Nieuwe pagina 1

Wortelgrafiek en parabool.

De functies f en g worden gegeven door f(x) = √(2x + 6) en g(x) = x² + 6x + 9 . De grafiek van f heeft een randpunt en de grafiek van g heeft een top.

4p.	1.	Onderzoek op exacte wijze of deze top hetzelfde punt is als dat randpunt.

De lijn k met vergelijking y = 4 snijdt de grafiek van g in de punten A en B, waarbij B rechts ligt van A. De lijn k snijdt de grafiek van f in het punt C. Zie de figuur.



5p.	2.	Bereken exact de afstand BC.

De lijn l raakt de grafiek van f in het punt met x-coördinaat 15. De lijn m met vergelijking 6x + y = -27 raakt de grafiek van g.

5p.	3.	Bewijs dat l en m loodrecht op elkaar staan.

Zonsopkomst en zonsondergang

Voor elke dag van het jaar is te bepalen hoe laat de zon opkomt en hoe laat de zon ondergaat. Op elke dag van het jaar 2015 is volgens de lokale zomertijd bepaald hoe laat de zon in de Australische stad Sidney opkomt. De 365 meetpunten zijn in een assenstelsel getekend. Ze liggen bij benadering op een sinusoïde. In onderstaande figuur is deze sinusoïde getekend; een deel daarvan is dun getekend. Onder het dun getekende deel is de grafiek getekend volgens de tijdstippen van zonsopkomst volgens de wintertijd. De zonsopkomst volgens de wintertijd is 1 uur eerder dan volgens de zomertijd.



Het laagste punt van de grafiek van de zomertijd is (341; 5,62). Dit betekent dus dat de zon op dagnummer 341 volgens de zomertijd het vroegst opkomt. Dat is op tijdstip 5,62 (dus 5 uur en 37 min). Het hoogste punt van het dun getekende deel van de grafiek van de zomertijd bevindt zich op hoogte 8,00. De grafiek van de wintertijd is te benaderen met een formule van de vorm:
S(t) = p + q sin(^2p/₃₆₅(t - r))

Hierin is S het tijdstip van zonsopkomst en t het dagnummer met t = 1 op 1 januari. Door gebruik te maken van de grafiek van de zomertijd kunnen mogelijke waarden voor p, q en r worden berekend.

4p.	4.	Bereken mogelijke waarden voor p, q en r van S(t ). Geef je eindantwoorden in twee decimalen.

Voor een plaats in Nederland zijn op dezelfde manier als voor Sydney volgens de lokale zomertijd de tijdstippen van zonsopkomst bepaald. Ook zijn de tijdstippen van zonsondergang volgens de zomertijd bepaald. De grafieken waarop de meetpunten liggen, zijn in de volgende figuur weergegeven.



Bij de grafiek van de zonsopkomst hoort de formule: P(t) = 7,57 + 2,27sin(^2p/₃₆₅(t - 270,9)) met 1 ≤ t ≤ 365 en bij de grafiek van de zonsondergang hoort de formule: N(t) = 19,78 + 2,33sin(^2p/₃₆₅(t - 74,07)) met 1 ≤ t ≤ 365 Hierin is P het tijdstip van zonsopkomst en N het tijdstip van zonsondergang. Opnieuw is t het dagnummer met t =1 op 1 januari. Voor t kunnen dus alleen gehele waarden worden ingevuld. Voor elke dag kan de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang worden bepaald. De langste dag is de dag waarop deze tijd zo groot mogelijk is.

4p.	5.	Bereken de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang op de langste dag. Geef je eindantwoord in een geheel aantal uren en minuten.

Door het snijpunt.

De functie f wordt gegeven door f(x) = ¹/₄x(x - 2)(x + 6) De grafiek van f snijdt de x-as in de punten A(-6, 0), O(0, 0) en B(2, 0). Het punt C is het midden van lijnstuk AO. Het punt P ligt recht boven C op de grafiek van f. Zie de figuur.



De raaklijn aan de grafiek van f in P gaat door B.

7p.	6.	Bewijs dit.

Borstcrawl.

