VWO WB, 2015 - I   Pilot.

 

  

Wortelfuncties
       
In de figuur zijn de grafieken getekend van de functies f en g gegeven door  f(x) = √x  en  g(x) = 1/2√x.
Verder zijn de lijnen getekend met vergelijkingen x = a  en  x = 4  met  0 < a < 4.
       

       
In de figuur zijn twee vlakdelen grijs gemaakt. Het ene grijze vlakdeel wordt begrensd door de grafieken van f en g en de lijn met vergelijking x = a. Het andere grijze vlakdeel wordt begrensd door de grafiek van g, de x-as en de lijnen met vergelijkingen x = a  en  x = 4.
       

6p.

1.

 Bereken exact voor welke waarde van a deze vlakdelen gelijke oppervlakte hebben.
     

   

Gegeven is het punt A(2, 0) . Bij elk punt P op de grafiek van f  kan het midden van lijnstuk AP worden bepaald. Dat midden noemen we M.
Verder is de functie h gegeven door h(x) = √(1/2x - 1/2)
In onderstaande figuur zijn de grafieken van f en h getekend. Ook is voor een punt P het lijnstuk AP met midden M getekend
       

       

Er geldt: voor elk punt P op de grafiek van f ligt het punt M op de grafiek van h.
       

4p.

2.

 Bewijs dit.
       
Cirkels en lijnstuk.
       
Over de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 1 beweegt een punt A met bewegingsvergelijkingen:
       

       
Over de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 2 beweegt een punt B met bewegingsvergelijkingen:
       

       
In de figuren hieronder zijn de twee cirkels en het lijnstuk AB getekend voor de tijdstippen t = 0  en  t = 2.
       

       
Op de tijdstippen waarop B zich op de x-as bevindt, bevindt A zich op de lijn met vergelijking y = x of op de lijn met vergelijking y = -x.
       

5p.

3.

 Bewijs dit.  
     

 

In onderstaande figuur is het lijnstuk AB getekend op een tijdstip waarop het horizontaal is en boven de x-as ligt.
       

       
Er zijn twee tijdstippen waarop het lijnstuk AB horizontaal is en onder de x-as ligt.
       

6p.

4.

 Bereken voor één van deze tijdstippen de coördinaten van A, afgerond op één decimaal, en teken het bijbehorende lijnstuk AB in de figuur hieronder.
     

 

 

       

Op het interval  〈0, π〉  is er één tijdstip waarop lijnstuk AB raakt aan de kleinste cirkel. Zie de volgende figuur.
       

       

Op dit tijdstip staat de vector AB loodrecht op de vector OA
       

6p.

5.

 Bereken exact dit tijdstip.
       

 

 

Asymptoten, perforatie en linkertop.
       
Voor elke waarde van a wordt de functie fa gegeven door:
       

       

De grafiek van f5 heeft een verticale asymptoot en een scheve asymptoot. De twee asymptoten snijden elkaar onder een hoek β met β in graden. In de figuur is de grafiek van f5 met de asymptoten en hoek β weergegeven.
       

       

4p.

6.

 Bereken algebraïsch de waarde van β.
       

Er zijn waarden van a, zoals a = 5 (zie figuur), waarvoor de grafiek van fa twee toppen heeft. De top met de kleinste x-coördinaat noemen we de linkertop. Er is een waarde van a waarvoor de linkertop op de y-as ligt.
       

7p.

7.

 Bereken exact voor welke waarde van a de linkertop op de y-as ligt.
       

Er zijn twee waarden van a waarvoor de grafiek van fa een lijn met een perforatie is.
       

6p.

8.

Bereken exact, voor de grootste van die twee waarden van a, de coördinaten van de perforatie.
       
Loodrecht.
       

Gegeven zijn de punten O, A en B met coördinaten O(0, 0) , A(42, 0) en B(21, 21√3) . Driehoek OAB is gelijkzijdig.

Op zijde AB ligt punt C zo, dat AC = 2/3 • AB en op zijde BO ligt punt D zo, dat BD = 2/3 • BO. Punt E is het snijpunt van de lijnstukken OC en AD. Zie de figuur.
       

       
Punt E heeft coördinaten E(12, 6√3) .
       

7p.

9.

Laat met exacte berekeningen zien dat de x-coördinaat van E inderdaad gelijk is aan 12.
       

In onderstaande figuur is opnieuw driehoek OAB getekend, nu met de lijnstukken AE en BE.
       

       

3p.

10.

 Bewijs dat ∠AEB = 90º.
       
Hardheid.
       
De functie f wordt gegeven door  f(x) = √(25 - x2).
De grafiek van f  is een halve cirkel met middelpunt O(0, 0) en straal 5.

       

5p.

11.

 Bewijs dit.  
     

 

In onderstaande figuur is de grafiek van f getekend. We bekijken het deel van de grafiek tussen x = 5 - h  en  x = 5.
Door dit gedeelte te wentelen om de x-as ontstaat het bolsegment met dikte h. Zie de  figuur rechts.
       

