VWO WB, 2015 - II    Pilot.
Het achtste deel.
       
Op het domein [-9,0] is de functie f gegeven door f(x) = √(x + 9) . In de figuur is de grafiek van f getekend en een lijn met vergelijking x = p met  -9 < p ≤ 0. Het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en deze lijn is met grijs aangegeven.
       

       
De oppervlakte van het grijze gebied noemen we A. De waarde van A hangt af van de waarde van p.
Er geldt:

       
4p. 1. Toon deze formule aan.
     

 

Er is een waarde van p waarvoor A(p)  het achtste deel is van de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de y-as.
       
5p. 2. Bereken exact deze waarde van p.
     

   

De grafiek van f wordt gespiegeld in de y-as. Het spiegelbeeld van de grafiek van f wordt vervolgens 9 naar links verschoven. Zo ontstaat de grafiek van de functie g. Zie onderstaande figuur.
       

       

In deze figuur is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f, de grafiek van g en de y-as gekleurd. Dit vlakdeel wordt gewenteld om de x-as.
       

6p.

3.

 Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam.
       
Lemniscaat.
       

De beweging van een punt P wordt beschreven door de vectorvoorstelling:
 

In de volgende figuur is de baan van P getekend. Deze baan wordt lemniscaat genoemd.
       

       
Tijdens de beweging passeert punt P vier keer de lijn met vergelijking y = 1/4 .
       

4p.

4.

 Bereken exact voor welke waarden van t dit het geval is.
       

Tijdens de beweging gaat P twee keer door de oorsprong O. De richtingen waarin P de oorsprong passeert zijn verschillend.
       

7p.

5.

 Bereken exact de hoek tussen deze twee richtingen.  
     

   

 

 

Twee punten.
       

Gegeven zijn de punten A(-2,3) en B(6,7) .

In de volgende figuur zijn op de y-as de punten P en Q getekend waarvoor geldt dat ∠APB =∠AQB = 90º.
       

       

6p.

6.

 Bereken exact de coördinaten van P en Q.
       

In onderstaande figuur is de lijn door A en B getekend. Ook is een cirkel getekend met middelpunt M(-3,0) . Deze cirkel snijdt de lijn door A en B in de punten R en S met RS = 6√5 .
       

       

6p.

7.

 Bereken exact de straal van de cirkel.
       
Stuiterende bal.
       
Een bal wordt vanaf een bepaalde hoogte boven een vloer losgelaten en begint vervolgens te stuiteren. In deze opgave bekijken we een wiskundig model van deze situatie.

Op het moment van loslaten bevindt de onderkant van de bal zich h0 meter boven de vloer. De maximale hoogte van de onderkant van de bal tussen twee keer stuiteren noemen we de stuithoogte. De stuithoogte na de eerste keer stuiteren noemen we h1 , die na de tweede keer stuiteren h2 , enzovoort.
Aan de linkerkant van de volgende  figuur is de bal getekend op verschillende stuithoogtes. Rechts daarvan is de hoogte h van de stuiterende bal (in meters) uitgezet tegen de tijd t (in seconden).
       

       
In deze opgave gaan we ervan uit dat de verhouding tussen twee opeenvolgende stuithoogtes constant is, dus h1 : h0  is gelijk aan h2 : h1 , enzovoorts. Deze verhouding noemen we a. Voor de stuithoogte na n keer stuiteren geldt dan: 

hn = h0 • an

De waarde van a hangt af van het soort bal.
       

3p.

8.

 Bereken de waarde van a voor een bal waarvan na 7 keer stuiteren de stuithoogte 5 keer zo klein is als de hoogte waarop de bal is losgelaten. Geef het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
     

 

De hoogte van de onderkant van de bal tussen twee opeenvolgende keren stuiteren is een functie van de tijd. De grafiek van deze functie is een bergparabool.
De tijd in seconden tussen de n-de en de (n + 1)-ste keer stuiteren noemen we de stuittijd Tn . In onderstaande figuur zijn drie stuittijden aangegeven.
       

