VWO WB, 1991 - I
 
OPGAVE 1.
       
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy  is voor t Î 〈-π, π〉  de kromme K gegeven door:
x = 1 + 2sint  en   y = ln(1 + cost)
       
1. Onderzoek welke waarden x kan aannemen en onderzoek welke waarden y kan aannemen.
       
2. Bereken de coördinaten van de snijpunten van L met de x-as en bereken in één decimaal nauwkeurig de coördinaten van de snijpunten van K met de y-as.
       
3. Bereken de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan een van de coördinaatassen.
       
4. Geef een vergelijking van de asymptoot van K en toon aan dat deze asymptoot tevens symmetrie-as is van K.
       
5. Teken K.
       
OPGAVE 2.
       
       
6. Geef door arcering het gedeelte van het Oxy-vlak aan waar de richtingscoëfficiënten van de door D bepaalde lijnelementen positief zijn.
       
7. Toon aan dat de kromme K gegeven door:  x = 1 + 2sint  en   y = ln(1 + cost) een oplossingskromme van D is.
       
L is de oplossingskromme van D die door het punt (-2, ln3) gaat.
       
8. Stel een vergelijking van L op.
       
OPGAVE 3.
       
Van R naar R is gegeven de functie:
   

       
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is K de grafiek van f.
       
9. Toon aan dat f niet differentieerbaar is in x = 0.
       
10. Onderzoek f verder en teken K.
       
Een lijn  y = a  met  a ∈ 〈0,2] snijdt K in de punten A en B.
       
11. Bewijs dat AB = 4a.
       
V is het linker vlakdeel ingesloten door K, de y-as en de lijn l met vergelijking y = 2.
       
12. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als K wentelt om l.
       
OPGAVE 4.
       
De kubus OABC.DEFG, waarvan de ribben de lengte 6 hebben, is hieronder tweemaal afgebeeld door een scheve parallelprojectie op een vlak dat evenwijdig is aan vlak OCGD.

De bol β gaat door B en F een raakt de lijn OC in O.
       
13. Bereken de straal van β.
       
Het midden van lijnstuk AB is het middelpunt van een bol γ die door F gaat.
       
14. Bereken de lengte van het lijnstuk dat γ van de lijn EG afsnijdt.
       
Een cilinder heeft als as lijn OA en straal 3.
Binnen het vierkant ABFE ligt het punt R zo dat:
• de lijn CR deze cilinder raakt en bovendien:
• de lijn CR een hoek van 30º maakt met de lijn BC.
       
15. Teken R in een figuur hieronder. Licht je werkwijze toe.
       

       

       
       
UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13. Het middelpunt ligt even ver van B als van F dus in het middelloodvlak van B en F: dat is het horizontale vlak door Q en M hiernaast.

Het middelpunt ligt even ver van O als van B, dus in het middelloodvlak van O en B, dat is valk ACGE.

Dus het middelpunt ligt op lijn MQ.

MO staat loodrecht op OC (OC raakt de bol) dus ligt M in een vlak door O dat loodrecht op OC staat: dat is valk AODE.

Het middelpunt van de bol is daarom punt M (het midden van AE)

De straal is dan  MO = √(62 + 32) = √45 = 3√5

   
14. De vraag is:  welk punt S van EG heeft afstand ER tot punt R?

   
15.  

   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.