VWO WA, 1994 - I

 

OPGAVE 1.  Winter.
       
Om te zien of een winter 'kouder' is geweest dan een andere wordt gelet op de waargenomen temperaturen in de periode van 1 november tot en met 31 maart. Voor het berekenen van het zogenaamde Hellmann-getal van een winter let men op de gemiddelde dagtemperatuur. Dagen waarvoor dit gemiddelde 0ºC of hoger is, leveren geen bijdrage. Alleen dagen met een gemiddelde onder nul tellen mee.
Is het gemiddelde bijvoorbeeld -3,8ºC dan levert die dag een bijdrage van 3,8 aan het Hellmann-getal. Van zo'n gemiddelde dagtemperatuur wordt dus het minteken weggelaten. De zo verkregen positieve bijdragen worden bij elkaar opgeteld. Het eindresultaat is het Hellmann-getal.

In de volgende figuur is voor de acht koudste winters uit de periode 1890-1984 in beeld gebracht hoe het Hellmann-getal tot stand is gekomen.
       

       
Tot deze acht koudste winters behoren de winters 1890-1891, 1941-1942  en  1955-1956
       
3p. 1. Noem de Hellmann-getallen van deze drie winters. Gebruik daarvoor de figuur hierboven en de volgende teksten:
  • Een heel bijzondere winter was die van 1890-1891. De strenge kou viel toen vooral in de decembermaand.
  • Opvallend laat beginnend en toch één van de drie koudste winters is die van 1941-1942, de barre oorlogswinter.
 

•

 Verscheidene winters barsten pas in februari goed los. Een voorbeeld daarvan is de winter van 1928-1929 en in nog extremere mate die van 1955-1956. In die laatste winter was er buiten de februarimaand van vorst nauwelijks sprake.
       
Voor het onderling vergelijken van winters gebruiken weerkundigen ook het zogenaamde vorstgetal van een winter. Bij de berekening van dit vorstgetal let men echter niet op de gemiddelde dagtemperatuur. In plaats daarvan gaat men voor elke dag in de periode van 1 november tot en met 31 maart het volgende na:
• was de minimumtemperatuur lager dan 0ºC? Zo ja, dan wordt deze dag als vorstdag geteld.
• was de temperatuur de gehele dag lager dan 0ºC? Zo ja, dan wordt deze dag als ijsdag geteld.
• was de minimumtemperatuur -10ºC os lager? Zo ja, dan wordt deze dag als zeer koude dag geteld.
       
Een vorstdag kan dus ook nog geteld worden als een ijsdag en/of als een zeer koude dag. Wat dit betreft zijn er vier mogelijkheden. De figuur hiernaast geeft het temperatuurverloop bij een van deze mogelijkheden, een vorstdag die ook geteld wordt als een zeer koude dag, maar niet als een ijsdag.

       
6p. 2. Noem de drie andere mogelijkheden, en geef in figuren weer hoe het temperatuurverloop bij elk van deze mogelijkheden zou kunnen zijn.
       
Na afloop van een winter is het aantal vorstdagen (v), het aantal ijdagen (y) en het aantal zeer koude dagen (z) bekend. Het vorstgetal F wordt dan berekend met de formule:  F = 0,00275v2 + 0,667y + 1,111z

Het is mogelijk dat een dag een bijdrage van meer dan 1 levert bij de berekening van F,  terwijl die dag geen bijdrage levert aan het Hellmann-getal.
       
3p. 3. Wat is er met zo'n dag aan de hand? Licht het antwoord toe.
       
De figuur hieronder laat zien welke waarden men voor het vorstgetal heeft gevonden voor winters in de periode van 1850 tot en met 1988. Met de winter van 1850 bedoelt men de winter van 1849-1850, enzovoort.
       

       
3p. 4. Bereken met behulp van deze figuur de relatieve frequentie van de winters in de periode van 1850 tot en met 1988 waarvoor geldt  F > 44
       
Aan de hand van het vorstgetal deelt men de winters in 9 klassen in, van 'extreem zacht' tot ''extreem streng'. Zo geldt bijvoorbeeld dat een winter in de klasse 'streng' wordt ingedeeld als 44 < F ≤ 68.
Bij een zekere winter in de klasse 'streng' telde men 70 vorstdagen en 37 ijsdagen. 
       
4p. 5. Bereken het kleinste en het grootste aantal zeer koude dagen dat deze winter gehad kan hebben.
       
Een zekere winter valt in de klasse 'streng'.
       
4p. 6. Bereken hoeveel vorstdagen deze winter minimaal gehad moet hebben.
       
OPGAVE 2.  Batterijen.
         