       
De stuittijd Tn  kan worden uitgedrukt in de stuithoogte hn. Er geldt:

Een bal wordt losgelaten vanaf hoogte h0. De stuittijd T1 is 1,11 seconden en de stuittijd T4 is 0,68 seconden.
       

5p.

9.

  Bereken h0 . Geef je antwoord in decimeters nauwkeurig.  
     

   
Over de muur.
       
In vroeger tijden probeerde men met een katapult kogels over vestingmuren te slingeren. In deze opgave bekijken we een katapult met een draaibare hefboom. Het linker deel van de hefboom is 4 meter lang.
Op het einde daarvan ligt een kogel met middelpunt P. Aan het einde van het rechter deel van de hefboom zit een contragewicht Q. In het begin wordt de hefboom horizontaal gehouden door een touw tussen de hefboom en de grond. De hoogte van de hefboom is dan 2 meter.

In figuur 1 is deze beginstand getekend in een assenstelsel met oorsprong O op de grond. Punt P heeft dan coördinaten (-4, 2).

Nadat het touw wordt doorgesneden, gaat de hefboom draaien in de richting van de wijzers van de klok, tot deze draaiing door een verstelbaar stopblok wordt gestopt en de kogel wegvliegt. De draaihoek in de eindstand wordt de stophoek α genoemd, met 0 < α < 1/2π  radialen. In figuur 2 is de eindstand getekend.
       

       

2p.

10.

 Druk de coördinaten van P uit in de stophoek α op het moment dat de eindstand wordt bereikt.
     

 

Als de hefboom bij stophoek α tot stilstand komt, verlaat de kogel de hefboom en vliegt vervolgens door de lucht. De baan die P dan beschrijft is bij benadering gegeven door de bewegingsvergelijkingen:
       

       
Hierin is t de tijd in seconden vanaf het moment dat de kogel de hefboom verlaat. Verder zijn x(t) en y(t) in meters en is a in radialen.
Voor ytop , de y-coördinaat van het hoogste punt van de baan van P, geldt:    ytop = 2 + 24sinα - 20sin3α
       

5p.

11.

 Bewijs dat de formule voor ytop volgt uit de bewegingsvergelijkingen.
     

 

Uit de formule voor ytop kan de waarde van de stophoek a worden berekend waarvoor de kogel de grootst mogelijke hoogte bereikt. In dit optimale geval zijn de bewegingsvergelijkingen voor P bij benadering gelijk aan:
       

       

4p.

12.

 Toon met een berekening aan dat in dit geval inderdaad bij benadering geldt  y(t) = -5t2 + 12,3t + 4,5
     

 

De stophoek is zo ingesteld dat de kogel zo hoog mogelijk komt. Als de katapult, gemeten vanaf O, 24 meter van een 6 meter hoge vestingmuur staat, komt de kogel niet over de muur.
       

5p.

13.

 Bereken de afstand waarover de katapult minstens in de richting van de muur moet worden verschoven zodat de kogel wel over de muur komt. Geef het antwoord in gehele meters.
     

   
Door de asymptoot.
       

Voor  is de functie f gegeven door:

       

De functie g is de inverse van f.

In de volgende figuur zijn de grafieken van f en g getekend.
       

       

       

4p.

14.

 Bewijs dit.  
       

De functie h is gegeven door h(x) = | f (x) |.
In onderstaande figuur is de grafiek van h getekend. De grafiek van h heeft een horizontale asymptoot. Deze is in de figuur gestippeld weergegeven.
       

       
De grafiek van h snijdt de horizontale asymptoot in het punt A.
       

5p.

15.

 Bereken exact de x-coördinaat van A.
       
Parabool en cirkel.
       

Gegeven zijn het punt F(0, 4) en de parabool met vergelijking y = 1/8x2 + 2

Punt P op de parabool ligt rechts van de y-as en heeft x-coördinaat p.
De cirkel c met middelpunt F gaat door P.
In de volgende figuur is deze situatie voor een bepaalde waarde van p getekend.
       

       

Voor de lengte van de straal FP van de cirkel geldt:  FP = 1/8p2 + 2
       

4p.

16.

 Bewijs dit.  
       

