Nieuwe pagina 1

OPGAVE 1.

Het hoogtekaartje dat je hiernaast ziet is het wiskundig model van een glooiend heuvellandschap. Het voorschrift dat de hoogte geeft als functie van de plaats is: H(x, y) = x³ - y Beschouw deze functie op het domein D dat bestaat uit de verzameling punten (x, y) met -1 < x < 1 en -1 < y < 1.

	a.	Welke hoogtegetallen horen er bij de zeven getekende hoogtelijnen a tot en met g?

	b.	Wat is het maximum van H op het domein D? En wat is het minimum?

	c.	Teken de doorsnede van het landschap met het vlak door de x-as dat loodrecht op het horizontale vlak staat. Teken ook de doorsnede met het vlak door de y-as dat loodrecht op het horizontale vlak staat.

	d.	Er wordt een wandeling ondernomen van P naar R over het heuvellandschap. Op het kaartje is de gevolgde route een rechte lijn, de lijn y = x. Bereken de maximale en de minimale hoogte die wordt bereikt op deze wandeling.

	e.	De wandeling van S naar Q, op het kaartje langs de lijn y = -x, is een voortdurende klim. Toon dat aan.

	f.	In welk punt is de klim, bedoeld in onderdeel e), het minst steil? Hoe groot is de helling in dat punt?

OPGAVE 2.

Rond de zon bewegen een negental planeten waarvan de aarde er één is. Deze planeten zijn, vanaf de zon gerekend: Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus en Pluto.
We beperken ons voorlopig tot de planeten Venus, Aarde, Mars, Jupiter en Saturnus. Zoals bekend draait de aarde in ongeveer 365 dagen rond de zon. De gemiddelde afstand tot de zon is 150 miljoen kilometer (afgerond op miljoenen km). Voor de overige planeten geldt:

Planeet	gemiddelde afstand tot de zon (afgerond op miljoenen km).	omwentelingstijd rond de zon (in gehele dagen nauwkeurig).
Venus	108	225
Mars	228	687
Jupiter	778	4329
Saturnus	1427	10753

Verwerk de gegevens over deze vijf planeten in een grafiek op dubbellogaritmisch papier. Zet horizontaal de afstand tot de zon en verticaal de omwentelingstijd uit.

Geef een formule die bij benadering het verband geeft tussen omwentelingstijd en afstand.

In plaats van ion miljoenen kilometers, wordt de afstand ook vaak uitgedrukt in Astronomisch Eenheden (A.E.). Deze A.E. is gelijk aan de afstand Aarde-Zon.

Bereken de afstanden tot de zon van de overige vier planeten in A.E..

Jarenlang is er gezocht, met name in de 18^e eeuw, naar een onderling verband tussen de diverse afstanden van de planeten tot de zon. Uiteindelijk vonden Titius en Bode de volgende formule:

R = 0,4 + 0,3 • 2ⁿ

waarbij R de afstand tot de zon is in A.E., n = 0, 1, 2, .....

Controleer voor de vijf planeten welke waarde van n bij welke planeet hoort.

De wet van Titius en Bode geldt voor n = 6 ook voor Uranus. Geef een schatting van de afstand van Uranus tot de zon in km aan de hand van de wet van Titius en Bode en van de omwentelingstijd aan de hand van de grafiek.

OPGAVE 3.

Een machine spoelt garen op een klosje. De lengte van de draad op een klosje is in praktijk normaal verdeeld met een gemiddelde van 100 m en een standaardafwijking van 47 cm. Aan het eind van de dag wordt een klosje aselect getrokken uit de geproduceerde hoeveelheid en de lengte van de draad op dat klosje wordt nauwkeurig gemeten. Bij een afwijking van meer dan 60 cm van de voorgeschreven 100m, wordt de machine opnieuw afgesteld.

	a.	Laat zien dat de kans dat de machine, ondanks een correcte instelling, toch opnieuw wordt afgesteld, bij benadering 20% is.

	b.	Neem aan dat de machine gedurende een periode van drie weken (15 werkdagen) steeds correct is ingesteld. Hoe groot is de kans dat in die periode desondanks meer dan drie keer opnieuw wordt afgesteld?

	c.	Er komt een nieuwe machine twee weken op proef, die volgens de leverancier aanmerkelijk nauwkeuriger werkt. Gedurende tien dagen wordt elke dag één klosje afkomstig van de oude machine en één klosje afkomstig van de nieuwe machine gecontroleerd. Hoe vaak moet de nieuwe machine een kleinere afwijking geven dan de oude, wil men met een significantieniveau van 2,5% concluderen dat de nieuwe machine inderdaad beter is?

	d.	De nieuwe machine wordt aangeschaft. Men handhaaft de oude procedure waarbij dagelijks de draad van een aselect gekozen klosje wordt nagemeten en een afwijking van meer dan 60 cm tot gevolg heeft dat de machine opnieuw wordt afgesteld. Neem aan dat de lengte van de draad op een klosje ook voor de nieuwe machine normaal verdeeld is. De kans dat die machine ten onrechte opnieuw wordt afgesteld is bij benadering 10%. Hoe groot is de standaardafwijking van de lengte van de draad op een klosje?

OPGAVE 4.



In deze figuur is de grafiek getekend van een prooi-roofdier cyclus met een periode van 10 jaar.

	a.	Hoe groot is de gemiddelde verandering van het aantal roofdieren per jaar in het tijdsinterval van t = 0 tot t = 2,5? Hoe groot is de gemiddelde verandering van het aantal prooidieren per jaar in het datzelfde tijdsinterval?

	b.	Geef ook de gemiddelde verandering per jaar van het aantal roofdieren en van het aantal prooidieren over het gehele tijdsinterval van t = 21 tot t = 25.

	c.	Teken de grafiek van het aantal prooidieren als functie van de tijd. Teken in een andere figuur de grafiek van het aantal roofdieren als functie van de tijd.

	d.	Door allerlei invloeden van buitenaf, bijvoorbeeld veranderingen in het milieu en jacht, wordt het patroon gewijzigd. De grafieken van het aantal roofdieren en van het aantal prooidieren als functie van de tijd zijn globaal weergegeven in de twee onderstaande figuren.



		De prooi-roofdiercyclus boven aan deze opgave verandert door bovengenoemde invloeden. Teken hoe deze grafiek er nu uit kom te zien in het tijdsinterval van t = 0 tot t = 10.

UITWERKING

1a.	1,5 → 1 → 0,5 → 0 → -0,5 → -1 → -1,5

1b.	H_max = 2, H_min = -2

1c

1d.	H_max = -²/₉√3

1e.

1f.	¹/_√2

2a.

2b.	T = 0,2 • d^1,5

2c.	0,72 - 1,52 - 5,19 - 9,51

2d.	n = 0 Venus n = 1 Aarde n = 2 Mars n = 4 Jupiter n = 5 Saturnus

2e.	31000 dagen

3a.	0,2006

3b.	0,3518

3c.	9 of 10

3d.	36 cm

4a.	60 en 400

4b.	20 en -162,5

4c.

4d.

4e.

VWO WA, 1984 - II