VWO WB, 1998 - II

 

OPGAVE 1.
       
Gegeven is de functie f :  x →  ln(x2 +1)
       
7p. 1. Bereken de coördinaten van de buigpunten van de grafiek van f.
       
6p. 2. Onderzoek f verder en teken de grafiek van f.
       
V is het vlakdeel begrensd door de grafiek van f en de lijn y = 1.
       
6p. 3. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door V te wentelen om de y-as.
       
OPGAVE 2.
         
Gegeven is de functie  f :  x → 2/x met domein  R+.

De lijn y = -x + p raakt de grafiek van f

     
5p. 4. Bereken p.
     
Voor a > √2 is Va het vlakdeel begrensd door de x-as, de lijn x = a, de lijn y = a en de grafiek van f (zie de figuur).
         
8p. 5. Bereken a in het geval dat de oppervlakte van Va gelijk is aan 6.
         
P(p, q) is een willekeurig punt van de grafiek van f.
Q is het punt (2p, 0) en R is het punt  (0, 2q).
         
8p. 6. Bewijs dat de lijn QR de grafiek van f raakt in het punt P.
         
OPGAVE 3.
         
De kromme K is gegeven door:

waarbij t ∈ [0, 2π] 
In de figuur hiernaast is K getekend.

De coördinaatassen zijn symmetrie-assen van K.
     
5p. 7. Toon aan dat voor t ≠ 0, π en 2π de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan K in het punt (x(t), y(t)) van K gelijk is aan  -3sin2t
     
R is een rechthoek waarvan de zijden evenwijdig zijn aan de coördinaatassen.
         
8p. 8. Bereken hoe groot de oppervlakte van R maximaal kan zijn.
         
waarbij  t ∈ [0, 2π]

Voor elke a zijn de coördinaatassen symmetrie-assen van Ka.
In de volgende figuur zijn K2, K3 en K4 getekend.
         

         
K3 snijdt zichzelf in het punt S op de positieve x-as.
         
7p. 9. Bereken de hoek waaronder K3 zichzelf in S snijdt.
         
8p. 10. Bereken voor welke waarden van a het aantal gemeenschappelijke punten van Ka en de x-as achtereenvolgens 2,3 en 4 is.
         

 

OPGAVE 4.
         
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxyz is het viervlak ABCD gegeven door  A(4, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, -4, 0) en D(0, 0, 8).
M is het midden van AD en N is het midden van BD.
Het viervlak is hiernaast getekend.

De punten P en Q liggen zo op de z-as dat de driehoeken MNP en MNQ gelijkzijdig zijn.

     
6p. 11. Bereken de z-coördinaten van P en Q.
     
V is een vlak door M en N.
V snijdt de z-as in R.
         
8p. 12. Onderzoek welke waarden de z-coördinaat van R kan aannemen in het geval dat de doorsnede van V met het viervlak een vierhoek is.
         
β is de bol door de punten A, B, C en D.
W is een vlak door de oorsprong O.
Vlak W snijdt de bol β.
c is de snijcirkel van bol β en vlak W.
         
8p. 13. Bereken welke waarden de oppervlakte van c kan aannemen.
         

 

 

 

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.