| opm.: vraagstuk 5 gold alleen voor kandidaten die aan het experiment "Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek" deelnamen. Deze behoefden vraagstuk 2 niet te maken. | |||
| 1. | De functie f van ℝ naar ℝ is gegeven door: | ||
|
|
|||
| a. | Wat is het bereik van f ? | ||
| De functie g van ℝ naar ℝ gegeven door: | |||
|
|
|||
| is differentieerbaar voor x = -1 | |||
| b. | Bereken a en b | ||
| c. | Welke buigpunten heeft de grafiek van g? | ||
| 2. | Gegeven is de differentiaalvergelijking: xdy = y lnx dx | ||
| a. | Teken de verzameling van de punten waarin deze differentiaalvergelijking een lijnelement definieert dat loodrecht op de y-as staat. | ||
| b. | Welke niet op de x-as gelegen punten P hebben de eigenschap dat de door P gaande integraalkromme van de differentiaalvergelijking in P de lijn OP raakt? | ||
| c. | Van een functie
f met domein
ℝ+ is gegeven dat zijn
grafiek een integraalkromme van de gegeven differentiaalvergelijking os
en dat 3 een extreme waarde van f(x) is. Is die extreme waarde een maximum of een minimum? Welke functie is f ? |
||
| 3. | Gegeven is de functie f : x → 2x • e1 - x met domein ℝ. | ||
| a. | Onderzoek de
functie f en teken de grafiek van f. Bereken de coördinaten van het buigpunt van deze grafiek. |
||
| b. | Voor welke a en b is de functie x → af(x) + bf ' (x) een primitieve van de functie f ? | ||
| c. | Voor t ≠ 0
is A(t) de oppervlakte van het gesloten vlakdeel begrensd
door de x-as, de grafiek van f en de lijn x = t. |
||
|
|
|||
| 4. | Een kromme K
wordt gegeven door: x = 2cost en y = 1 + sin(2t) waarbij 0 ≤ t ≤ π. |
||
| a. | Bewijs dat K
de x-as raakt. Bereken de hoek waaronder K de y-as snijdt. |
||
| b. | Bewijs dat K symmetrisch is ten opzichte van het punt (0, 1) | ||
| c. | Teken K en de bijbehorende raaklijnen in de eindpunten van K. | ||
| 5. | Twee personen A en
B spelen een spel: elk werpt éénmaal met een zuivere dobbelsteen. De stochast X is het aantal ogen dat A werpt De stochast Y is het aantal ogen dat B werpt De stochast V wordt gedefinieerd door V = | X - Y | |
||
| a. | Toon aan dat de eventualiteiten X = 3 en V = 0 onafhankelijk zijn. | ||
| b. | Bewijs dat de stochasten X en V niet onafhankelijk zijn. | ||
| c. | Toon aan dat de variantie van V gelijk is aan 665/324 | ||
| d. | Het spel wordt een
aantal keren onafhankelijk herhaald. Na elk spel wordt de waarde van de stochast V genoteerd. Het gemiddelde van de waarden van V is de stochast W. Hoe vaak moeten A en B het spel tenminste spelen opdat de standaardafwijking van W kleiner is dan 1/2 ? |
||