       
Voor de grijs gemaakte oppervlakte A van het bolsegment, dus zonder de oppervlakte van de cirkelvormige linkerkant, geldt:

Met behulp van deze integraal kan exact worden berekend dat A = 10ph .
       

3p.

12.

 Bewijs dat  A = 10πh .
     

 

De formule A = 10πh  voor de oppervlakte van een bolsegment bewijst zijn nut bij de methode die de Zweed Brinell ontwikkelde voor het bepalen van de hardheid van materialen. Bij deze methode wordt gebruik gemaakt van een massieve bolvormige kogel die een diameter van 10 mm heeft. De kogel wordt met kracht tegen het te testen materiaal gedrukt, waardoor er in het materiaal een indruk in de vorm van een bolsegment ontstaat. De oppervlakte van dat bolsegment hangt af van de hardheid van het materiaal en de kracht waarmee wordt gedrukt.

Deze kracht mag niet zo groot zijn dat de kogel vervormt of voor meer dan de helft in het materiaal wordt gedrukt. In de praktijk wordt bij de hardheidsmeting volgens Brinell de diameter d (in mm) van de cirkelvormige rand van de indruk gemeten. In de volgende figuur is een dwarsdoorsnede getekend van een kogel met diameter 10 mm die een stukje in het materiaal is gedrukt. De diepte van de indruk is h (in mm).
       

       
Met behulp van deze figuur kan het volgende verband tussen h en d worden gevonden:

       

5p.

13.

 Bewijs de juistheid van deze formule.  
     

 

De hardheid volgens Brinell wordt aangeduid als HB. Deze hardheid wordt bepaald met de formule:  HB = 0,102 • F/A
Hierbij is F de kracht in newton (N) waarmee wordt gedrukt en A de oppervlakte van het bolsegment dat in het materiaal is gedrukt in mm2.

Bij een hardheidsmeting wordt de kogel met een kracht van 29400 N in het te testen materiaal gedrukt.
       

5p.

14.

 Bereken voor welke waarde van d de hardheid HB van het materiaal 340 is. Rond je antwoord af op één decimaal.
     

   

 

Symmetrisch gebied.
       
De functie f wordt gegeven door

       

De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de y-as.

Gegeven is p, met p > 0 . In de figuur is het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen met vergelijking x = -p en x = p grijs gemaakt.
       

       

De oppervlakte van dit gebied noemen we A( p) .

Een primitieve F van f wordt gegeven door:

       

       

4p.

15.

 Bewijs met behulp van de gegeven primitieve functie dat inderdaad geldt:
   

 
       

Als p onbegrensd toeneemt, nadert A( p) tot een limietwaarde L.
Er is een waarde van p waarvoor A( p) de helft is van L.
       

4p.

16.

 Bereken exact deze waarde van p.
       

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Snijpunt:  √x = 1/2√x  ⇒ 1/2√x = 0  ⇒ √x = 0  ⇒ x = 0
 
 
  gelijkstellen:   1/3a3/2 = 8/3 - 1/3a3/2
2/3a3/2 = 8/3
a3/2 = 4
 a = 42/3
   
2. P = (p, √p)  en  A = (2, 0)
M is het midden van AP dus heeft coördinaten  (1/2p + 1, 1/2√p)
Laten we kijken of M op de grafiek van h ligt :

1/2√p =??= √(1/2 • (1/2p + 1) - 1/2)
1/2√p =??= √(1/4p + 1/2 - 1/2)
1/2√p =??= √(1/4p)
1/2√p =??= √(1/4) • √p)
1/2√p =!!= 1/2√p 
   
3. B op  de x-as  ⇒  yB = 0  ⇒  2cos2t = 0  ⇒ cos2t = 0
2t = 1/2π + k2π  ∨  2t = -1/2π + k2π
t = 1/4 + kπ ∨  t =  -1/4π + kπ
Dat geeft de oplossingen  t = 1/4π, 3/4π, 5/4π,  7/4π
t = 1/4π  geeft   xA = 1/2√2  en  yA = 1/2√2
t =  3/4π geeft   xA = 1/2√2  en  yA = -1/2√2
t =  5/4π geeft   xA = -1/2√2  en  yA = -1/2√2
t =  7/4π geeft   xA = -1/2√2  en  yA = 1/2√2
Voor t = 1/4π  en  t = 5/4π  geldt   xA = yA dus ligt A op de lijn  y = x
Voor t = 3/4π  en  t = 7/4π  geldt   xA = -yA  dus ligt A op de lijn  y = -x
   
4. AB horizontaal:  yA = yB
Dat geeft  2cos(2t) = cost
Dit mag je natuurlijk met de GR (intersect) oplossen, maar we doen het natuurlijk liever algebraïsch:
2cos(2t) = cost
2(2cos2t - 1) = cost
4cos2t - cost - 2 = 0
ABC-formule:   cost =  (1 ± √(1 + 32))/8 = 1/8 ± 1/8√33
Onder de x-as is  cost negatief, dus  cost = 1/8 - 1/8√33  (≈ -0,593)
Dan is  xA = sint  =  ±√(1 - cos2t) =  ± 0,805
Dus  A = (0.8, -0.6)  of  A = (-0.8, -0.6)
De lijn y = -0,6 snijden met de cirkels geeft beide mogelijkheden hieronder.
 

