VWO WA, 2021 - I

 

Linkshandigen en ronde getallen.
       
Onderzoek uit 2013 heeft uitgewezen dat linkshandigen eerder geneigd zijn ronde getallen te kiezen dan rechtshandigen. Deelnemers aan het onderzoek kregen elk 60 vragen voorgelegd, waarop het antwoord een geheel getal is. De vragen waren bijvoorbeeld:
-  Hoeveel knopen heb je in je klerenkast?
-  Hoeveel diersoorten kun je noemen?
-  Hoeveel eieren heb je vorig jaar gegeten?

Bij het onderzoek werd alleen gekeken naar de vragen waarop een antwoord werd gegeven vanaf 20 tot en met 1000. Linkshandigen bleken vaker een rond getal als antwoord te geven dan rechtshandigen.

Wat is eigenlijk een rond getal? Een rond getal is een getal dat eindigt op één of meer nullen, dus bijvoorbeeld 20 of 300. Maar is 100 een ronder getal dan bijvoorbeeld 1000? En hoe zit het dan met getallen die niet op een nul eindigen, maar wel ‘mooi’ zijn, zoals bijvoorbeeld 25?

Om de rondheid van getallen te bepalen, gebruikten de onderzoekers de definitie van Sigurd. Deze definitie zegt dat de rondheid van een getal ervan afhangt of het getal een veelvoud is van machten van 10, of van helften of kwarten van machten van 10. De rondheid R wordt voor de getallen (n) vanaf 20 tot en met 1000 dan als volgt berekend:

       

       
Elke term  .../n telt alleen mee als n een veelvoud van de teller is.
We spreken af dat getallen n ronder zijn, naarmate R (n)  hoger is.

Zo geldt bijvoorbeeld voor het getal 600:
       
4p. 1. Onderzoek met behulp van de formule welke van de twee getallen 750 en 600 het rondst is.
     

 
De rondheid van 1000 is groter dan die van 500. Het is echter niet zo dat 600 ook ronder is dan 500. Sterker nog, voor alle honderdtallen tussen 500 en 1000 geldt dat de rondheid ervan steeds kleiner wordt. Je kunt dat beredeneren door de formule te herschrijven tot een formule die alleen voor honderdtallen tussen 500 en 1000 geldt. Dat kan worden gedaan met behulp van de substitutie n = 100p (met p de gehele getallen 6 tot en met 9) en daarna de formule te herleiden tot:
       

       
4p. 2. Toon dit aan en beredeneer vervolgens aan de hand van deze formule, zonder getallen in te vullen of een schets te maken, dat de rondheid van de honderdtallen tussen 500 en 1000 steeds kleiner wordt.
     

 
Er waren 200 deelnemers aan het onderzoek, die elk 60 vragen kregen voorgelegd. 1,3% van de gegeven antwoorden was een getal boven de 1000. Na het wegstrepen van deze antwoorden, en het wegstrepen van de antwoorden beneden de 20, bleven er 3412 antwoorden over die waren gegeven door linkshandigen, en 4329 die waren gegeven door rechtshandigen.
       
4p. 3. Bereken het percentage gegeven antwoorden beneden de 20. Geef je antwoord in één decimaal.
     

 
In onderstaande figuur staat een overzicht van de gegeven antwoorden door de links- en rechtshandigen. Van de 3412 antwoorden van de linkshandigen was 6,7% het getal 20. Van de 4329 gegeven antwoorden van de rechtshandigen was dit percentage 5,7. Het verschil tussen deze twee percentages is 1. In de figuur zie je daarom bij het getal 20 een stip staan op een hoogte van 1%.
       

       
De horizontale as heeft een logaritmische schaalverdeling. In de figuur is het volgende zichtbaar gemaakt: hoe dikker de verticale streep bij een getal, hoe ronder dat getal. Veel ronde getallen worden procentueel vaker genoemd door linkshandigen dan door rechtshandigen.

Het antwoord 100 werd 276 maal gegeven door de linkshandigen.
       
4p. 4. Bereken hoe vaak het antwoord 100 gegeven werd door de rechtshandigen.
     

 
We geven twee uitspraken:
1. Naarmate getallen groter worden, worden ze minder vaak gekozen.
2. Grote getallen worden procentueel bijna even vaak door de linkshandigen als door de rechtshandigen als antwoord gegeven.
       
