VWO WB, 1995 - I

 

OPGAVE 1.
       
De functie  f  met domein R is gegeven door:  f :  x →  4 - x2   
Punt A ligt zo op de y-as dat de raaklijnen door A aan de grafiek van f onderling loodrecht zijn.
       
6p. 1. Bereken de y-coördinaat van A.
       
De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f en de lijn y = p is gelijk aan 4√3
       
7p. 2. Bereken p.
       
Van een functie g is gegeven:
•  g(x) = f(x)  voor  x ≤ 1.
•  de grafiek van g is symmetrisch ten opzichte van het punt (1,3).
       
5p. 3. Druk g(x) uit in x voor x ≥ 1. Motiveer je antwoord.
       
OPGAVE 2.
       
De kromme K, voor een gedeelte getekend in de figuur hiernaast, is gegeven door:

Waarbij  t  ∈ 〈0, 2π〉 \ {1/2π, π, 11/2π}.
De asymptoten van K zijn evenwijdig aan de coördinaatassen.
     
5p. 4. Stel een vergelijking op van de asymptoten van K. Geef een toelichting.
       
5p. 5. Teken K. Licht je werkwijze toe.  
       
De raaklijnen aan K in de punten van K met y-coördinaat -1 sluiten een vierhoek in.
       
9p. 6. Bereken de oppervlakte van deze vierhoek.
       
       
4p. 7. Bewijs dat in elk punt van K aan D voldaan wordt.
       
Een functie f met domein  〈 -1, 1〉  is een oplossing van D.
f(0) = -1
       
6p. 8. Stel een functievoorschrift op van f.
       
OPGAVE 3.
       
       
7p. 9.
       
7p. 10. Onderzoek  f  verder en teken de grafiek van f, waarbij als eenheid op de x-as en op de y-as 2 cm genomen moet worden.
       
6p. 11.
       
OPGAVE 4.
       
Een schaalmodel van een gebouw bestaat uit een balk ABCD.EFGH en een koepel. Zie de onderstaande figuur.
AB = BC = 8  en  AE = 6.

Bol β raakt alle opstaande zijvlakken en het grondvlak ABCD.
Het middelpunt van β is M.
Het gedeelte van β dat buiten de balk ligt, is de koepel.
       

       
4p. 12. Bereken de oppervlakte van het vlakke gedeelte van het vlak EFGH.
       
Op het hoogste punt van de koepel staat verticaal een mast met bovenin een lamp.
Vanuit elk punt van het vlakke gedeelte van het dak EFGH is de lamp zichtbaar.
       
7p. 13. Bereken de minimale hoogte van de mast.
       
Er wordt een assenstelsel aangenomen met M als oorsprong,  de x-as evenwijdig aan AD, de y-as evenwijdig aan AB en de z-as evenwijdig aan AE.

De lijn DM snijdt het vlak BEG in punt S.
       
5p. 14. Bereken de coördinaten van S.
       
De inhoud van de koepel kan berekend worden door een gedeelte van een cirkel te wentelen om de z-as.
       
7p. 15. Bereken de inhoud van de koepel.
       

 

 

UITWERKING
   
1. Stel dat de raakpunten x-coördinaat p en -p hebben.
De helling is -2x dus de raaklijnen hebben hellingen -2p en 2p
loodrecht op elkaar:  -2p • 2p = -1
Dat geeft  p = 1/2  en  p = -1/2
Eén van beide raakpunten is  R = (1/2, 33/4)
33/4 = 1/2 • 1/2 + b  geeft  b = 31/2
A = (0, 31/2)
   
2.  
   
3. Schuif de grafiek van f  1 naar links:  y =  4 - (x + 1)2
Spiegel in de y-as:  y = 4 - (-x + 1)2
Schuif nu weer 1 naar rechts:  y = (4 - (-(x - 1) + 1)2
y = 4 - (-x + 2)2
y = 4 - x2 + 4x - 4
 y = -x2 + 4x
   
4.  
   
5.  

   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  

   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.