VWO WA, 1985 - II

 

OPGAVE 1.
       
Van een diersoort A is het aantal exemplaren in een zeker gebied op het tijdstip t gelijk aan at. Eén jaar na het tijdstip t is het aantal dieren at + 1 . 
       
  a. Er is gegeven:  at+1 = 1,1 • at .
Op 1 januari 1985 zijn er 1000 dieren van soort A.
Op 1 januari van welk jaar zijn er voor het eerst meer dan 2000 dieren van soort A?
       
In een ander gebied wordt het aantal dieren van soort A beïnvloed door de aanwezigheid van een tweede diersoort B. De wederzijdse beïnvloeding van beide soorten A en B wordt beschreven met het volgende model:
       

       
Hierbij zijn at en bt achtereenvolgens de aantallen dieren van de soorten A en B op het tijdstip t en at +1 en bt + 1 achtereenvolgens de aantallen dieren van de soorten A en B één jaar later.
Op het tijdstip t = 0 zijn er 1000 dieren van A en 3000 van B.
       
  b. Bereken het aantal dieren van soort A en het aantal dieren van soort B na 1 jaar en na 2 jaar.
       
Met behulp van de GR  zijn de aantallen dieren van A en B voor de 60 jaar volgende op t = 0 voorspeld. De resultaten zijn getekend in onderstaande grafiek.
       

       
  c.
       
  d.
   
       
  e. Teken in een grafiek het verband tussen de aantallen van beide diersoorten. Zet op de horizontale as het aantal A-dieren en op de verticale as het aantal B-dieren uit. Neem de meetpunten om de 10 jaar.
       
  f. Voor t ≥ 50 groeien de diersoorten A en B bij benadering exponentieel. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de groeifactor voor elk van beide diersoorten.
       
OPGAVE 2.
         
Een pensioenfonds gaat een bedrag ter waarde van 30 miljoen gulden beleggen in aandelen, obligaties en onroerend goed. De regels die in acht worden genomen zijn:
• er moet ten minste 3 miljoen gulden in elk van de drie bovengenoemde categorieën worden belegd.
• ten minste de helft van het totale bedrag moet worden geïnvesteerd in aandelen en obligaties.
• het bedrag dat voor aandelen wordt besteed mag niet het dubbele van het bedrag aan obligaties overschrijden.
De verwachte jaarlijkse opbrengst van aandelen is 8% van het hierin geïnvesteerde bedrag; voor obligaties en onroerend goed zijn deze percentages achtereenvolgens 7% en 9%.

Noem de bedragen in miljoenen guldens die worden belegd in aandelen en obligaties achtereenvolgens x en y.
         
  a. Druk de verwachte totale jaarlijkse opbrengst op aandelen, obligaties en onroerend goed uit in x en y
         
  b. Aan welke voorwaarden moeten x en y voldoen op grond van bovenstaande regels?
         
  c. Teken in een rechthoekig assenstelsel Oxy het gebied dat overeenkomt met de in b) gestelde voorwaarden.
         
  d. Bij welke verdeling van het bedrag van 30 miljoen over aandelen, obligaties en onroerend goed is de verwachte opbrengst van het fonds maximaal? Bereken de maximale opbrengst.
         
  e. Bij een verandering van de opbrengstpercentages kan een verdeling van het te beleggen bedrag optimaal zijn, dat wil zeggen een maximale opbrengst geven.
De jaarlijkse opbrengst van aandelen kan veranderen.
Stel dat de jaarlijkse opbrengst van aandelen p% is van het hierin geïnvesteerde bedrag. De jaarlijkse opbrengst van obligaties en onroerend goed blijft onveranderd.
Bereken p in het geval dat er meer dan één optimale verdeling van het te beleggen bedrag mogelijk is.
Bereken voor de gevonden waarde van p de maximale opbrengst.
         
OPGAVE 3.
         