4p. 5. Leg voor elk van deze uitspraken uit of deze wel of niet uit de figuur volgt.
     

 
Draaiend huis.
       
Op de Hasseltrotonde in Tilburg staat een huis. Eigenlijk is ‘staat’ niet het goede woord, want het huis beweegt: het draait in het rond. Het gevolg is dat elke keer dat je langs de rotonde rijdt, het huis op een andere plaats kan staan. Het is een kunstproject, ontworpen door John Körmeling. Zie de fotos.
       

       
Het huis legt in 20 uur één ronde af, zodat je, als je de rotonde elke dag op hetzelfde tijdstip passeert, het huis geen twee opeenvolgende dagen op dezelfde plaats ziet.

Op een maandag staat het huis om acht uur ‘s morgens (08.00 uur) precies aan de oostkant van de rotonde. Voor het vervolg van de opgave is dit t = 0 . In onderstaande figuur is een overzicht van de situatie te zien. Het huis is in de figuur weergegeven als vierkantje en bevindt zich in punt O.
       

       
Het huis draait met de rijrichting van het verkeer mee.
       
3p. 6. Geef in de figuur de plaats aan waar het huis zich op diezelfde maandag om 20.30 uur bevindt. Licht je antwoord toe.
     

 
3p. 7. Bereken hoeveel hele weken na tijdstip t = 0 het huis zich voor het eerst weer om 08.00 uur op maandag in punt O bevindt.
     

 
De straal van de cirkel waarover het huis beweegt, is 30 meter. De afstand A in meters van het huis tot de west-oost-as gedurende een rondgang over de rotonde kan worden weergegeven met de formule A = 30 sin(π/10 • t) , met t de tijd in uren, en t = 0 op het moment dat het huis in O is. Hierbij worden afstanden onder de west-oost-as als negatieve getallen weergegeven.

Je kunt de formule ook zó schrijven dat het beginpunt (t = 0 ) in het noorden, in punt N ligt. De formule heeft dan de volgende vorm: 
y = 30sin(π/10 • (t - d))
       
3p. 8. Bereken de waarde van d.
     

 
In onderstaande figuur zie je aan de vetgemaakte blauwe cirkeldelen waar het huis zich minder dan 15 meter van de west-oost-as bevindt.
       

       
4p. 9. Bereken met behulp van de formule A = 30 sin(π/10 • t) hoeveel procent van de tijd het huis zich minder dan 15 meter van de west-oost-as bevindt. Geef je antwoord in gehele procenten.
     

  

 

Mathematical bridge
       

       
Op de linker foto zie je de Mathematical Bridge, een houten brug in Cambridge. Deze brug werd in 1748 ontworpen door William Etheridge. Als je goed kijkt naar de brug, dan zie je dat deze bestaat uit een aantal balken die een denkbeeldige boog (gevormd door de onderkant van de brug) raken. Zie de rechterfoto.
We maken van deze brug een wiskundig model. De onderkant van de brug is 12,19 m breed en deze onderkant beschouwen we als een deel van een cirkel met straal 9,75 m. Zie de figuur, waarin de maten gegeven zijn in meters. De standaardformule voor een cirkel met middelpunt (0, 0) en straal r is  x2 + y2 = r2
       

       
Wanneer we de oorsprong O kiezen zoals in de figuur aangegeven, dan geldt voor de hoogte van de onderkant van de brug:
y = √(95,0625 - x2)
       
Hierbij zijn x en y in meters.
       
3p. 10. Toon aan dat de formule  y = √(95,0625 - x2)  inderdaad past bij dit model.
     

 
Er varen veel bootjes onder de brug door. Het is daarom belangrijk om te weten hoe hoog de onderkant van de brug op bepaalde punten is ten opzichte van de waterspiegel.
       
4p. 11. Bereken het hoogteverschil tussen het beginpunt en het hoogste punt van de onderkant van de brug. Geef je antwoord in gehele cm.
     

 
Op de volgende foto zie je een raaklijn die ongeveer gelijk loopt met het begin van het looppad van de brug. Deze raaklijn raakt de cirkel in het punt (1,90; 9,56).  Zowel dit punt als het beginpunt van de raaklijn is in de foto aangegeven.
       