Punt P' is de loodrechte projectie van P op de x-as en lijn m is de middelloodlijn van lijnstuk PP' .
Afhankelijk van de positie van punt P op de parabool hebben c en m nul, één of twee punten gemeenschappelijk. In onderstaande figuur is de situatie getekend waarin m en de cirkel elkaar op de y-as raken.
       

       

4p.

17.

 Bereken exact de waarde van p voor de in deze figuur getekende situatie.
       

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1.
   
2. Voor p = 0 vind je dat de hele oppervlakte van het gebied ingesloten door de x-as, de y-as en de grafiek van f gelijk is aan  2/3(0 + 9)1,5 = 2/3 • 27 = 18
De oppervlakte van V moet dus gelijk zijn aan 18/8
2/3 • (p + 9)1,5 = 18/8
(p + 9)1,5 = 27/8
p + 9 = (27/8)2/3 = 9/4
p = 9/4 - 9 =  -63/4
   
3.  √(x + 9)
spiegelen in de y-as geeft  √(-x + 9)
9 naar links schuiven geeft  √(-(x + 9) + 9) = √(-x) = g
snijpunt:  √(-x) = √(x + 9)
-x = x + 9
x = -41/2
 

  = π(0 - - 201/4)
= 201/4π
   
4. sint • cost = 1/4
1/2sin(2t) = 1/4
sin(2t) = 1/2
2t = 1/6π + k2π  ∨  2t = 5/6π + k2π
t = 1/12π + kπ  ∨  t = 5/12π + kπ
tussen 0 en 2π zijn dat   1/12π, 5/12π, 13/12π, 17/12π.   
   
5. P gaat door de oorsprong als cost = 0
Dat is bij t = 1/2π  en t = 3/2π

x ' = -sint
y' = costcost - sintsint

bij t = 1/2π  geeft dat  x' = -1 en y ' = -1
bij t = 3/2π  geeft dat  x' = 1 en y' = -1 
 

  De hoek is dus 90º  (kun je met een schetsje ook snel zien)
   
6. Stel  P = (0, p)
 

  Die staan loodrecht op elkaar als het inproduct nul is:  -2 • 6 + (3 - p)•(7 - p) = 0
-12 + 21 - 3p - 7p + p2 = 0
p2 - 10p + 9 = 0
(p - 9)(p - 1) = 0
p = 9  ∨  p = 1
Dat zijn dus de punten  (0, 1) en (0, 9)
   
7. Trek een lijn van M loodrecht op AB.  Die snijdt AB in het midden van RS.
AB heeft r.c.  (7 - 3)/(6 --2) = 1/2  dus de lijn heeft r.c.  -2  (loodrecht erop)
Die lijn gaat door M dus 0 = -2 •  -3 + b  dus b = -6
Het is de lijn  y = -2x - 6
AB is de lijn  y = 1/2x + 4

Snijden:  -2x - 6 = 1/2x + 4
-10 = 21/2x
x = -4   dus het snijpunt is  S(-4, 2)

MS2 = (-3--4)2 + (0 - 2)2 = 5
MS2 + (3√5)2 = r2
5 + 45 = r2
r = √50 = 5√2  
   
8. h7 = h0 • a7
h7 = 0,2h0
samen geeft dat   h0 • a7 = 0,2h0
a7 = 0,2
a = 0,21/7 = 0,79
   
9. 1,11 = 2 • √(h1/4,9)
0,555 = √(h1/4,9)
0,308025 = h1/4,9)
h1 = 1,5093225
 
0,68 = 2 • √(h4/4,9)
0,34 = √(h4/4,9)
0,1156 = h4/4,9)
h4 = 0,56644

h4 = a3 • h1  dus   0,56644 = a3 • 1,5093225
a3 = 0,37529
a = 0,375291/3 = 0,7213
h0 = h1/a = 2,09246 meter en dat is ongeveer 21 dm
   
10. sinα = PS/4  dus  PS = 4sinα
Dan is  yP = 2 + 4sinα

cosα = RS/4  dus  RS = 4cosα,
xP = -RS =  -4cosα
   
11. y '(t) = 0
y(t) = -5t2 + 2 + 20t • cosα√(sinα)  + 4sinα
Bedenk dat a een constante is, dus daar hoef je niet naar te differentiëren.

