VWO WA, 1987 - I

 

OPGAVE 1.
       
Een boer heeft 22 ha bouwland. Het komend jaar zullen hierop aardappelen, erwten en graan geteeld worden. De te verwachten opbrengst is 60 ton aardappelen per ha, 40 ton erwten per ha en 50 ton graan per ha.
De te verwachten winst per ton is voor aardappelen f 70,- , voor erwten f 75,-  en voor graan  f 90,-.
       
  a. De boer wil 6,5 ha voor aardappelteelt bestemmen, 7,1 ha voor erwtenteelt en 8,4 ha voor graanbouw. Bereken de winst die in totaal te verwachten is.
       
De oogsttijden voor de diverse gewassen vallen na elkaar. Elk gewas moet in een periode van 5 dagen geoogst worden, waarbij 8 uren per dag wordt gewerkt. Hierbij gelden de volgende voorwaarden:
       
gewas oogst-
periode		 benodigd aantal
arbeidsuren per ha		 beschikbaar aantal
oogsters
graan
erwten
aardappelen		 I
II
III		 10
15
12		 3
2
2
       
  b. Is de keuze die de boer in opgave a) gedaan heeft onder deze voorwaarden uitvoerbaar? Licht het antwoord toe.
       
Stel dat x ha voor aardappelteelt bestemd wordt, en y ha voor erwtenteelt, terwijl de rest van het land wordt gebruikt voor graanbouw.
       
  c. Geef de beperkende voorwaarden voor x en y. Teken in een rechthoekig assenstelsel Oxy het gebied waarin aan de gestelde voorwaarden wordt voldaan.
       
  d. Bij welke waarden van x en y is de te verwachten winst maximaal? Bereken deze te verwachten winst.
       
  e. In welke periode hebben de oogsters in de situatie van onderdeel d) nog arbeidsuren over voor andere activiteiten? Bereken dit aantal arbeidsuren.
       
OPGAVE 2.
         
In een laboratorium onderzoekt men een aantal exemplaren van een levend organisme. Elk exemplaar daarvan bevindt zich in toestand A of in toestand B en elk van deze toestanden duurt ongeveer vier uren, tenzij het exemplaar voortijdig dood gaat.
Bij een onderzoek van 175 exemplaren kwam men tot het volgende resultaat:
Van de 99 exemplaren in toestand A waren er na vier uren 20 doodgegaan: de andere 79 waren overgegaan naar toestand B.
Van de 76 exemplaren in toestand B waren er na vier uren geen meer over: ze hadden wel 118 nakomelingen in toestand A voortgebracht.
         
  a. Geef dit resultaat weer in een graaf en stel een twee bij twee matrix M op voor een tijdseenheid van vier uren:  geef hierbij de elementen van M in twee decimalen nauwkeurig.
         
  b. Toon aan dat per acht uren de groeifactor in twee decimalen nauwkeurig 1,24 is.
         
Neem in het volgende aan dat per acht uren de groeifactor precies 1,24 is.
Per acht uren is de verhouding tussen het aantal exemplaren in toestand A en het aantal exemplaren in toestand B constant. Indien deze verhouding ook per vier uren nagenoeg constant is spreekt men van een stabiele samenstelling.
         
  c. Men weet dat er sprake is van een stabiele samenstelling als men uitgaat van een beginstadium met 84 exemplaren in de ene toestand en 116 exemplaren in de andere toestand.
Welk aantal exemplaren bevindt zich dan in toestand A?
         
Om experimenten met deze soort organismen te doen, wordt een populatie aangehouden die bestaat uit 100 exemplaren in een stabiele samenstelling. Elk etmaal stuurt men zoveel exemplaren voor experimenten naar het laboratorium dat men er weer 100 over houdt voor verdere kweek.
         
  d. Bereken het aantal exemplaren dat dan per etmaal voor onderzoek beschikbaar komt.
         