Bij het zwemmen van de borstcrawl is er een foto verband tussen de handkracht waarmee de handen van de zwemmer tegen het water duwen en de zwemsnelheid. Zie de foto en de figuur. Het verband tussen de handkracht F en de zwemsnelheid v kan worden benaderd door de formule:

F = 500 · A · C · v²

Hierin geldt:
-	F is de handkracht in newton (N);
-	v is de zwemsnelheid in meters per seconde (m/s);
-	A is de oppervlakte van het vooraanzicht van de zwemmer in m² gedurende een zwemslag; A wordt frontaal oppervlak genoemd;
-	C is een positieve constante die afhankelijk is van de zwemtechniek van de zwemmer.

Tijdens een zwemwedstrijd over 100 m zwemt Ian een persoonlijk record. Tijdens elke zwemslag is zijn handkracht 105 N en zijn frontaal oppervlak is 0,2 m². Zijn waarde van C is 0,35. Samy wil bij een toekomstige zwemwedstrijd over 100 m 0,5 seconden sneller zwemmen dan de snelste tijd van Ian. Om dit te bereiken, gaat hij extra op handkracht trainen. Het frontaal oppervlak van Samy is 0,21 m². Zijn waarde van C is 0,33. In dit model nemen we aan dat Samy's waarden voor A en C gelijk blijven. Verder nemen we aan dat beide zwemmers met constante snelheid zwemmen.

6p.	7.	Bereken de handkracht die Samy nodig heeft om 0,5 seconden sneller te zwemmen dan de snelste tijd van Ian. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Van twee zwemmers is 10 keer de handkracht gemeten bij verschillende snelheden. De techniek van de ene zwemmer is beter dan die van de andere zwemmer. Het frontaal oppervlak tijdens een zwemslag is voor beide zwemmers 0,2 m². In de volgende figuur zijn de meetresultaten weergegeven in een assenstelsel, waarbij v² is uitgezet tegen F. Voor beide zwemmers is een lijn getekend die de meetresultaten benadert. Bij elke lijn hoort een andere constante waarde van C, passend bij de zwemtechniek van de zwemmer.



3p.	8.	Bereken met behulp van deze figuur de waarde van C van de zwemmer met de betere techniek. Geef hierbij aan welke lijn je hebt gebruikt en licht deze keuze toe. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Twee logaritmische functies

Voor x > 0 wordt de functie f gegeven door f(x) = log(x). Voor x > -10 wordt de functie g gegeven door g(x) = 2 - log(x + 10). De grafieken van f en g snijden elkaar in het punt A. Zie onderstaande figuur.



6p.	9.	Bereken exact de oplossing van de ongelijkheid f(x) < g(x).

De grafiek van g ontstaat uit de grafiek van f door een serie transformaties. Hiervoor zijn verschillende mogelijkheden.

4p.	10.	Geef één zo'n serie transformaties en geef daarbij aan in welke volgorde ze worden toegepast.

De grafiek van g snijdt de y-as in het punt B en snijdt de x-as in het punt C. De lijn l gaat door B en C. Lijn l snijdt de grafiek van f in het punt D. Zie de volgende figuur.



6p.	11.	Bereken de coördinaten van D. Geef de coördinaten in je eindantwoord in twee decimalen.

Op de grafiek van f wordt een willekeurig punt S gekozen. Punt T, met een x-coördinaat die 7 keer zo groot is als de x-coördinaat van S, ligt ook op de grafiek van f. In onderstaande figuur is de grafiek van f weergegeven met een mogelijke positie van S en van T.



In S en T kan met behulp van de grafische rekenmachine de helling worden bepaald. Voor elke keuze van S is de uitkomst van de breuk ^{helling in}^T/_{helling in S} hetzelfde .

3p.	12.	Bereken deze uitkomst. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Rondom exponentiële grafieken.

De functie f wordt gegeven door f(x) = 2^xDe functie g wordt gegeven door g(x) = (Ö2)^{x² - x}De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten A(0,1) en B(3, 8) . In de volgende figuur zijn de grafieken van f en g en de punten A en B weergegeven.



De punten A en B zijn de enige snijpunten van de grafieken van f en g.

3p.	13.	Bewijs dit.