Op 9 november 1965 viel de stroom uit in New York City, een storing die 24 uur duurde: 'the Great Black Out'. Negen maanden later schreven de kranten over een geboorte-explosie in New York.
Onderstaande tabel vermeldt het aantal geboorten per dag in New York gedurende de periode van 270 tot 290 dagen na 'the Great Black Out', in augustus 1966.
         
do
vr
za
zo
ma
di
wo
do
vr
za		 4
5
6
7
8
9
10
11
12
13		 448
466
377
344
448
438
455
468
462
405		                       zo
ma
di
wo
do
vr
za
zo
ma
di		 14
15
16
17
18
19
20
21
22
23		 377
451
497
458
429
434
410
351
467
508
         
Het gemiddelde aantal geboorten per dag dat over deze periode ongeveer 435 bedraagt, blijkt echter niet zoveel hoger te liggen dan het gemiddelde over het jaar 1966 dat 430 bedraagt.
         
  a. Neem aan dat het aantal geboorten per dag in New York over het gehele jaar 1966 redelijk constant is. Laat zien dat het aantal dagen in de periode van 4 tot en met 23 augustus 1966 waarop het aantal geboorten boven het jaargemiddelde van 430 ligt, niet significant hoog is. Neem een significantieniveau van 5%.
         
  b. In de 20 dagen voorafgaande aan 4 augustus 1966 bleek op zoveel dagen het aantal geboorten kleiner te zijn dan 430, dat men van een significante afwijking kan spreken bij een significantieniveau van 5%.
Op ten minste hoeveel dagen was er sprake van een aantal geboorten beneden het jaargemiddelde?
         
  c. Het aantal geboorten  per dag op de drie zondagen in de periode van 4-23 augustus 1966 is kleiner dan 379. Men wil onderzoeken of het aantal geboorten op zondag opvallend laag is. Neem aan dat het aantal geboorten per dag in New York normaal is verdeeld met een gemiddelde van 430 en een standaarddeviatie 40 in de 50 weken die volgen op de periode van 4-23 augustus 1966.
Toon aan dat in twee decimalen nauwkeurig de kans dat op een willekeurig gekozen dag het aantal geboorten kleiner dan 379 is,  gelijk is aan 0,10.
In de 50 weken die volgen  op de periode van 4-23 augustus  1966 blijken er 10 zondagen te zijn met een aantal geboorten kleiner dan 379.
Is het aantal zondagen met een aantal geboorten kleiner dan 379 significant hoog? Neem een significantieniveau van 3%.
         
  d. Neem aan dat het aantal geboorten per dag in New York in 1986 normaal verdeeld zal zijn met een gemiddelde van 480 en een standaarddeviatie van 40.
Bereken het verwachte aantal dagen in 1986 waarin het aantal geboorten tussen 450 en 490 zal liggen.
         
  e. Het aantal inwoners van New York bedroeg op 1 januari 1966 ongeveer 14,1 miljoen. Neem aan dat door migratie en sterfte het aantal inwoners jaarlijks met 0,5% afneemt. Neem verder aan dat elk jaar na 1966 het percentage geboorten, uitgedrukt in procenten van het aantal inwoners, constant is.
Schat het aantal inwoners van New York op 1 januari 2000.
         

 

 

UITWERKING
   
1a. 1 januari 1993
   
1b. na 1 jaar  950 en 2800
na 2 jaar  905  en  2615
   
1c. de verhouding is elke keer ongeveer 1,7
   
1d. a/b = 1 + 0,5√2
   
1e.  
   
1f. groeifactoren beiden ongeveer 1,07
   
2a. O = 2,7 - 0,01x - 0,02y
   
2b.  
   
2c.  
   
2d. Omax = 2,65 miljoen.
   
2e. p = 10
   
3a. 0,1316
   
3b. minstens 15 van de 20 dagen
   
3c. 0,0245 dus wel significant.
   
3d. ongeveer 133
   
3e. 17,28 miljoen