VWO WB, 1988 - II

 

OPGAVE 1.
   
Van [0, 2π] naar R is gegeven de functie  f :  x → x + sin2x 
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy  is F de grafiek van f.
       
1. Bewijs dat F en de x-as precies één punt gemeenschappelijk hebben.
       
2. Bewijs dat F vier buigpunten heeft.
       
3. Voltooi het onderzoek van f en teken F.
       
De lijn l met vergelijking  y = x + p waarbij  p ∈ R+  raakt F in twee punten.
       
4. Bereken p.
       
5. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel in gesloten door l en F.
       
OPGAVE 2.
       
Met domein R+ is voor elke p ∈ R  gegeven de functie  fp :  x →  ln2x + 2plnx - 3
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is Fp de grafiek van fp.
       
6. Onderzoek f1 en teken  F1.
       
7. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door F1 en de x-as.
       
8. Onderzoek welke waarden het minimum van fp kan aannemen.
       
OPGAVE 3.
       
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy  is de kromme K gegeven door:
       
9. Bereken de coördinaten van het punt waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de y-as.
       
10. Stel van elke asymptoot van K een vergelijking op.
       
11. Bewijs dat K een as van symmetrie heeft.
       
12. Teken K.
       
De lijn x = p waarbij  p ∈ R+ snijdt K in het punt A dat in het eerste kwadrant ligt.
       
13. Druk de y-coördinaat van A uit in p.
       
Het vlakdeel ingesloten door OA, de x-as en de lijn x = p wentelt om de x-as.
De inhoud van het omwentelingslichaam is  4/9π.
       
14. Bereken p.
       
OPGAVE 4.
       
Van het prisma dat hieronder staat afgebeeld is gegeven:
OA = 4, OC = 3, AB = 6
∠OAB = ∠AOC = 90º
de opstaande ribben hebben elk lengte 4 en staan loodrecht op het grondvlak OABC.

j is de hoek van de vlakken  OBFD en ACGE.
       
15. Bereken j in graden nauwkeurig.
       
16. Bewijs dat er een bol bestaat die de zes grensvlakken van het prisma raakt.
       
17. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de straal van de snijcirkel van deze bol en het vlak ACGE.
       
Hieronder, in een parallelprojectie van het prisma, is vierkant OAED als vierkant weergegeven.
       
18. Teken in deze figuur de doorsnede van het prisma met het middelloodvlak van ribbe BC.
Licht je werkwijze toe.
       
 

       
UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  

   
17.  
   
18.  

   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.