In onderstaande figuur zijn opnieuw de grafieken van f en g met hun snijpunten A en B weergegeven. Ook zijn twee cirkels c₁ en c₂ weergegeven. Het lijnstuk AB is een middellijn van c₁ . Cirkel c₂ heeft hetzelfde middelpunt als c₁ . De oppervlakte van c₂ is drie keer zo groot als de oppervlakte van c₁ .



5p.	14.	Stel op exacte wijze een vergelijking op van cirkel c₂ .

Vuurtorens.

In onderstaande figuur is een rechte kustlijn weergegeven die van west naar oost loopt. Op deze kustlijn staat in punt O een vuurtoren. In punt S bevindt zich een schip op 9 km van de kustlijn. Het schip vaart evenwijdig aan de kustlijn. De horizontale afstand tussen O en S is 20 km. Het licht van de vuurtoren is zichtbaar binnen een straal van 11 km rondom de vuurtoren.



In positie S is het licht van de vuurtoren nog niet zichtbaar voor de kapitein van het schip.

5p.	15.	Bereken na hoeveel kilometer varen het licht van de vuurtoren zichtbaar wordt. Geef je eindantwoord als geheel getal.

In een andere situatie staan twee vuurtorens A en B met een onderlinge afstand van 14 km op een rechte kustlijn. De kustlijn loopt van west naar oost. De afstand van een schip tot de kustlijn wordt tegenwoordig met moderne navigatieapparatuur bepaald. Er is ook een methode zonder deze apparatuur, die in het verleden werd gehanteerd. Hierbij wordt het licht van de twee vuurtorens gebruikt. Vanaf het schip worden de hoeken gemeten waaronder het licht van de vuurtorens ten opzichte van de noordrichting N wordt gezien. Vanaf een schip op positie T is deze hoek voor vuurtoren A 52° en voor vuurtoren B 65° . Zie de volgende figuur.



Op basis van de twee gemeten hoeken en de onderlinge afstand van de vuurtorens, kan de afstand van het schip tot de kustlijn worden berekend.

4p.	16.	Bereken deze afstand in km. Geef je eindantwoord in één decimaal.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	f(x) = √(2x + 6) randpunt als 2x + 6 = 0 x = -3 y = 0 dus randpunt (-3, 0) g(x) = x² + 6x + 9 top bij x = -b/2a = -6/2 = -3 y = (-3)² + 6 · -3 + 9 = 0 dus top (-3, 0) Ze zijn hetzelfde.

2.	√(2x + 6) = 4 2x + 6 = 16 x = 5 dus C = (5, 4) x² + 6x + 9 = 4 x² + 6x + 5 = 0 (x + 5)(x + 1) = 0 x= -5 ∨ x = -1 B = (-1. 4) De afstand BC is dan 6

3.	f(x) = √(2x + 6) = (2x + 6)^0,5 f '(x) = 0,5(2x + 6)^-0,5 · 2 f '(15) = 0,5(30 + 6)^-0,5 · 2 = ¹/₆ De raaklijn heeft helling ¹/₆. m: 6x + y = -27 y = -27 - 6x dus m heeft helling -6. -6 · ¹/₆ = -1 dus ze staan loodrecht op elkaar.

4.	laagste (341; 5,62). hoogste y = 8 evenwichtslijn is dan ^{(8 + 5.62)}/₂ = 6,81 maar de grafiek van de wintertijd heeft de evenwichtslijn 1 lager, dus p = 5,81 amplitude is 6,81 - 5,62 = 1,19 = q beginpunt is een kwartperiode rechts van het minimum, dus bij t = 341 + 0,25 · 365 = 432,25 = r

5.	Y1 = 7,57 + 2,27sin(^2p/₃₆₅(t - 270,9)) Y2 = 19,78 + 2,33sin(^2p/₃₆₅(t - 74,07)) Y3 = Y2 - Y1 calc - maximum van Y3 geeft (gehele X) X = t = 172 en de lengte is Y = 16,7749.... Dat is 16 uur en 46 minuten.