       
4p. 12. Bereken met behulp van de formule van de afgeleide de waarde van y'(-1,90) en leg uit wat de praktische betekenis van deze waarde is.
     

 
       

 

The International.
       
Electronic Sports, afgekort E-Sports, is de term die wordt gebruikt voor het competitief spelen van computerspellen. Hoewel het tegen andere spelers spelen van computerspellen al bijna net zo lang bestaat als de spellen zelf, wordt algemeen aangenomen dat E-Sports bestaat sinds 1998. Dat is namelijk het jaar dat er voor het eerst een officieel E-Sportstoernooi gehouden werd waarbij geldprijzen te winnen waren.

In 1998 was er in totaal zo’n 100000 dollar te verdienen door de spelers. Sinds dat jaar is E-Sports uitgegroeid tot een internationaal fenomeen. In 2016 streden tienduizenden spelers in zo’n honderd verschillende spellen om een totale prijzenpot van ruim 95 miljoen dollar.

In de volgende figuur is de ontwikkeling weergegeven van het totale prijzengeld dat in E-Sports omgaat.
       
       
De totale prijzenpot nam van 2009 tot en met 2016 toe van 3,7 miljoen tot 95,1 miljoen dollar. Als we ervan uitgaan dat deze groei exponentieel was en ook na 2016 exponentieel doorzet, dan zal het totale prijzengeld binnen enkele jaren tot boven de 1 miljard dollar stijgen.
       
4p. 13. Bereken met behulp van de gegevens uit 2009 en 2016 in welk jaar dat het geval zal zijn.
     

 
Bijna de helft van het totale prijzengeld in E-Sports wordt gewonnen door spelers van één bepaald spel. Dit spel wordt gespeeld door twee teams van elk vijf spelers, waarbij elk van de spelers een eigen held bestuurt. De spelers proberen met hulp van door de computer bestuurde troepen het gebied van de tegenstander te veroveren. Er zijn bij dit spel 112 verschillende helden, die worden onderverdeeld in drie categorieën: er zijn 49 aanvallers, 27 verdedigers en de overige helden zijn ondersteunende helden.

Aan het begin van het spel kiezen de teams volgens een gecompliceerd systeem beurtelings hun helden. Iedere held kan hierbij slechts één keer gekozen worden.

Het is gebruikelijk dat een team bestaat uit twee aanvallers, één verdediger en twee ondersteunende helden.

       
4p. 14. Bereken hoeveel verschillende samenstellingen er mogelijk zijn van twee aanvallers, één verdediger en twee ondersteunende helden.
     

 
In elk team zitten vijf helden. Het spelgebied waarop de teams elkaar bestrijden kan globaal worden ingedeeld in drie zones: Noord, Midden en Zuid. Een held kan een rol krijgen in een van deze drie zones. Bovendien bestaat er de mogelijkheid om een held tussen de zones te laten wisselen; we noemen dat een zwervende held. Er zijn dus eigenlijk vier mogelijke rollen voor een held: Noord, Midden, Zuid en zwervend.

Teams kiezen er altijd voor om in elk van de drie zones ten minste één held te plaatsen. Een mogelijke verdeling van de aantallen helden is dan bijvoorbeeld: 1 held in Noord, 1 held in Midden, 2 helden in Zuid en 1 zwervende held. We gaan er hierbij vanuit dat het niet van belang is welke held in welke zone aanwezig is.
       
4p. 15. Bereken hoeveel van zulke verdelingen er voor één team mogelijk zijn als elk van de zones Noord, Midden en Zuid ten minste één held moet bevatten.
     

 
Voor het spel worden gedurende het jaar diverse toernooien met uiteenlopende geldprijzen gehouden, maar het belangrijkste toernooi is The International, dat jaarlijks in augustus gehouden wordt. Teams uit alle delen van de wereld proberen via kwalificatietoernooien een van de zestien deelnamebewijzen te bemachtigen. En met een goede reden: in 2016 was de prijzenpot voor The International ruim 20 miljoen dollar.
       
Dat het prijzengeld zo hoog is bij The International komt doordat het toernooi crowdfunded is. Dat wil zeggen: spelers van het spel kunnen gedurende een periode voorafgaand aan het toernooi bijdragen aan de prijzenpot.