   
5.

 

  bij een hoek van 90º moet dat nul zijn:
(2sin(2t) - sint) • sint + (2cos(2t) - cost) • cost = 0
2sin(2t)sint - sin2t + 2cos(2t)cost - cos2t = 0

omdat sin2t + cos2t = 1 geeft dat:
2sin(2t)sint + 2cos(2t)cost = 1
sin(2t)sint + cos(2t)cost = 1/2

Maar die linkerkant is precies gelijk aan  cos(2t - t)
cos(2t - t) = 1/2
cost = 1/2
t = 1/3π + k2π  ∨  x = -1/3π + k2π
Op dit interval geeft dat t = 1/3π
   
6.
  De scheve asymptoot is  y = 2x  en die maakt een hoek van tan-1(2) = 63º met de positieve x-as.
De hoek met de verticale asymptoot is dus 90 - 63 = 27º
   
7.

  Voor x = 0  moet daar nul uitkomen, dan ligt de top op de y-as.
Dat geeft  (10a - 8)/(-a)2 = 0
10a - 8 = 0
a = 4/5 
nog even controleren dat het inderdaad de linkertop is:
(8x - 10)(2x - 0,8) - (4x2 - 10x + 4)• 2 = 0   (noemer van f ' moet nul zijn)
16x2 - 6,4x - 20x + 8 - 8x2 + 20x - 8 = 0
8x2 - 6,4x = 0
x(8x - 6,4) = 0
x = 0  ∨  x = 0,8
x = 0 is inderdaad de linkertop.
 
   
8. er moet 0/0 uit de breuk komen,
dus moet 4x2 - 10x + 4 = 0  geeft  x = 1/2  ∨  x = 2
Dan moet 2x - a ook nul zijn
x = 1/2  geeft  2 • 1/2 - a = 0  dus  a = 1
x = 2 geeft  2 • 2 - a = 0  dus  a = 4
De grootste is a = 4
4x2 - 10x + 4 = (x - 2)(4x - 2)
delen door 2x - 4 = 2(x - 2)   geeft als overblijfsel  y = (4x - 2)/2 = 2x - 1
De perforatie is dan  (2, 3)
   
9.
  C is het punt  (28, 14√3)
OC is de lijn  y = 0,5√3 • x
   
 
  D is het punt  (7, 7√3)
A = (42, 0) dus AD heeft helling  7√3/-35 = -0,2√3
AD is de lijn   0 = -0,2√3 • 42 + b    geeft dan  b = 8,4√3    

OC en AD snijden:
0,5√3 • x = -0,2√3 • x + 8,4√3
0,5x = -0,2x + 8,4
0,7x = 8,4
x = 12
   
10. E(12, 6√3)  en A = (42,0)  dus AE heeft r.c.  (0 - 6√3)/(42 - 12) = -0,2√3
E(12, 6√3)  en B = (21, 21√3) dus BE heeft r.c.  (6√3 - 21√3)/(12 - 21) = -15√3/-9 = 5/3√3
vermenigvuldig de r.c. met elkaar:  5/3√3 • -0,2√3 = -1
Dus dat staat loodrecht op elkaar.
   
11.  f(x) = √(25 - x2) = (25 - x2)1/2 
met de kettingregel:  f '(x) =  1/2 • (25 - x2)-1/2 • -2x  =  x • (25 - x2)-1/2  
(f ' )2  = x2 • (25 - x2)-1  
 
   
12.
  = 5 • 5 - 5(5 - h) = 5h
Dus  A = 2π • 5h = 10πh
   
13.
  Pythagoras in de gekleurde driehoek:   (5 - h)2 + (0,5d)2 = 52
(5 - h)2 = 25 - 0,25d2
4 • (5 - h)2 = 100 - d2
(5 - h)2 = (100 - d²)/4
 
 
   
14. 340 = 0,102 • 29400/A
29400/A = 340/0,102 = 3333,33...
A = 29400/3333,33... = 8,82

8,82 = 10πh 
h = 8,82/10π  = 0,2807...

0,2807 = (10 - √(100 - d²))/2
0,5614.. = 10 - √(100 - d2)
√(100 - d2) = 9,4385...
100 - d2 = 89,085...
d2 = 10,9146...
d ≈ 3,3 mm
   
15.
 
   
16. als  p naar oneindig gaat dan gaat de breuk naar nul, dus gaat A naar 1.
A = 1/2  geeft
 
  4 - ep =  1
  ep = 3
p = ln3.