · 10 - 5)^0,5 = 10 dus B = (10, 10) 10 = a · (10 - 7)² + 8 10 = 9a + 8 a = ²/₉

3.	(x + 6)² + (y - 1)² = 49. y= 2x geeft dan (x + 6)² + (2x - 1)² = 49 x² + 12x + 36 + 4x² - 4x + 1 = 49 5x² + 8x - 12 = 0 x = ^{(-8 ± √304)}/₁₀ Dat is afgerond gelijk aan 0,94

4.	M = (-6, 1) en de straal is 7 Dus het laagste punt heeft y-coördinaat 1 - 7 = -6 m is de lijn y = -6 snijden met y = 2x geeft snijpunt C = (-3, -6) dan is N = (5, -6) De afstand van N tot M is √((5 -- 6)² + (-6 - 1)²) = √170 Voor de afstand tussen de cirkels moet daar nog de straal van beide cirkels afgetrokken worden. Dus de afstand tussen de cirkels is √170 - 10

5.	aflezen: het maximum is 2700 en het minimum is 2200 Dan is de evenwichtlijn gelijk aan y = 2450 dus p = 2450 Dan is de amplitude 2700 - 2450 = 250 dus q = 250 aflezen: de toppen liggen bij x = 0 en x = 5 Dan is een periode gelijk aan 5 Dan is r = ^2p/₅ dus r ≈ 1,26

6.	per keer ademt hij 2 · 1200 = 2400 mL lucht in de periode is ²^p/_4,19 = 1,5 seconden in 1 minuut ademt hij dan ⁶⁰/_1,5 = 40 keer in en uit dat is 40 · 2400 mL = 96000 mL lucht Dat is 96 liter.

7.	Teken de raaklijn aan het punt waar de grafiek het steilst loopt:

	Deze lijn gaat bij 0,2 opzij ongeveer 1,2 omhoog De helling is dan ^1,2/_0,2 = 6 liter per seconde Dat is 360 liter per minuut.

8.	Pythagoras in ACM: (¹/₂b)² + (h - r)² = r² ¹/₄b² + h² - 2rh + r² = r² 2rh = ¹/₄b² + h² Delen door 2h en je hebt de gevraagde formule.

9.	1,63 = (0,25b² + h²)/₂_h 3,26h = 0,25b² + h² 0,25b² = 3,26h - h² b² = 4(3,26h - h²) b = 2√(3,26h - h²)

10.	cosinusregel in BCQ: 12² = 7² + 7² - 2 · 7 · 7 · cos(2a) 144 = 98 - 98cos(2a) 46 = -98cos(2a) cos(2a) = -0,4693..... 2a = 118 a = 59 cosinusregel in driehoek ABC: 12² = 10² + AC² - 2 · 10 · AC · cos(59) 144 = 100 + AC² - 10.30 · AC AC² - 10,30AC - 44 = 0 de ABC-formule geeft AC = 13,549... afgerond is AC = 13,55

11.	2·2^x^{- 3} - 4 = 2¹ · 2^x^-³ - 4 = 2^x^{- 2} - 4 Dus een translatie 2 naar rechts en een translatie 4 omlaag.

12.	10 = 2·2^x^{- 3} - 4 14 = 2·2^x ^{- 3}7 = 2^x ^-³ x - 3 = ²log7 x = 3 + ²log7

13.	-2^{x - 3} + 2 = 2·2^x^{- 3} - 4 stel 2^{x - 3}gelijk aan p-p + 2 = 2p - 4 6 = 3p p = 2 2^{x - 3} = 2 x - 3 = 1 x = 4 y = -2 + 2 =0 S = (4, 0)

14.	P = a ·(H - b) H = 75 en P = 0 invullen geeft 0 = a · (75 - b) Dat geeft a = 0 (maar dat mag niet) of (75 - b ) = 0 Dus b = 75 H = 220 en P = 1000 invullen geeft 1000 = a · (220 - 75) 1000 = 145a a = ¹⁰⁰⁰/₁₄₅ = 6,896... Afgerond is a = 6,9

15.	Omdat de macht (1,42) groter is dan 1 is de functie toenemend stijgend, want: - de macht is positief dus de functie is stijgend - de macht van de afgeleide (0,42) is ook positief dus ook de afgeleide stijgt.

16.	P = 0,8465 · (228 - 75)^1,42 = 1071,244.... dus dat zijn 1071 punten. Om meer te halen moet je dus minstens 1072 punten halen. 1072 = 0,03768 · (480 - t)^1,85 28450,10... = (480 - t)^1,85 255,63... = 480 - t t = 224,369.... Dat is 3 minuten en 44,36 seconden.

17.	Voor een verticale asymptoot moet de noemer nul zijn. 4cos(2(x - ¹/₃p)) = 0 cos(2(x - ¹/₃p)) = 0 2(x - ¹/₃p) = ¹/₂p + k2p ∨ 2(x - ¹/₃p) = -¹/₂p + k2p x - ¹/₃p = ¹/₄p + kp ∨ x - ¹/₃p = -¹/₄p + kp x = ⁷/₁₂p + kp ∨ x = ¹/₁₂p + kp Tussen 0 en p geeft dat de oplossingen x = ¹/₁₂p en x = ⁷/₁₂p. Dat zijn dus de asymptoten.

18.	Y1 = 1/(4cos(2(X - p/3))) Y2 = 2/3 intersect geeft X = 1,6403... en X = 0,45399.... Het rechtse punt is X = 1,6403.... calc en dan 6: dy/dx met X = 1,6403.... geeft helling 3,29.... De gevraagde helling is dus afgerond 3,3.

Parabool en grafiek van een wortelfunctie.

De functie f wordt gegeven door f(x) = 2√(3x - 5)

3p.	1.	Bereken op exacte wijze het domein van f.

De functie g wordt gegeven door: g(x) = a(x - p)² + q Hierin zijn a, p en q constanten. De grafiek van g is een parabool. Het punt A ligt op de grafiek van f en in dit punt A geldt f '(x) = ³/₄. Daarnaast is punt A ook de top van de grafiek van g. Het punt B ligt op beide grafieken en heeft x-coördinaat 10. Zie de figuur.



8p.	2.	Bereken exact de waarden van a, p en q.

HAVO WB, 2023 - I