Het verloop van de hoogte van de prijzenpot voor The International 2016 staat in de volgende figuur.

       

       
De totale prijzenpot voor The International 2016 was als volgt opgebouwd:
- De organisatie van het toernooi, in dit geval de ontwikkelaar van het spel, legde een bepaald startbedrag in de prijzenpot.
- De ontwikkelaar gaf de spelers van het spel vanaf 16 mei de mogelijkheid om virtuele voorwerpen te kopen die zij in het spel konden gebruiken. Van de opbrengsten daarvan werd 25% aan de prijzenpot toegevoegd.
       
De grafiek in de figuur kan redelijk worden benaderd met de volgende formule:
       

P = 8,157 • ln(0,1(t + 10)) + 1,6
       
In deze formule is P het totale prijzengeld in miljoenen dollars en t de tijd in dagen met t = 0 op 16 mei 2016.

Volgens een website die verslag doet van E-Sports-toernooien hadden spelers binnen een maand 40 miljoen dollar uitgegeven aan virtuele voorwerpen.
       
4p. 16. Bereken met behulp van de formule voor P na hoeveel hele dagen dat het geval was.
     

 
In de grafiek is goed te zien dat de toename van de totale prijzenpot niet regelmatig verliep. Dat kwam doordat de ontwikkelaar af en toe met speciale acties kwam om spelers te verleiden extra voorwerpen te kopen.

Een van die acties was bijvoorbeeld op 30 juni. Op die dag groeide de prijzenpot met 1,125 miljoen dollar. Dat is een veel sterkere toename dan je op basis van de afgeleide van P mag verwachten.
       
5p. 17. Bereken met behulp van differentiëren hoeveel keer zo groot de toename op 30 juni was dan je op basis van de afgeleide van P had mogen verwachten. Geef je antwoord als een geheel getal.
     

  
       

 

Huurprijzen in New York.
       
New York is al decennialang een van de populairste steden ter wereld om te wonen met als gevolg dat de gemiddelde prijs van huurwoningen er explosief gestegen is. In 1970 bedroeg de gemiddelde huur van een woning in New York $ 125 per maand. In 2013 was dat gestegen tot $ 917 per maand. Dat is een toename van ruim 600%.

Zo’n vergelijking is echter niet helemaal eerlijk, want de waarde van geld verandert ook. Dat heet inflatie. Sinds 1970 bedroeg de gemiddelde inflatie per jaar 3,95%. We gaan ervan uit dat sinds 1970 de huurprijzen, onafhankelijk van andere factoren, jaarlijks door de inflatie 3,95% gestegen zijn.

Door de $ 125 uit 1970 om te rekenen naar dollars uit 2013 kan je de reële gemiddelde huurstijging berekenen. De reële gemiddelde huurstijging is de procentuele stijging van de gemiddelde huurprijzen boven op de stijging als gevolg van de inflatie.

       
3p. 18. Bereken de reële gemiddelde huurstijging. Geef je antwoord in één decimaal.
     

 
In het vervolg van deze opgave zijn alle genoemde bedragen, getallen en percentages berekend met de naar 2013-dollars omgerekende bedragen. Je hoeft dus zelf geen rekening te houden met inflatie. Verder spreken we in het vervolg van deze opgave over inkomen, huurprijs en huurlast, terwijl daar gemiddeld inkomen, gemiddelde huurprijs en gemiddelde huurlast bedoeld wordt.
       
Een belangrijke maatstaf om de betaalbaarheid van huurwoningen te onderzoeken is het percentage van het inkomen dat besteed wordt aan het betalen van de huur: de huurlast.

In 1960 bedroeg de huurprijs in New York $ 561 en was de huurlast 15%.

Doordat de huurprijzen sneller stijgen dan de inkomens, neemt de huurlast steeds verder toe: van 15% in 1960 tot 21% in 2013. Een econoom beweert dat er zich grote problemen zullen gaan voordoen als de huurlast boven de 25% uitkomt. De econoom gaat ervan uit dat de huurlast exponentieel is toegenomen sinds 1960 en dat die exponentiële stijging zich ook na 2013 voortzet.
       
