| 1. | Gegeven zijn met domein R+ de functie f : x → (8x - 8)/x3 en voor elke p ∈ R de functie gp: x → p/x2 | ||
| a. | Onderzoek f. Bereken de coördinaten van het buigpunt van de grafiek van f. Teken de grafiek van f ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy. |
||
| b. | Voor welke p ∈ R en q ∈ R geldt: de grafieken van f en gp hebben geen enkel punt gemeen en de lijn x = q snijdt de beide grafieken onder gelijke hoeken? | ||
| c. | Ok is de oppervlakte van het vlakdeel in gesloten door de grafieken van f en g4 en de lijn x = k waarbij k > 2. | ||
 |
|||
| 2. | Een fabrikant besluit een nieuw
merk wasmiddel op de markt te brengen. Hij biedt een zeer groot aantal pakken ten verkoop aan. In 70% van dit aantal pakken wasmiddel is per pak precies één bon en in de overige pakken geen bon ingesloten. Het publiek wordt door advertenties uitgenodigd aan een prijsvraag mee te doen. Bij het inzenden van de oplossing van deze prijsvraag moeten vijf bonnen worden meegezonden. |
||
| a. | Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat een gebruiker in het achtste pak dat hij gekocht heeft zijn vijfde bon aantreft. | ||
| b. | Iemand heeft de prijsvraag
opgelost en wil de oplossing inzenden. Daarom koopt hij in één keer een
aantal pakken wasmiddel. Hoeveel pakken moet hij tenminste kopen opdat de kans dat hij tenminste vijf bonnen aantreft, groter is dan 99%? |
||
| c. | Een consumentenorganisatie meent
dat het aantal pakken met een bon minder is dan 70%. Zij besluit tot een toets waarbij een steekproef van 50 pakken wordt onderzocht. Het kritieke gebied van de toets wordt zo gekozen dat de kans dat de consumentenorganisatie ten onrechte gelijk krijgt kleiner is dan 3%. Hoeveel pakken zonder bon moeten er tenminste in de steekproef zitten opdat de consumentenorganisatie gelijk krijgt? |
||
| 3. | Gegeven is de differentiaalvergelijking D: (x2 - y2)dx + 2xdy = 0 | ||
| a. | Geef ten opzichte van een
rechthoekig assenstelsel Oxy aan: de verzameling van de niet-singuliere punten waarin het lijnelement dat aan D voldoet een positieve richtingscoëfficiënt heeft. |
||
| b. | Voor t
∈ R is gegeven de kromme K door:
x = 2 + 2cost ∧
y = 2sint Bewijs dat K een integraalkromme is van D. Bewijs dat K een cirkel is en teken K in het onder a) genoemde assenstelsel. |
||
| c. | Voor elke a ∈ R en b ∈ R geldt: de parabool met vergelijking y = -1/2x2 + ax raakt een integraalkromme van D in het punt (-2, b)? | ||
| 4. | Voor elke p ∈ R\{0} is met domein R gegeven de functie fp: x → (x2 - px)e-px | ||
| a. | Voor welke k ∈ R is de oplossing van de vergelijking f1(x) • f1(-x) = k leeg? | ||
| b. | De grafiek van fp heeft een buigpunt dat op de x-as ligt. Bereken p. | ||
| c. | Bewijs dat voor elke p geldt: de raaklijnen aan de grafiek van fp in de snijpunten met de x-as staan niet loodrecht op elkaar. | ||