Een onderzoeker beschikt over een stabiele populatie van 60 exemplaren, maar hij heeft er 200 nodig. Omdat er niet meer exemplaren beschikbaar zijn, besluit hij met zijn experiment te wachten tot zijn populatie is uitgegroeid tot 200 exemplaren.
         
  e. Bereken het aantal uren dat hij hierop wachten moet (in gehele uren nauwkeurig).
         

 

OPGAVE 3.
         
In 1787 en 1788 schreven Alexander Hamilton en James Madison de zogenaamde The Federalist Papers, om de inwoners van New York te overreden de Constitutie te ratificeren. Beide schrijvers ondertekenden met "Publius".
Van 48 van deze teksten is bekend dat zij van Hamilton zijn en van 50 dat zijn van Madison zijn. Om ook van de overige teksten de auteur te achterhalen, heeft men van diverse woorden geteld hoe vaak ze in een tekst van Hamilton voorkomen en hoe vaak in een tekst van Madison. Voor elk van die teksten heeft men daarna de frequentie per 1000 woorden berekend.
Dit heeft men onder andere gedaan voor het woordje "by".
Het resultaat is weergegeven in onderstaande histogrammen.
         

         
  a. Verwerk deze gegevens, zowel voor Hamilton als voor Madison, op normaal-waarschijnlijkheidspapier. Neem aan dat men mag concluderen dat de frequenties normaal verdeeld zijn. Geef dan in beide gevallen het gemiddelde en de standaarddeviatie.
         
Van een ander woord weet men dat dit bij Hamilton per 1000 woorden voorkomt met een gemiddelde van 17,2 en een standaarddeviatie van 4,1. Men mag weer aannemen dat de frequenties normaal verdeeld zijn.
Voor Madison zijn deze gegevens niet bekend.
Bij een gegeven tekst vindt men onder de eerste 1000 woorden dit woord 24 maal.
         
  b. Onderzoek of men bij een significantieniveau van 5% voldoende reden heeft te twijfelen aan het auteurschap van Hamilton
         
Om een grotere nauwkeurigheid te bereiken, kijkt men nu naar de eerste 4000 woorden van die tekst. Het gezochte woord blijkt hierbij 86 maal voor te komen.
         
  c. Onderzoek of men nu bij een significantieniveau van 5% voldoende reden heeft te twijfelen aan het auteurschap van Hamilton.
         
Een andere tekst heeft men op 20 woorden onderzocht. Op grond daarvan heeft men 15 maal gekozen voor Hamilton als auteur en 5 maal voor Madison als auteur.
         
  d. Onderzoek of men hieruit met een significantieniveau van 2,5% mag besluiten dat Hamilton de schrijver was.
         
OPGAVE 4.
         

         
In een bedrijf worden kurkentrekkers gefabriceerd.
De totale kosten bij de productie kan men aflezen in bovenstaande grafiek.
Een wiskundige van het bedrijf heeft hierbij de volgende formules bedacht:
  K = -0,1q2 + 1,2q            als  0 ≤ q < 5
K = 0,1q3 - 1,1q2 + 3,7q  als  q ≥ 5
Hierbij is q de productie (in duizendtallen) en K de totale kosten (in duizenden guldens).
         
  a. Toon aan dat volgens deze formules er bij q = 5 geen "sprong" en geen "knik" in de grafiek zit.
         
De toename van de totale kosten bij een toename van de productie met één kurkentrekker noemt men de marginale kosten. De marginale kosten mogen benaderd worden door  dK/dq.
         
  b. Toon door berekening aan dat de marginale kosten bij elke productie positief zijn. Hoe is dit ook uit de grafiek af te leiden?
         
  c. Toon door berekening aan dat de marginale kosten het kleinst zijn voor q = 5. Hoe is dit ook uit de grafiek af te leiden?
         
  d. Bereken de gemiddelde totale kosten per kurkentrekker bij een productie van 7000 stuks.
Hoe kan men uit de grafiek afleiden bij welke andere productie de gemiddelde totale kosten per kurkentrekker even groot zijn als bij een productie van 7000 stuks?
Leid deze andere productie uit de grafiek af en controleer het antwoord met de formules.
         

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.