4p. 19. Bereken in welk jaar de huurlast volgens deze veronderstelling voor het eerst groter is dan 25%.
     

 
In de figuur hieronder is het werkelijke verloop van de huurprijs in New York en van het inkomen van zijn inwoners als percentage van de bedragen in 1960 uitgezet tegen de tijd.
       

       
Hieronder staan twee uitspraken die gaan over de gegevens in de figuur:
1. In de periode 1960–1980 steeg de huurprijs sneller dan in de periode 1980–2000.
2. In de periode 1990–2000 daalde de huurlast.
       
4p. 20. Leg voor elk van deze uitspraken uit of deze waar is of niet.
     

  
Inkomensongelijkheid.
       
Het primair inkomen van een huishouden bestaat uit de som van alle bruto inkomens uit werk en vermogen van alle personen uit dat huishouden. Als in een huishouden niemand betaald werk heeft of over vermogen beschikt, dan is het primair inkomen van dit huishouden gelijk aan nul.

Het totale primair inkomen van alle huishoudens in Nederland in 2014 was 376,3 miljard euro. Er waren toen in totaal 7,8 miljoen huishoudens en 16,7 miljoen personen.

In de tabel zijn alle huishoudens op basis van hun primair inkomen gerangschikt en verdeeld in tien groepen die elk ongeveer evenveel huishoudens bevatten. De eerste groep bevat de huishoudens met de laagste primaire inkomens en de tiende groep bevat die met de hoogste primaire inkomens.
       
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
aandeel
primair
inkomen (%)		 0 0 1 3 5 8 12 16 20 35
aantal
huishoudens
(× 1000)		 784 769 776 777 777 777 777 777 777 776
aantal
personen
(×1000)		 1138 1041 1234 1330 1466 1597 1851 2155 2381 25356
       
In de tabel kun je bijvoorbeeld zien dat de groep met de hoogste primaire inkomens 776 000 huishoudens bevat en uit 2 535 000 personen bestaat. Van het totale primair inkomen van 376,3 miljard euro is 35% van deze groep. Dit is 131,705 miljard euro.

De mate van inkomensongelijkheid tussen personen wordt weergegeven door S. We definiëren S als volgt: S is het gemiddeld inkomen per persoon in de tiende groep min het gemiddeld inkomen per persoon in de eerste groep.

Je kunt met de bovenstaande gegevens berekenen dat S bij het primair inkomen ongeveer 51955 euro is.
       
Door uitkeringen te geven en belastingen te heffen, verkleint de Nederlandse overheid de inkomensongelijkheid. Als we bij het primair inkomen van een huishouden alle ontvangen uitkeringen optellen en alle betaalde belastingen eraf halen, krijgen we het secundair inkomen van het huishouden.

In de figuur staat voor dezelfde tien groepen huishoudens als in de tabel het verschil tussen het secundair en primair inkomen per huishouden.

       

       
In de figuur kun je bijvoorbeeld zien dat het secundair inkomen per huishouden in de eerste vijf groepen hoger is dan het primair inkomen. Er is dan een hoger bedrag aan uitkeringen ontvangen dan er aan belasting is betaald.

Door de uitkeringen en belastingen zal S bij het secundair inkomen kleiner zijn dan bij het primair inkomen.

       
7p. 21. Onderzoek of S in 2014 bij het secundair inkomen meer of minder dan 30000 euro lager is dan bij het primair inkomen.
     

  

 

 

 
UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. 1000 3n 100 en 500 zijn geen delers van 750 dus die termen vallen weg:
 
  =  0,01333 + 0,5(0,0666 + 0,00666) + 0,25(0.3333 + 0,03333)
= 0,013333 + 0,36666 + 0,09166666
= 0,47166666
≈ 0,47
   
2. 1000 en 500 en 250 zijn geen delersa van 100p dus die termen vallen weg:
 
 

  143,75/100 = 575/400 =  23/16   dus dat geeft de gevraagde formule.
   