De researchafdeling van een fabriek heeft een nieuw typ batterij ontwikkeld, dat bijzonder geschikt is voor het aandrijven van speelgoedmotortjes. In de fabriek wordt de eerste dagen de productie nauwgezet gecontroleerd. Daarbij let men vooral op de levensduur van de batterijen bij aanhoudende belasting. Uit de totale productie van de eerste dag heeft men aselect 250 batterijen genomen en aan een duurproef onderworpen. Het aantal 'lege' batterijen is geregistreerd na perioden van steeds 30 minuten. De ervaring leert dat de levensduur van de batterijen uit een dagproductie vrijwel normaal verdeeld is. Daarom zijn de resultaten van de duurproef op het normaal-waarschijnlijkheidspapier hieronder weergegeven.
         

         
4p. 7. Geef met behulp van deze figuur een schatting van het percentage batterijen van de gehele dagproductie waarvoor de levensduur tussen 8,75 en 11 uur lag. Licht het antwoord toe.
         
Neem aan dat voor elke productiedag geldt: de levensduur van die dag geproduceerde batterijen is normaal verdeeld met een standaarddeviatie van 50 minuten. Het gemiddelde (m) in minuten is afhankelijk van een aantal factoren in het fabricatieproces.

Omdat de fabrikant in reclameboodschappen beweert dat zijn batterijen erg lang meegaan, wil hij ervoor zorgen dat hoogstens 7% van de batterijen uit de dagproductie een levensduur heeft van minder dan 8,5 uur.
         
4p. 8. Bereken in minuten nauwkeurig de kleinste waarde van m waarvoor dit nog het geval is.
         
Om de levensduur van de batterijen te controleren wordt elke dag een aselecte steekproef van 40 stuks uit de dagproductie genomen. Een controleur onderwerpt deze 40 exemplaren aan een duurproef. Hij laat het fabricageproces aan het begin van de volgende dag al bijstellen als de gemiddelde levensduur van deze batterijen minder is dan 592 minuten.

Stel dat de levensduur van de op een bepaalde dag geproduceerde batterijen normaal verdeeld is met een gemiddelde van slechts 582 minuten en een standaarddeviatie van 50 minuten.
         
7p. 9. Bereken in gehele procenten nauwkeurig de kans dat de controleur het fabricageproces aan het begin van de volgende dag toch niet bij laat stellen.
         
De controleur merkt dat bij het wisselen van een serie batterijen per ongeluk twee nieuwe batterijen bij een groepje van tien lege terecht zijn gekomen. Omdat aan de buitenkant niet zichtbaar is welke de nieuwe zijn, zit er niets anders op dan de batterijen één voor één door te meten totdat de twee nieuwe zijn teruggevonden.
         
6p. 10. Bereken de kans dat hij in totaal vier van de twaalf batterijen moet doormeten.
         

 

OPGAVE 3.  Chaparral-vegetatie.
         
In de overgangszone tussen het woestijnklimaat en het gematigde klimaat aan de westkust van Noord-Amerika treft men over een oppervlakte van ongeveer 2000 km2 een vegetatie aan van groenblijvende struiken. Men spreekt daar over de Chaparral. De brandbaarheid van de planten is sterk afhankelijk van de leeftijd. Vanwege het vele dorre materiaal zijn vooral de oudere planten zeer brandbaar. Brand heeft naast het gevaar voor mens en dier ook een belangrijke nuttige functie: op de plaats van de verbrande struiken komen vrijwel direct jonge en levenskrachtige planten uit de grond. Spontane branden worden daarom niet altijd geblust. De verjonging zorgt er immers voor dat er geen grote, uitgestrekte gebieden ontstaan van dor materiaal die bij brand tot catastrofes zouden kunnen leiden. 

Van deze situatie wordt een model gemaakt, waarbij men de volgende uitgangspunten hanteert.
• De vegetatie wordt op grond van de leeftijd onderverdeeld in vier klassen:
klasse 1:     0 tot 10 jaar.
klasse 2:    10 tot 20 jaar.
klasse 3:    20 tot 30 jaar.
klasse 4:    30 jaar en ouder.
• Als maat voor de omvang van een klasse neemt men niet het aantal planten maar de oppervlakte van het door die klasse bedekte gebied.
• Per klasse blijft het percentage, dat elke 10 jaar verbrandt, constant.
• De totale oppervlakte van het gebied blijft 2000 km2 .
Bij dit model kan de volgende graaf getekend worden:
         

         
met bi = het gedeelte van klasse i dat verbrandt ( bi < 1)  en
met gi = het gedeelte van klasse i dat niet verbrandt (gi < 1).
Bij deze graaf kan een overgangsmatrix M worden opgesteld waarin bi en gi voorkomen.
         
6p. 11.
         
