VWO WB, 2016 - II   Pilot.

 

De derde macht.
       
De functie f wordt gegeven door f (x) = (x + 1)3 − 1. In de figuur is de grafiek van f weergegeven.

De functie g is de inverse functie van f.
     

3p.

1.

 Bewijs dat g inderdaad de inverse functie is van f.
     
De grafieken van f en g hebben gemeenschappelijke punten.
     

6p.

2.

 Bereken exact de coördinaten van deze punten.
       
Spots
       

Veel industriële en medische processen worden gestuurd door een digitale camera die gekoppeld is aan een computer. Hierbij is een gelijkmatige verlichting van het werkoppervlak van groot belang. Voor de belichting gebruikt men vaak een of meer kleine spots.

Zie figuur 1.

Om de belichting goed te kunnen instellen is de hoogte van de spots boven het werkoppervlak variabel. We bekijken eerst de situatie met één spot S.

Zie figuur 2.

       

De waargenomen verlichtingssterkte E (in lux) in een punt P van een horizontaal oppervlak kan berekend worden met de formule:

Hierin is:
-

Ispot een constante: de door de spot uitgezonden lichtstroom (in microlumen);
- r de afstand (in mm) tot de spot;
-

α de hoek (in radialen) tussen de lichtstraal en de loodlijn in P op het werkoppervlak
       

In figuur 2 is d de horizontale afstand in mm van de spot tot P en x de verticale afstand in mm van de spot tot P. Er geldt:
       

       

4p.

3.

 Bewijs dit.  
       
We kiezen d = 10 . Er is een waarde van x waarvoor E maximaal is.
     

7p.

4.

Bereken algebraïsch deze waarde van x. Rond je antwoord af op één decimaal.
     

 

In de rest van deze opgave bekijken we de situatie met twee identieke spots. Voor elke spot geldt: Ispot = 500.
De spots hebben horizontaal een onderlinge afstand van 40 mm en schijnen recht naar beneden. De verticale afstand van de spots tot het werkoppervlak is 25 mm. Zie figuur 3. Hierin is ook d aangegeven, de horizontale afstand in mm van de linker spot tot P.  De horizontale afstand in mm van de rechter spot tot P is dan 40 − d .
       

       

De totale verlichtingssterkte Etotaal in een punt op het werkoppervlak is de som van de waargenomen verlichtingssterktes in dat punt van beide spots.

Het deel van het werkoppervlak tussen de spots wordt voldoende gelijkmatig belicht als de laagste waarde van Etotaal in dat deel minstens 80% van de hoogste waarde van Etotaal bedraagt.
       

5p.

5.

Onderzoek of bij de ingestelde verticale afstand van 25 mm het deel van het werkoppervlak tussen de spots voldoende gelijkmatig belicht wordt.
     

  

 

Twee snijdende cirkels.
       

Gegeven is cirkel c1 met straal 1 en middelpunt M.
Op de cirkel ligt punt N.
Punt N is het middelpunt van cirkel c2 met straal r waarbij 1< r < 2 .

De twee cirkels snijden elkaar in de punten A en B. Zie de figuur hiernaast.

Lijn MN snijdt cirkel c2 in punt C en lijnstuk AB in punt D. Lijnstuk AB staat
loodrecht op lijn MN. 

Er geldt DN = 1/2r2 .
     

4p.

6.

Bewijs dat inderdaad geldt DN = 1/2r2 .
       

Je kunt de waarde van r zo kiezen dat CD en DM even lang zijn. Dan ontstaat de situatie in de figuur hiernaast
     

4p.

7.

Bereken exact deze waarde van r.
       
Sinusoïde met perforaties.
       
De functie f wordt gegeven door:

       

We bekijken in deze opgave alleen het deel van de grafiek van f waarvoor x ≥ 0 en x ≤ 2π.

De grafiek van f is een sinusoïde met perforaties. In de figuur is de grafiek van f weergegeven. De perforaties van de grafiek zijn in de figuur niet aangegeven.
       

       

5p.

8.

 Bereken exact de coördinaten van de perforaties van de grafiek van f .
       

 

 

Getransformeerde grafiek.
       