6.	f(x) = ¹/₄x(x - 2)(x + 6) = 0 x = 0 ∨ x - 2 = 0 ∨ x + 6 = 0 x = 0 ∨ x = 2 ∨ x =- 6 A = (-6, 0) dus C = (-3, 0) B= (2, 0) f(x) = ¹/₄x(x - 2)(x + 6) = ¹/₄x(x² + 4x - 12) = ¹/₄x³ + x² - 3x f '(x) = ³/₄x² + 2x - 3 f '(-3) = -2,25 De raaklijn is y = -2,25x + b en gaat door (-3, 11.25) 11.25 = -2,25 · -3 + b geeft b = 4,5 De raaklijn is y = -2,25x + 4,5 0 = -2,25x + 4,5 x = 2 Dat is inderdaad punt B

7.	voor Ian geldt 105 = 500 · 0,2 · 0,35 · v² 105 = 35v² v² = 3 v = 1,732... Ian doet er ¹⁰⁰/_1,732... = 57,735.... seconden over. Sammy moer er dus 57,235.... seconden over gaan doen Dan is zijn snelheid ¹⁰⁰/_57,235... = 1,747... m/s 500 · 0,21 · 0,33 · 1,747² = 105,7.... Dat is dus 106 N

8.	De snelste zwemmer heeft de hoogste v² dus dat zijn de kruisjes. Kies een punt van die lijn, bijv, (40, 1.2) invullen: 40 = 0,2 · 500 · 1,2 · C Dat geeft C = 0,33

9.	log(x) = 2 - log(x + 10) log(x) + log(x + 10) = 2 log(x(x + 10)) = 2 x(x + 10) = 10² x² + 10x - 100 = 0 ABC: x = ^{(-10 ± Ö500)}/₂ De juiste oplossing is de positieve, dus x= -5 + 0,5Ö500 Lees af uit de grafiek: f < g voor 0 < x < -5 + 0,5Ö500

10.	log(x) translatie 10 naar links: log(x + 10 spiegelen in de x-as: -log(x + 10) translatie 2 omhoog: 2 - log(x + 10).

11.	GR: Y1 = 2 - log(x + 10) calc - zero geeft x = 90 dus C = (90, 0) value x = 0 geeft y = 1 dus B = (0, 1) de rc van BC is (1 - 0)/(0 - 90) = -¹/₉₀ BC is de lijn y = -¹/₉₀x + 1 Y2 = -¹/₉₀x + 1 Y3 = log(x) calc - intersect geeft x = 8,12 en y = 0,91 dus D = (8.12, 0.91)

12.	Y1 = log(x) je berekent de helling met calc - dy/dx neem bijv. calc - dy/dx met X = 1 dat geeft helling 0,434... calc - d/ydx met X = 7 dat geeft helling 0,062... ^0,062.../_0,434... = 0,14

13.	2^x= (Ö2)^{x² - x} 2^x = (2^0,5)^{x² - x}2^x = 2^{0,5x² - 0,5x}x = 0,5x² -0,5x0,5x² - 1,5x = 0 0,5x(x - 3) = 0 x = 0 ∨ x = 3 Het zijn inderdaad de enige twee oplossingen.

14.	A(0,1) en B(3, 8) is de middellijn. Het middelpunt is dan M = (1.5, 4.5) het gemiddelde van de coördinaten, De straal is de de afstand MA en dat is Ö(1,5² + 3,5²) = Ö14,5 omdat de oppervlakte van een cirkel gelijk is aan pr² moet de straal van c₂ Ö3 keer zo groot zijn als de straal van c₁ De straal van c₂is dus Ö14,5 · Ö3 = Ö43,5 De vergelijking van c₂ is dan (x - 1.5)² + (y - 4.5)² = 43,5

15.	Voor elke positie S geldt: OS² = 9² + (20 - x)² waarbij het schip x km heeft gevaren. bij 11 km is dan 11² = 9² - (20 - x)² 40 = (20 - x)² 20 - x = Ö40 x = 20 - Ö40 Dat is ongeveer 14 km varen

16.	De hoek bij A is 38 sinusregel: ¹⁴/_{(sin(65 + 52)} = ^BT/_sin(38) Dat geeft BT = 9,67.... Noem de afstand tot de kust d, dan geldt: cos(65) = ^d/_BT d = 9,67...· cos(65) = 4,1 km.

HAVO WB, 2024 - II