OPGAVE 1.
Op de zon komen plaatsen met een lagere temperatuur voor: de zogenaamde zonnevlekken. Het aantal zonnevlekken varieert met de tijd. Sinds ongeveer 1700 wordt het aantal zonnevlekken met grote regelmaat geteld. De globale grafiek van het aantal zonnevlekken sinds 1755 ziet er als volgt uit:
De geleerden zijn het erover eens dat in het voorkomen van zonnevlekken een periodiek verschijnsel is waar te nemen. De hier getekende grafiek vertoont 20 perioden.
	a.	Verklaar dat uit deze grafiek afgeleid kan worden dat de gemiddelde periode 11 jaar is.
Sommige onderzoekers wijzen ook op het feit dat de cycli 1, 2, 3 en 4 grote overeenkomst vertonen met 17, 18, 19, en 20. Men vindt hierin een aanwijzing voor een tweede periode.
	b.	Geef het aantal jaren van deze tweede periode aan.
	c.	Op grond van de twee perioden die bij het verschijnsel zonnevlekken zijn waar4genomen heeft men voorspellingen voor het aantal zonnevlekken in de rest van de eeuw gemaakt. In welk jaar zal voor het eerst na 1986 het aantal zonnevlekken een maximum bereiken? Hoe groot zal dat maximum ongeveer zijn?
Men vermoedt al jaren dat de zonnevlekken invloed hebben op het weer op aarde. De regenval in Fortaleza (Brazilië) laat zich beschrijven met het volgende wiskundige model:
waarbij R het aantal cm regen in een bepaald jaar en t de tijd in jaren is. Het tijdstip t = 0 valt samen met het jaar 1905.
	d.	Teken de grafiek van R als functie van t voor de jaren 1905 - 1930
	e.	Bereken in één decimaal nauwkeurig het aantal cm regen dat de bewoners van Fortaleza in 1986 volgens bovenstaand model kunnen verwachten.

OPGAVE 2.
Twee studenten, Annet en Wouter, hebben een kamer in het zelfde huis. Zij maken gebruik van een telefoon die voorzien is van een kostenteller. Ze noteren in een schrift het aantal tikken per gesprek dat door de teller wordt aangegeven. Elke tik kost 15 cent. Als Annet 20 gesprekken heeft gevoerd, maakt ze de balans op van het aantal tikken per gesprek. Hiernaast is een histogram van de frequentieverdeling van het aantal tikken per gesprek getekend.
	a.	Bereken in één decimaal nauwkeurig van deze 20 gesprekken het gemiddeld aantal tikken en de standaarddeviatie.
Uit een telling van een veel groter aantal uitgaande telefoongesprekken blijkt dat de aantallen gesprekken van Annet en Wouter zich verhouden als 2 : 3. De tijdstippen en de duur van de gesprekken van Annet en Wouter zijn onafhankelijk van elkaar.
	b.	Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat van de eerstvolgende 50 uitgaande gesprekken er meer door Annet dan door Wouter worden gevoerd.
Bovendien blijkt dat het aantal tikken per gesprek voor zowel Annet als Wouter normaal verdeeld zijn. Het gemiddelde aantal tikken per gesprek is voor Annet 8,0 en voor Wouter 4,0. De standaarddeviatie van het aantal tikken is voor Annet 2,0 en voor Wouter 1,0.
	c.	Het abonnement voor telefoon en randapparatuur is f 56, - per twee maanden. Annet en Wouter besluiten dat hun aandeel in het abonnement evenredig moet zijn met de verwachte gesprekskosten die zij elk maken. Hoeveel moet elk aan abonnementsgeld betalen?
	d.	Hoeveel procent van het totaal aantal uitgaande gesprekken kost naar verwachting ten hoogste 60 cent?

OPGAVE 3.
De maximale leeftijd van een zekere diersoort is 12 jaar. Nevenstaand schema illustreert het verloop van de populatie gedurende een driejarige periode. Hieruit valt bijvoorbeeld af te leiden dat 80% van de 0-3 jarigen in de leeftijdsklasse van 3-6 jaar komt, en dat de 3-6 jarigen 100% nakomelingen hebben.
	a.	Op zeker moment zijn er 10000 pasgeboren dieren. Hoeveel jongen brengen die 10000 dieren naar verwachting voort gedurende hun verdere leven? (nakomelingen van deze nakomelingen worden buiten beschouwing gelaten)
	b.	Beschrijf het verloop van de populatie met behulp van een matrix.
De hieronder getekende bevolkingspiramide geeft de relatieve verdeling van de dierpopulatie op 1 januari 1986 aan:
	c.	Bereken in één decimaal nauwkeurig de percentages behorend bij de vier leeftijdsklassen op 1 januari 1989. Teken de bijbehorende bevolkingspiramide.
	d.	Bereken in één decimaal nauwkeurig de percentages behorend bij de vier leeftijdsklassen op 1 januari 1983.

OPGAVE 4.
Een winkelier handelt in blikken verf, die ingekocht worden voor f 4,- per blik. Per week wordt een bepaald aantal blikken verkocht. Het totale verkoopbedrag van die blikken, verminder met het totale inkoopbedrag ervan, noemt men de brutowinst van die week. Bij een verkoopprijs van f 10,- per blik worden wekelijks 50 blikken verf verkocht. De winkelier neemt aan dat een grotere brutowinst per week te behalen is door de verkoopprijs te veranderen. Het blijkt dat bij elke 10 cent prijsverlaging het aantal wekelijks verkochte blikken met één toeneemt.
	a.	Bereken de verkoopprijs in het geval dat de brutowinst per week maximaal is.
Behalve door prijsverlaging kan de omzet ook vergroot worden door het maken van reclame. De winkelier wil niet meer dan f 100,- per week aan reclame uitgeven. Het aantal per week verkochte blikken wordt met Q aangeduid. Q is nu een functie van de verkoopprijs P,per blik en de wekelijkse reclamekosten A. In onderstaande figuur zijn de niveaulijnen voor Q = 40, Q = 50, ..., Q = 100 getekend voor  8 ≤ P ≤ 12  en  0 ≤ A ≤ 100.
	b.	De winkelier besluit f 50,- per week aan reclame uit te geven. Hoe moet hij de verkoopprijs kiezen om 60 blikken verf te kunnen verkopen? Bereken in dat geval de brutowinst per week verminderd met de wekelijkse reclamekosten.
	c.	Bij een verkoopprijs van f 10,- per blik en een geschikte keuze van het reclamebedrag kunnen 70 blikken verkocht worden. De winkelier overweegt de verkoopprijs met f 1,- te verhogen. Bereken het bedrag dat hij extra aan reclame moet uitgeven om hetzelfde aantal van 70 blikken te kunnen verkopen. Bereken het bedrag waarmee de brutowinst, verminderd met de reclamekosten, in dat geval verandert.
	d.	Bij een vaste verkoopprijs van f 10,- is Q een functie van A. Druk Q uit in A.

UITWERKING
1a.	20 perioden in 220 jaar.
1b.	176 jaar
1c.	ongeveer 75
1d.
1e.	ongeveer 108,2
2a.	gemiddelde 8,0,  standaarddeviatie 1,7
2b.	0,0573
2c.	f 32,- Annet  en  f 24,- Wouter.
2d.	43%
3a.	13120
3b.
3c.	36,3% - 54,2% - 7,2% - 2,2%
3d.	22,5% - 28,0% - 15,0% - 34,6%
4a.	9,5 gulden
4b.	f 352,-
4c.	f 40,-  (f 360,-  en  f 400,-)
4d.	Q = 1/3A + 50