VWO WA, 1986 - I

 

OPGAVE 1.
       
Er zijn veel resultaten bekend van onderzoek naar het verband tussen de lichaamsoppervlakte O en het lichaamsgewicht M van diverse diersoorten.
Hiernaast zijn een aantal metingen verwerkt in een grafiek. De stippen stellen verschillende diersoorten voor. De rechte lijn geeft de richting van de stippenwolk aan.

     
  a. Voor een bepaalde diersoort is de bijbehorende stip in de grafiek rood omcirkeld. Geef van deze diersoort het lichaamsgewicht in grammen en de lichaamsoppervlakte in cm2
       
  b. Leid uit deze grafiek een formule af die O als functie van M aangeeft.
       
Zoogdieren hebben allemaal ongeveer dezelfde lichaamstemperatuur. De formule die het verband aangeeft tussen M en de energie P per minuut, die nodig is om de lichaamstemperatuur constant te houden, is:  P = 0,017 • M0,75 .
Er geldt: 1 liter zuurstof per minuut komt overeen met 350 energie-eenheden.
       
  c. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de zuurstofconsumptie in liters per minuut van een gorilla met een lichaamsgewicht van 70000 gram.
       
De opgenomen zuurstof wordt door het bloed verspreid.
De tijd waarin het bloed eenmaal wordt rondgepompt door het hart noemen we de circulatietijd T. Bij een gorilla van 70000 gram is de circulatietijd ongeveer 50 seconden. de gegevens van een aantal zoogdieren zijn in onderstaande tabel vermeld.
       
zoogdier M in grammen T in seconden
olifant
paard
gorilla
rat
muis		 4000000
700000
70000
200
30		 140
90
50
12
7
       
  d. Teken op dubbellogaritmisch papier de grafiek van T als functie van M.
       
OPGAVE 2.
         
Een groot warenhuis heeft vier filialen A, B, C en D in het land en beschikt over twee voorraadmagazijnen I en II. Een bodedienst verzorgt het vervoer tussen de magazijnen en de filialen. In de magazijnen I en II zijn achtereenvolgens 50 en 70 videorecorders voorradig.
De bedrijfsleiding besluit om naar elk van de filialen 30 videorecorders te zenden.
De vervoerskosten in guldens per videorecorder zijn af te lezen in onderstaande kostenmatrix.
         

         
De bedrijfsleiding wil meen zo goedkoop mogelijk vervoersschema.
In onderstaande vervoersmatrix stellen de letters x, y en z aantallen videorecorders voor. Op de plaats van de stippen komen uitdrukkingen in x, y en z.
         

         
  a. Stel de complete matrix in x, y en z op.
         
  b. Druk de totale vervoerskosten in x, y en z uit.
         

         
  c. Bereken met behulp van bovenstaande figuur de coördinaten van elk van de 12 hoekpunten van het toegestane gebied.
         
  d. Bereken de minimale totale vervoerskosten.
         
OPGAVE 3.
         
In een fabriek worden pakken met cakemeel gevuld. Op zo'n pak wordt vermeld:  "Inhoud 500 gram".
Veronderstel dat de inhoud per pak normaal verdeeld is met een gemiddelde van 500 gram en met een standaarddeviatie van 4 gram.
         
  a. Bereken in één decimaal nauwkeurig het percentage van de pakken die minder dan 495 gram cakemeel bevatten.
         
Volgens de fabrikant betekent de vermelding "Inhoud 500 gram" dat slechts 25% van de pakken minder dan 500 gram inhoud heeft. Als een pak een inhoud van minder dan 500 gram heeft, spreekt men van ondergewicht. Veronderstel bij de volgende drie vragen dat de fabrikant gelijk heeft en dat de standaarddeviatie van de normaal verdeelde inhoud 4 gram bedraagt.
         
  b. Bereken in één decimaal nauwkeurig de gemiddelde inhoud per pak.
         
  c. In een rek van een kruidenierswinkel staan 20 pakken cakemeel afkomstig van bovengenoemde fabriek. Daarvan hebben er 5 een ondergewicht.  Een klant neemt aselect 3 pakken uit het rek.
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat geen van deze 3 pakken een ondergewicht heeft.
         
  d. Een banketbakker koopt 16 pakken rechtstreeks van de fabriek.
Bereken in drie decimalen de kans dat hij minder dan 8000 gram cakemeel heeft gekocht.
         
OPGAVE 4.
         
Bij een onderzoek naar het verloop van epidemieën wordt vaak gebruik gemaakt van wiskundige modellen en computersimulaties.
In een bepaalde populatie is een besmettelijke ziekte uitgebroken. De populatie wordt in drie klassen verdeeld:
• de nog gezonde, maar wel voor de ziekte vatbare exemplaren V.
• de besmettelijk zieke exemplaren Z.
• de immune exemplaren I.
Over het verloop van deze epidemie is het volgende bekend:
• wekelijks steekt 20% van de zieken een vatbaar exemplaar aan, dat daardoor ook ziek wordt.
• van de zieken geneest wekelijks 30%, deze exemplaren worden immuun.
• immune exemplaren blijven immuun.
De totale omvang van de populatie bedraagt 10000 exemplaren. Gedurende het verloop van de epidemie verandert dat aantal niet. Op het tijdstip t = 0 (t in weken) zijn er 9500 vatbare, 500 zieke en 0 immune exemplaren.
Het verloop van de epidemie kan beschreven worden met de volgende matrix:
         

         
  a. Verklaar de betekenis van elk van de getallen in de tweede kolom van de matrix
         
  b. Stel een formule op voor het aantal zieken als functie van t.
Bereken t (t Î N) in het geval dat er voor het eerst minder dan 100 zieken zijn.
         
Tijdens het verloop van een epidemie kunnen in het algemeen twee fasen onderscheiden worden. Gedurende de eerste fase neemt het aantal zieke exemplaren toe, en gedurende de tweede fase neemt het aantal zieke exemplaren af.
Van het verloop van de genoemde epidemie wordt een ander model gemaakt, rekening houdend met deze twee fasen.
Met dit model wordt het verloop van deze epidemie op de computer gesimuleerd. Met behulp van de computer zijn de volgende grafieken van V en Z als functie van t getekend.
         

         
  c. Druk I uit in V en Z en teken, uitgaande van bovenstaande figuur, de grafiek van I als functie van t.
         
Het model dat gebruikt is bij deze computersimulatie is samengevat in het volgende structuurdiagram:
         

         
  d. Geef het percentage van de zieke exemplaren dat wekelijks volgens dit model geneest.
         
  e. Bereken met behulp van dit structuurdiagram de aantallen vatbare, zieke en immune exemplaren
voor t = 1 en t = 2.
         

 

 

UITWERKING
   
1a. 31,6 gram en 316,2 cm2
   
1b. O = 12,6 • M2/3
   
1c. 0,21
   
1d.  
   
2a.  
   
2b. K = -2x - y + 4z + 1570
   
2c.  
   
2d. 1480 gulden
   
3a. 10,6%
   
3b. 502,7
   
3c. 0,40
   
3d. 0,0035
   
4a.  
   
4b. t = 15,27
   
4c.  
   
4d. 15%
   
4e. 9310 - 615 - 75
9081 - 752 - 167