3. Er zijn 60 • 200 = 12000 antwoorden gegeven
1,3% was boven de 100, en dat zijn 0,013 • 12000 = 156 antwoorden
3412 + 4329 = 7741 waren boven de 20,
Dus 12000 - 156 - 7741 = 4103  antwoorden waren onder de 20
Dat is 4103/12000 • 100% = 34,2%
   
4. Het percentage linkshandigen was 276/3412 • 100% = 8,08089...%
Het percentage rechtshandigen was 1,6% lager (aflezen uit de figuur)
Het percentage rechtshandigen was dus 6,5%
6,5% van 4329 is 281 keer.
   
5. uitspraak I volgt NIET uit de figuur, want:
-  grote getallen kunnen best heel vaak als antwoord gegeven worden, maar ongeveer even vaak door linkshandigen als door rechtshandigen.
-  de aantallen op de y-as zijn in procenten en niet in absolute aantallen.

uitspraak II volgt WEL uit de figuur, want voor veel grote getallen wordt het verschil in percentages bijna nul.
   
6. 20:30 is 12,5 uur na 8:00 uur
Een hele rondgang kost 20 uur, dus er is 12,5/20 = 5/8 deel van een rondgang gemaakt.
Er is dus 5/8 deel van de cirkel afgelegd, en dan staat het huis als in de figuur hieronder (midden tussen W en Z).
 

   
7. Het huis is weer om 8:00 uur op de Oostplaats als een aantal keer 20 gelijk is aan een aantal keer 24.
Dat is voor het eerst zo bij zo bij 6 * 20 = 120 = 5 * 24
Dus steeds na 120 uur = 5 dagen is het huis weer om 8:00 op de Oostplaats.
Dat wordt dan op de dagen (steeds 5 dagen later): ma - za - do - di - zo - vr - wo - ma
na 7 series van 5 dagen is het huis op maandag weer om 8:00 op de oostplaats.
Dat is dus 5 weken.
   
8. Op t = 0 is de afstand dus 30, en wordt die kleiner.
Dat geeft een sinusgrafiek als hiernaast.

Het beginpunt ligt bij de blauwe stip en dat is bij t = 15

Dus d = 15

   
9. 15 = 30 sin(π/10 • t)
 Y1 = 15 en Y2 = 30 sin(π/10 • X)
 intersect geeft  tussen t = 0 en t = 20  dat  t = 1,667  of  t = 8,3333

-15 = 30 sin(π/10 • t)
 Y1 = -15 en Y2 = 30 sin(π/10 • X)
 intersect geeft  tussen t = 0 en t = 20  dat  t = 11,667  of  t = 18,3333

Het huis zit tussen de -15 en de 15 voor 
t tussen  0 en 1,666...
t tussen 8,3333... en t = 11,666...
t tussen  18,3333... en 20
In totaal is dat 6,6666... van de 20 dagen
Dat is 33%
   
10. x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 9,752 = 95,0625
y2 = 95,0625 - x2
y = √(95,0625 - x2)
   
11. Het hoogste punt ligt op y = 9,75
Voor het begin van de boog is  x = 12,19/2 = -6,095
Dan is y = √(95,0625 - (-6,095)2) = 7,61....
Het verschil is 9,75 - 7,61... = 2,14 m
   
12. y = √(95,0625 - x2) = (95,0625 - x2)0,5 
y ' = 0,5 • (95,0625 - x2)-0,5 • -2x   (die laatste -2x komt van de kettingregel)
x = -1,90 invullen geeft  y ' =  0,198...
Dat betekent dat het hellingspercentage van het looppad over dit eerste stuk van de brug gelijk is aan 19,8%
   
13. Een toename van 3,7 naar 95,1 betekent een factor 95,1/3,7 = 25,702....
Dat is over een periode van 7 jaar, dus als g de groeifactor per jaar is, dan geldt  g7 = 25,702....
Dat geeft  g = (25,702...)1/7 = 1,5901....
De hoeveelheid is 1000 geworden als  95,1 • 1,5901t = 1000
1,5901t = 10,515...
t = log(10,515)/log(1,5901) = 5,07 jaar
Dat is dus in 2022
   
14. Twee aanvallers uit de 49 kun je kiezen op  49 nCr 2 = 1176 manieren
Twee ondersteunende helden uit de 36 kun je kiezen op  36 nCr 2 = 630 manieren
Eén verdediger uit de 27 kun je kiezen op 27 manieren
In totaal izijn er dan  1176 • 630 • 27 = 20003760 manieren
   
15.
N M Z zwervend
3
1
1
2
2
1
2
1
1
1		 1
3
1
2
1
2
1
2
1
1		 1
1
3
1
2
2
1
1
2
1		 0
0
0
0
0
0
1
1
1
2
  Dus 10 manieren.
   