De functies f en g worden gegeven door:
       

De grafieken van f en g staan in onderstaande figuur. Ze snijden elkaar in de punten S en T.
       

       

Lijn l met vergelijking x = p snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B. Het punt op lijn l met y-coördinaat 1 noemen we P. In de figuur is de situatie weergegeven waarbij l rechts van T ligt.
       

3p.

9.

 Bewijs dat in deze situatie AP = BP.
     

 

Ook voor waarden van p waarvoor l niet rechts van T ligt, geldt dat AP = BP. Hieruit volgt dat de grafieken van f en g elkaars gespiegelde zijn in de lijn met vergelijking y = 1. Deze lijn is getekend in figuur 2.

In onderstaande figuur is het gebied rechts van de y-as dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g en de y-as, grijsgemaakt.
       

       
Dit gebied wordt gewenteld om de y-as.
       

5p.

10.

 Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam.
     

 

De grafiek van f  wordt 2 naar rechts verschoven. In de figuur hieronder staan de grafiek van f en de verschoven grafiek.
       

       

8p.

11.

 Bewijs dat ze elkaar loodrecht snijden.
     

 
Droogligtijd.
       

In de Waddenzee varieert de waterhoogte in de loop van de tijd. Eb en vloed wisselen elkaar voortdurend af in een getijdencyclus met een periode van ongeveer 745 minuten. De waterhoogte in het oostelijke deel van de Waddenzee kan worden benaderd met de formule:

       

Hierbij is h de waterhoogte in cm ten opzichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil) en is t de tijd in minuten. Tijdstip t = 0 komt overeen met een moment waarop h = 125 .

In het oostelijk deel van de Waddenzee liggen verschillende zandbanken die gedurende een deel van een getijdencyclus droog komen te liggen.
De droogligtijd D is het aantal minuten per getijdencyclus dat een zandbank niet geheel onder water ligt. De droogligtijd hangt af van de hoogte van de zandbank: de hoogte van het hoogste punt van de zandbank ten opzichte van NAP.

In het oostelijk deel van de Waddenzee bevindt zich een zandbank met een hoogte van 40 cm boven NAP.
In onderstaande figuur is de grafiek van de waterhoogte h getekend. Tevens is de hoogte van deze zandbank weergegeven. Gedurende één periode zijn er twee tijdstippen waarop de waterhoogte h gelijk is aan de hoogte van de zandbank. We noemen deze tijdstippen t1 en t2 . Het verschil tussen t2 en t1 is de droogligtijd D.
       

       

4p.

12.

Bereken de droogligtijd D van deze zandbank. Rond je antwoord af op een geheel aantal minuten.
     

 

Op drooggevallen zandbanken kunnen waddenvogels voedsel vinden. Daarom willen natuuronderzoekers het verband weten tussen de hoogte van de zandbanken en de tijd dat ze droog liggen.

Met z duiden we de hoogte in cm van de zandbank aan, ten opzichte van NAP. Er geldt dan:
       

       

5p.

 13. Bewijs dit.  
     

 

In figuur 2 is de grafiek van z getekend voor waarden van D tussen 0 en 745.

Ook kan een grafiek van het verband tussen D en z worden getekend waarbij z op de horizontale as en D op de verticale as wordt gekozen. Zie figuur 3.
       

       

In onderzoeksrapporten wordt, in plaats van de formule die bij figuur 3 hoort, ook wel de volgende derdegraads formule gebruikt:  D = 8 • 10−5 z3 +1,7z + 372,5

De bijbehorende grafiek staat in figuur 4.

De grafieken in figuren 3 en 4 lijken op elkaar. Zo verschillen de hellingen van beide grafieken in het punt (0 ; 372,5) niet veel.
De helling in een punt op de grafiek van figuur 3 kan worden berekend met behulp van de helling in het overeenkomstige punt in figuur 2: er geldt dat het product van deze twee hellingen gelijk is aan 1.
       

5p.

14.

Bereken op algebraïsche wijze bij elk van de figuren 3 en 4 de helling van de grafiek in het punt (0 ; 372,5) . Rond je antwoorden af op één decimaal.
     

  

 

Punt bewegend over een lijn.
       
