VWO WA, 1988 - I

 

OPGAVE 1.
       
Toen in de 21e eeuw de ruimtevaart enorm was toegenomen, bleek dat een nieuwe ziekte vanuit de ruimte op aarde haar intrede had gedaan. De grafiek linksonder geeft het aantal lijders aan deze ziekte over de gehele aarde voor de jaren 2079 t/m 2086.
       

       
  1. Teken op logaritmisch papier een nieuwe grafiek van het aantal lijders aan deze ziekte.
       
  2. In welke meerjarige periode nam het aantal lijders aan deze ziekte vrijwel exponentieel toe?
       
  3. Bereken in één decimaal nauwkeurig de groeifactor per jaar in deze periode.
       
De ziekte heerste vooral onder ruimtevaarders en personeel van ruimtecentra. Het cirkeldiagram hierboven geeft de verdeling van de lijders in 2086 over verschillende risicogroepen voor de hele aarde.
Het aantal lijders aan de ruimteziekte in Nederland was in het jaar 2086:
  ruimtevaarders:  60
personeel ruimtevaartcentra:  5
familieleden van ruimtevaarders:  3
overigen:  2
       
  4. Verwerk de gegevens voor Nederland in een cirkeldiagram; gebruik hiervoor een cirkel met een straal van ten minste 4 cm.
       
  5. Onderzoek of in 2086 onder de lijders aan deze ruimteziekte in Nederland zich significant meer ruimtevaarders bevonden dan de 72% die voor de hele aarde gold; neem een significantieniveau van 1%.
       
In een ziekenhuis wordt de ziekte bestreden met een kuur.
Hiertoe ontwikkelde dit ziekenhuis de geneesmiddelen R1 en R2. Aan elke patiënt wordt 600 milligram R1 en 190 milligram R2 toegediend. Deze geneesmiddelen kunnen zowel uit grondstof A als uit grondstof B worden gefabriceerd. Elke kilogram A levert 60 milligram R1 en 10 milligram R2 op; elke kilogram B levert 30 milligram R1 en 15 milligram R2 op.
       
  6. Bereken hoeveel kilogram grondstoffen (A en B samen) per patiënt minimaal nodig is.
       
De prijs van A is f 15,- per kilogram, de prijs van B is aan schommelingen onderhevig. Men streeft naar minimale inkoopkosten per patiënt.
       
  7. Bereken bij welke prijzen van B men de geneesmiddelen R1 en R2 uitsluitend uit grondstof A zal fabriceren.
       
OPGAVE 2.
         
Een jeugdvereniging krijgt jaarlijks een gemeentesubsidie. Deze subsidie bestaat uit een bedrag per lid en een basisbedrag. Hierbij gebruikt men de formule S = 8x + 5. Hierbij geldt:
         
  8. Bereken het aantal leden waarbij de subsidie f  41800,- bedraagt.
         
  9. Hoe groot is het basisbedrag en hoe groot is het bedrag per lid in guldens?
         
Het bestuur van de vereniging heeft geconstateerd dat de jaarlijkse exploitatiekosten niet lineair met het aantal leden toenemen, maar voldoen aan de formule  E = x2 + 5x + 4
         
  10. Teken op millimeterpapier in één figuur de grafieken van S en E als functie van x.
         
  11. Lees uit de figuur af vanaf welk aantal leden de exploitatiekosten de subsidie overtreffen. Controleer het antwoord met een berekening.
         
Het verschil van de subsidie en de exploitatiekosten noemt men het besteedbaar bedrag. 
         
  12. Bereken bij welk aantal leden het besteedbaar bedrag zo groot mogelijk is en bereken dit maximale bedrag.
         
  13. Onderzoek of het besteedbaar bedrag per lid steeds afneemt bij toename van het aantal leden.
         
Het bestuur voert een rendementsfunctie R in met  R = B/S.
         
  14. Bereken bij welk aantal leden R maximaal is.
         
OPGAVE 3.
         
Van een populatie is het volgende bekend:
         
leeftijd
(maanden)		 aantal exemplaren
per 1-1-'87		 aantal exemplaren
per 1-2-'87		 aantal nakomelingen
per honderd exemplaren
tussen 1-1-'87 en 1-2-'87.
0-1
1-2
2-3
3-4
4-5		 920
1210
1040
740
60		 1300
870
1030
780
75		 0
38
46
48
16
         
Neem aan dat voor elke leeftijdsklasse het geboorte- en het sterftepercentage in de loop van de tijd niet veranderen.
         
  15. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat een aselect gekozen exemplaar met een leeftijd van 1-2 maanden over één maand nog leeft.
         
  16. Stel een populatievoorspellingsmatrix op; bereken de getallen die ongelijk aan nul zijn in twee decimalen nauwkeurig.
         
  17. Bereken met deze matrix de verwachte populatie per 1-3-'87.
         
L is het aantal gehele maanden dat een exemplaar met een leeftijd van 1-2 maanden nog te leven heeft.
         
  18. Toon aan dat  P(L = 1) ≈ 0,21
         
  19. Bereken de kansverdeling van L; geef de antwoorden in twee decimalen nauwkeurig.
         
  20. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de verwachtingswaarde van L.
         
Door het gebruik van een bestrijdingsmiddel zal naar verwachting de vruchtbaarheid verminderen. Met een computer worden enige maanden doorgerekend. Hieronder staat het structuurschema:
         

         
  21. Welke populatievoorspellingsmatrix hoort hierbij?
         
De populatie op 1-1-'88 is weer te geven met de vector  (1340   1260   1060   785   80).
Bij invoer van deze getallen is de uitvoer:
         
maand x0 x1 x2 x3 x4 totaal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13		 678
685
570
451
335
290
230
183
146
120
95
76
62		 1273
644
651
542
428
319
276
219
174
139
114
91
73		 1071
1082
547
553
461
364
271
234
186
148
118
97
77		 795
803
812
411
415
345
273
203
176
140
111
89
72		 79
80
80
81
41
42
35
27
20
18
14
11
9		 3896
3294
2661
2038
1680
1360
1084
867
702
564
452
363
293
         
  22. Toon aan dat volgens bovenstaande computerberekeningen de procentuele verdeling van de totale populatie over de leeftijdsklassen vanaf 1-1-´89 vrijwel gelijk blijft.
         
  23. Bereken in welke maand, uitgaande van de computerberekeningen, de totale populatie voor het eerst minder dan 100 exemplaren zal tellen.
         

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.