  OF
Zet eerst alvast N, M, Z een held neer, dat moet toch.
Dan zijn er dus nog 2 helden vrij te kiezen.
Die kunnen  NN, MM, ZZ, zwzw, NM, NZ, Nzw, MZ, Mzw, Zzw  en dat zijn 10 manieren
   
16. Op t = 0 is  P = 1,6 dus het startbedrag was 1,6 miljoen dollar
als er 40 miljoen dollar is uitgegeven dan is er 25% daarvan in de prijzenpot bijgekomen, en dat is 10 miljoen dollar.
Dan zit er dus 11,6 miljoen dollar in de prijzenpot.
11,6 = 8,157 • ln(0,1(t + 10)) + 1,6

Dat kan natuurlijk met de GR, maar laten we het voor de mooiheid eens algebraïsch doen:
10 =  8,157 • ln(0,1(t + 10))
1,225... = ln(0,1(t + 10))
0,1(t + 10) = e1,225... = 3,407....
t + 10 = 34,07...
t = 24,07....
Dus na 25 dagen.
   
17. P = ln(0,1(t + 10))
Die haakjes maken het alleen maar lastig, dus werk ze weg:
P = ln(0,1t + 1)
de afgeleide van lnx is 1/x
dus  P '= 1/(0,1t + 1) • 0,1    (die laatste 0,1 is van de kettingregel)
op 13 juni is t = 45, dus vul dat in;  dat geeft  P ' = 0,14....
Dat was  1,125/0,14... = 7,58... keer zo groot, dus afgerond 8 keer.
   
18. 3,95% toename betekent een groeifactor van 1,0395
in 43 jaar (van 1970 naar 2013)   is dat een factor  (1,0395)43 = 5,2899....
125 dollar is na 43 jaar dus  125 • 5,2899 = 661,245....
de reële huurstijging is dus  917 - 661,245.... = 255,75...
Dat is  255,75.../661,245... • 100% = 38,7%
   
19. Er is een toename met factor 21/15 = 1,4 in 53 jaar.
Voor de factor per jaar geldt dus  g53 = 1,4  dus  g = 1,41/53 = 1,00636....
Als het 25 is geworden dan geldt dus  15 • 1,00636t = 25
1,00636t = 1,666...
t = log(1,666...)/log(1,00636...) = 80,4
Dat is dus in 2041
   
20. De helling van het verbindingslijnlijnstuk tussen de stippen van 1960 en 1980 is ongeveer gelijk aan de helling van het verbindingslijnstuk lijnstuk tussen 1980 en 2000. (want de 3 stippen liggen ongeveer op één lijn)
Dus de stijging was ongeveer gelijk.
Uitspraak 1 is dus NIET WAAR

Tussen 1990 en 2000 stijgen de huren niet terwijl het inkomen sterk toeneemt.
Dan neemt de huurlast af, dus uitspraak 2 is WAAR.
   
21. eerste groep.
In de eerste groep is het secundaire inkomen per huishouden 16000 hoger dan het primaire inkomen.
De eerste groep heeft 784000 huishoudens
Het totale secundaire inkomen is 16000 • 784000 = 12544000000  (want het primaire inkomen is 0)
Er waren 1138000 personen dus gemiddelde is dat 12544000000/1138000 = 11022 euro

tiende groep
In de tiende groep is het secundaire inkomen per huishouden 76000 lager dan het primaire inkomen.
De tiende groep heeft 776000 huishoudens
Het primaire inkomen was 131705000000  (staat in de tekst)
Het totale secundaire inkomen is  dus  131705000000  - 76000 • 776000 = 72729000000 
Er waren 2535000 personen, dus gemiddelde is dat  72729000000/2535000 = 28689

vergelijken
Het verschil tussen deze secundaire inkomens is 28589 - 11022 = 17667
Bij het primaire inkomen was S gelijk aan 51955
Dat scheelt  51955 - 17667 = 34287 en dat is meer dan 30000 euro lager.