Lijn k is de lijn met vectorvoorstelling

     

Punt P beweegt over lijn k.
Lijn m gaat door de punten A(0, 2) en B(6, 0) . Zie de figuur.
     

5p.

15.

Bereken exact de coördinaten van P in de situatie dat AP = BP .
       

Er zijn twee posities van P waarvoor een cirkel met middelpunt P bestaat die zowel raakt aan de y-as als aan lijn m. In onderstaande figuur zijn deze twee cirkels getekend.
       

       

7p.

16.

Bereken van beide cirkels de straal. Rond je antwoord af op twee decimalen.
       
 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. f :    y = (x + 1)3 − 1
x en y omwisselen en dan weer gaan schrijven als y = ...
x = (y + 1)3 - 1
x + 1 = (y + 1)3
3√(x + 1) = y  + 1
3√(x + 1) - 1 = y
Dat is inderdaad g.
   
2. gemeenschappelijke punten van een functie met zijn inverse liggen op de lijn y = x
dus (x + 1)3 - 1 = x
x3 + 3x2 + 3x + 1 - 1 = x
x3 + 3x2 + 2x = 0
x(x2 + 3x + 2) = 0
x(x + 1)(x + 2) = 0
x = 0   ∨  x = -1  ∨  x = -2
Dat zijn de punten  (0, 0) en  (-1, -1) en (-2, -2)
   
3. Pythagoras:  r2 = x2 + d2  
cosa =  x/r
invullen in de E-formule:  
 
   
4. De afgeleide moet nul zijn.
Met de quotiëntregel:
 
  Dat is nul als de teller nul is:
(x2 + 100)1,5 - 1,5x(x2 + 100)0,5  • 2x = 0
(x2 + 100)1,5 - 3x2(x2 + 100)0,5 = 0
(x2 + 100)0,5  •  {(x2 + 100) - 3x2} = 0
(x2 + 100)0,5 = 0   ∨   -2x2 + 100 = 0
De eerste geeft geen oplossing. De tweede geeft  x2 = 50  dus  x = √50  (of -√50 maar dat kan niet)
Dus  x = 7,1 mm
   
5. Voor de totale verlichtingssterkte in P moet je de E-waarden van beide spots bij elkaar optellen:
 
  Invoeren in de GR bij Y1   (window bijv.  Xmin = 0, Xmax = 40,   Ymin = 0,05 en Ymax = 0,08)
en dan calc - maximum en calc - minimum
geeft een maximum van  0,0736  (voor d = 1,92)
geeft een minimum van  0,0606 (voor d  = 20)
het minimum is  0,0606/0,0736 • 100% = 82% van het maximum.
Het werkoppervlak wordt dus voldoende belicht.
   
6. Stel DN = x
Dan is  DM = DN - MN = DN - 1 = x - 1

Pythagoras in driehoek ADN:  x2 + AD2 = r2
Pythagoras in driehoek  ADM:  (x - 1)2 + AD2 = 1
De eerste geeft  AD2 = r2 - x2  en dat kun je invullen in de tweede:
(x - 1)2 + r2 - x2 = 1
x2 - 2x + 1 + r2 - x2 = 1
2x = r2
x = 1/2r2
   
7. DM = DN − 1 = 1/2r2 − 1
CD = 1/2CM = 1/2(r − 1)
Die zijn gelijk als  1/2r2 − 1 =  1/2(r −1)
r2 - 2 = r - 1
r2 - r - 1 = 0
r = (1 ±√(5))/2
r = 1/2 + 1/2√5   (de oplossing met -  voldoet niet, want geeft negatieve r)
   
8. Je vindt een perforatie als zowel de teller als de noemer nul zijn.
1 + cos(2x) = 0
cos(2x) = -1
2x = π + k2π
x = 1/2π + kπ

cos(x) = 0
x = 1/2π + k2π  ∨  x = -1/2π + k2π

Beiden zijn nul als  x = 1/2π  en  x = 3/2π
Als cosx ongelijk aan nul, is geldt
 

  als cos nadert naar nul, dan nadert dit naar 1.
De perforaties zijn dus  (1/2π, 1) en (3/2π, 1)
   
9. yA =  ln(p2 + 1)
yP = 1  dus  AP = ln(p2 + 1) - 1

yB = ln(e2/(p2 + 1) = ln(e2 ) - ln(p2 + 1) = 2 - ln(p2 + 1)
yP = 1  dus  BP = 1 - (2 - ln(p2 + 1)) = 1 - 2 + ln(p2 + 1) = ln(p2 + 1) - 1

Die zijn inderdaad gelijk.
   