In de volgende tabel staat vermeld hoe groot de oppervlakte is die elke klasse bedekt op het tijdstip t = 0, en op het tijdstip t = 1 (10 jaar later)
         
oppervlakten in km2
klasse op t = 0 op t = 1
1
2
3
4		 302
284
314
1100		 462
300
278
960
         
6p. 12. Bereken g1, g2, b1 en b2 in drie decimalen nauwkeurig.
         
Van de matrix M zijn met de computer de machten M2, M3, M4, ... uitgerekend. Men constateerde dat de matrices Mn vanaf een zekere waarde van n nauwelijks meer verschillen. Zo zijn, na afronding op twee decimalen, de matrices Mn voor n > 20 allemaal gelijk aan de volgende overgangsmatrix:
         

         
Het blijkt dat op elke rij de getallen gelijk zijn.
         
3p. 13. Welke conclusies kan men uit dit alles trekken voor de samenstelling van de Chaparral-vegetatie?
         
In de praktijk passen de beheerders van de Chaparral ook nog gecontroleerde bewuste afbranding van gedeeltes van de vegetatie ouder dan 10 jaar toe.
In ons model nemen we ter vereenvoudiging aan dat dit direct na elke periode van 10 jaar in één moment plaats vindt.
Neem aan dat men steeds:
2,5% van klasse 2,
1,3% van klasse 3, en
7,2% van klasse 4 verbrandt.
Dit proces van bewuste afbranding kan weergegeven worden door een vier-bij-vier matrix B, waarin de hierboven genoemde percentages zijn verwerkt.
Met behulp van het matrixproduct  B · M  kan dan het gezamenlijke proces over 10 jaar van de spontane afbranding, gevolgd door de gecontroleerde, bewuste afbranding, beschreven worden.
         
6p. 14. Stel matrix B op.
         

 

 

OPGAVE 4.  Colibacteriën
         
Bij het verteren van voedsel spelen colibacteriën een belangrijke rol. Zij komen voor in de darmen. In laboratoria wordt veel onderzoek gedaan naar de groei van populaties van colibacteriën. Daarbij gebruikt men een kweekvloeistof waarbij men de omstandigheden zoals die in de darmen voorkomen, zoveel mogelijk nabootst.
Bij constante temperatuur blijken deze populaties exponentieel te groeien.  Men meet de verdubbelingstijd (V), dat is de tijd in uren die het experiment moet duren om twee keer zoveel bacteriën te krijgen. Uit waarnemingen blijkt dat V afhangt van de gemiddelde temperatuur (T) in graden Celsius. Zie onderstaande figuur.
         

         
3p. 15. Is de groei van de populatie bij 42ºC sterker dan de groei bij 40ºC? Licht het antwoord toe met behulp van bovenstaande figuur.
         
Binnen het temperatuurgebied waarin de waarnemingen zijn gedaan, blijkt men het verband tussen T en V redelijk te kunnen benaderen met de formule:

 
         
5p. 16. Bereken bij welke temperatuur de groei volgens de formule het sterkst is.
         
Bij een experiment voegde men aan de kweekvloeistof een chemisch middel toe om na te gaan of de groei daardoor sterk zou afnemen.
Men begon met 242 bacteriën. De temperatuur was constant 35ºC. Na een uur telde men 1547 bacteriën.
         
7p. 17. Onderzoek of dit aantal meer dan 10% afwijkt van het aantal dat zonder gebruik van een chemisch middel volgens de formule verwacht had mogen worden.
         
Soms raakt drinkwater door menselijke of dierlijke afvalstoffen besmet met colibacteriën. Omdat het drinken van zulk besmet water uiterst gevaarlijk is, zal een drinkwaterbedrijf in zo'n geval het water extra gaan zuiveren.
In het geval er bij het begin van de extra zuivering per liter water 1800 colibacteriën zijn, geldt de formule:
N(t) = 1800 • e-0,15t
Hierbij is N(t) het aantal colibacteriën per liter water na t uren.
         
5p. 18. Bereken de groeisnelheid N' (t) op het moment dat t = 2.
         
Zodra het aantal colibacteriën met 99% is afgenomen stopt men de extra zuivering.
         
5p. 19. Bereken in uren nauwkeurig hoe lang de extra zuivering zal duren.
         

 

UITWERKING
   
1. 1890-1891: 273,
1940-1941: 332,
1955-1956: 211
   
2.  
   
3.  
   
4. 16/139
   
5. minimum 6, maximum 26
   
6. F>44 als v = 24,  F<44 als v = 23
   
7. 83,5%
   
8. 584
   
9. 10%
   
10. 1/22
   
11.  
   
12. g1 = 0,993,  g2 = 0,979,  b1 = 0,007,  b2 = 0,021
   
13.  
   
14.  
   
15. bij 40ºC sterker
   
16. 37,5ºC
   
17. 1547;  meer dan 10%
   
18. 30,70