VWO WB, 1982 - I
 

 

1. In een vaas V bevinden zich twee rode, drie gele en 5 blauwe knikkers.
       
  a. Men neemt aselect een greep van drie knikkers uit V.
Bewijs dat de kans dat in deze greep alle drie de kleuren voorkomen gelijk is aan 1/4.
Bereken de kans dat in deze greep precies één kleur niet voorkomt.
       
  b. Men neemt aselect en met terugleggen vijftig maal een greep van drie knikkers uit V.
Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat daarbij ten hoogste dertig grepen zijn waarin niet alle kleuren rood, geel en blauw voorkomen.
       
  c. Men trekt aselect en zonder terugleggen telkens één knikker uit V totdat men voor de tweede maal een rode knikker heeft verkregen. Het aantal trekkingen is een stochast R
Stel de kansverdeling van R op.
       
2. Voor elke p ∈ R is Dp de differentiaalvergelijking:  (x2 + 2y)dy = (p - 2xy)dx 
       
  a. Voor welke p  en voor welke k ∈ R geldt: de parabool y = kx2 is een integraalkromme van Dp? 
       
  b. Voor welke p geldt:
een integraalkromme van Dp snijdt een integraalkromme van D-3 loodrecht in het punt (1, p)?
       
  c. Bewijs dat elke Dp precies één singulier punt heeft.
Voor welke p geldt: het singuliere punt van Dp  ligt op de lijn  2x - 2y + 3 = 0? 
       
3. Voor elke p ∈ R\{0} is met domein R+ gegeven de functie:  fp :  x → 2ln2x - 2plnx 
       
  a. Onderzoek f1.
Bereken de coördinaten van het buigpunt van de grafiek van f1.
Teken de grafiek van f1 ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy.
       
  b. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel, ingesloten door de grafiek van f1 en de x-as.
       
  c. De grafiek van de functie fp snijdt de x-as in de punten Ap en Bp
De raaklijn in Ap en de raaklijn in Bp aan de grafiek van fp snijden elkaar in het punt Cp.
Voor welke p geldt:  de x-coördinaat van Cp is kleiner dan 2?
       
4. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is gegeven de kromme K met vergelijking:
x4 - 4x2 + 4y2 = 0
       
  a. Voor welke p Î R heeft de lijn y = px drie verschillende punten met K gemeen?
Bereken de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
Teken K.
       
  b. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door K te wentelen om de x-as.
       
  c. Ten opzichte van het assenstelsel is voor t ∈ [0, 2π] de kromme L gegeven door:
x = 2sint  en   y = sin2t
Bewijs dat voor de puntverzamelingen K en L geldt: K = L.
       
       

 

 

UITWERKING
   
 
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.