10. Omdat de grafieken symmetrisch zijn kun je de onderste helft omwentelen en dan je antwoord met twee vermenigvuldigen.
 
  y = ln(x2 + 1) 
ey = x2 + 1
x2 = ey - 1
 
  = 2π {(e - 1) - (1 - 0)} = 2π(e - 2)
   
11. De verschoven grafiek heeft vergelijking  y = ln((x - 2)2 + 1)
snijpunt:   ln(x2 + 1) = ln((x - 2)2 + 1)
x2 + 1 = (x - 2)2 + 1
x2 + 1 = x2 - 4x + 4 + 1
4x = 4
x = 1

oorspronkelijke afgeleide:   f ' =  1/(x² + 1) • 2x   dus  f '(1) = 1
verschoven afgeleide:   f ' =  1/((x - 2)² • 2(x - 2)  dus  f '(1) =  -1
het product van de richtingscoëfficiënten is -1 • 1 = -1  dus de grafieken snijden elkaar loodrecht.     
   
12. 125cos(2π/745 • t) = 40
cos(2π/745 • t) = 0,32
2π/745 • t = 1,245  + k2π   ∨  2π/745 • t  = -1,245 + k2π
t = 147,62 + k • 745  ∨   t = 597,38 + k • 745
Daartussen ligt  D = 450 minuten

(het mag ook met de GR:  Y1 = h en Y2 = 40 en dan intersect)
   
13. z = h(t1) = 125 • cos(2π/745 • t1)
Als de droogligtijd D is, dan blijft er van de periode van 745 minuten nog  (745 - D) minuten over waarin het water hoger staat dan de zandbank.
Uit de symmetrie van de grafiek volgt dat dat er aan beide zijden een stuk van 0,5(745 - D) zit, en dat is gelijk aan t1.
t1 = 0,5(745 - D) invullen in de z-formule:
z = 125 • cos(2π/745 • (0,5 • (745 - D))
z = 125 • cos(π/745 • (745 - D))
z = 125 • cos(π - π/745 • D)
   
14. figuur 3:
bereken de helling van het punt (372.5,  0) in figuur 2
z ' = -125 • sin(π - 0,0042 • D) • -0,0042
z ' = 0,527 • sin(π - 0,0042D)
z '(372,5) = 0,527
Dus de helling in figuur 3 is  1/0,527 ≈ 1,9 

figuur 4:
D '= 3 • 8 • 10-5 • z2 + 1,7
D'(0) = 1,7
   
15. P = (2 + 4t, 1 + 5t)
A = (0, 2) en B = (6, 0)
AP2  = (2 + 4t)2 +  (-1 + 5t)2
BP2 = (-4 + 4t)2 + (1 + 5t)2
gelijkstellen:
 (2 + 4t)2 +  (-1 + 5t)2  =  (-4 + 4t)2 + (1 + 5t)2
4 + 16t + 16t2 + 1 - 10t + 25t2 = 16 - 32t + 16t2 + 1 + 10t + 25t2
6t + 5 = -22t + 17
28t = 12
t = 3/7
Dan is  P = (35/7, 31/7)
   
16. De afstand van P tot lijn m moet gelijk zijn aan de afstand van P tot de y-as.
m gaat door (0, 2) en (6, 0) en heeft r.c.  -2/6 = -1/3
m heeft vergelijking  y = -1/3x + 2  en dat is hetzelfde als  x + 3y - 2 = 0
 
  d(P, y-as) = xP = |2 + 4t|
19t - 1 = √10(2 + 4t)  ∨ 19t - 1 = -√10(2 + 4t)
t(19 - 4√10) = 1 + 2√10  ∨  t(19 + 4√10) = 1 - 2√10
t = 1,15  ∨  t = -0,17
de straal is  dan   xP  en dat is 1,33 of 6,61