y' = -10t  + 20cosα√sinα
y ' = 0  ⇒  10t = 20cosα√sinα   ⇒  t = 2cosα√sinα

invullen in de y-vergelijking:
ytop = -5(2cosα√sinα)2 + 2 + 2 • 20 cosα√(sinα) • cosα√(sinα)  + 4sinα
ytop = -20cos2αsinα + 2 + 40cos2α + 4sinα
ytop = 20cos2αsinα + 2 + 4sinα
ytop = 20(1 - sin2α)sinα + 2 + 4sinα    (immers  cos2α + sin2α = 1)
ytop = 20sinα - 20sin3α + 2 + 4sinα
ytop = 2 + 24sinα - 20sin3α
   
12. Plot de grafiek van ytop en bereken met de GR het maximum:
Y1 = 2 + 24sinX - 20*(sin(X))^3
calc - maximum geeft  X = α  = 0,685 rad
(zet de GR op rad en kies window bijv.  xmin = 0 en xmax = 2)

dan is  y =  -5t2 + 2 + 20t • cos0,685√(sin0,685)  + 4sin0,685
y =  -5t2 + 2 + 20t • 0,774 • 0,795 + 4 • 0,633
y = -5t2 + 12,3t + 4,5
   
13. De hoogte van de kogel moet minstens gelijk zijn aan 6.
y = 6  geeft  -5t2 + 12,3t + 4,5 = 6
ABC-formule (of GR en intersect) levert dan  t = 2,33 Ú t = 0,13
Wat is dan de horizontaal afgelegde afstand van de kogel?
x(0,13) = 10,1 • 0,13 - 3,1 = -1,8 meter  en dat kan niet, dan zou de katapult voorbij de muur zijn gereden
x(2,33) = 10,1 • 2,33 - 3,1 = 20,4 meter

De afstand moet dus  24 - 20,4 = 3,6 meter kleiner worden gemaakt,
dus de katapult moet ongeveer 4 meter dichter bij de muur worden gezet.
   
14. y = ln((2x - 1)/(x + 2))
verwissel x en y en maak er weer van y = ....

x = ln((2y - 1)/(y + 2))
ex = (2y - 1)/(y + 2)
(y + 2)ex = 2y - 1
yex - 2y = -2ex - 1
y(ex - 2) = -2ex - 1
y(2 - ex) = 2ex + 1
delen door  2 - ex  geeft de gevraagde formule.
   
15. Als x naar oneindig gaat, gaat  (2x - 1)/(x + 2)  naar 2.
De asymptoot is dus  y = ln2.
|f(x)| = ln2  betekent dat  f(x) = ln2  ∨  f(x) = -ln2

f(x) = ln2  geeft  (2x - 1)/(x + 2) = 2 en dat geeft geen oplossing.

f(x) = -ln2 = ln(1/2)  geeft  (2x - 1)/(x + 2) = 1/2
2(2x - 1) = x + 2
4x - 2 = x + 2
3x =  4
x = 4/3
   
16. P = (p, 1/8p2 + 2)  en  F = (0, 4)
PF2  = (0 - p)2 + (4 - 1/8p2 - 2)2
PF2 = p2 + (2 - 1/8p2)2
PF2 = p2 + 4 - 1/2p2 + 1/64p4
PF2 = 1/64p4 + 1/2p2 + 4

is dat gelijk aan  (1/8p2 + 2)2  ????
(1/8p2 + 2)2 = 1/64p2 + 1/2p2 + 4
JA!
   
17. P = (p, 1/8p2 + 2)  en  F = (0, 4)
De afstand van F tot lijn m is FP  (straal van de cirkel) = 1/8p2 + 2  (vorige vraag)
Dus de afstand van O tot m  is  4 - (1/8p2 + 2) =  2 -  1/8p2
Dat moet de helft van yP zijn.
2  - 1/8p2  = 1/2 • ( 1/8p2 + 2)
2 - 1/8p2 = 1/16p2 + 1
3/16p2 = 1
p2 = 16/3
p = √(16/3)