VWO WB, 2016 - I    Pilot.
Kettinglijn.
       
De functie f  is gegeven door: 

In de figuur hiernaast is de grafiek van f, een zogenaamde kettinglijn, op het domein [0,6] getekend. Punt T is het laagste punt van de grafiek en punt A is het gemeenschappelijke punt van de grafiek met de y-as.
 
De x-coördinaat van T is ongeveer 1,4.
     
4p.

1.

 Bereken exact de waarde van de x-coördinaat van T.
     

 
In de figuur hiernaast zijn de grafiek van de functie f en de parabool door A met top T getekend. In deze figuur is te zien dat de parabool de kettinglijn aanvankelijk goed benadert, maar dat voor grotere waarden van x de benadering minder goed wordt.
Van de parabool door A met top T kan een vergelijking van de vorm   y = a(x - b)2 + c  worden opgesteld.

     
6p.

2.

 Bereken de waarde van x waarvoor het (verticale) hoogteverschil tussen de kettinglijn en deze parabool gelijk is aan 1.
Rond je antwoord af op één decimaal.
     

 
Automotor
       
In een automotor wordt de op- en neergaande beweging van een zuiger via een drijfstang omgezet in een draaiende beweging. In de figuur hiernaast zijn twee standen getekend. In de eerste stand beweegt de zuiger omlaag en in de tweede stand omhoog.

In de figuur hieronder zijn vier standen schematisch getekend. A is een vast punt, D beweegt verticaal over AB en C draait over een cirkel met straal 1 en middelpunt A waarbij CD een vaste lengte 4 heeft.

De grootte van hoek CAD (in radialen) noemen we α. Punt E is de loodrechte projectie van C op lijn AD.

       

       

Punt D beweegt op en neer tussen zijn hoogste punt B (α = 0 en α = 2π) en zijn laagste punt O (α = π).

De afstand van D tot B noemen we s.
 s hangt af van α.

       
5p.

3.

Bewijs dit voor de meest linkse van de in de figuur hierboven getekende standen (dus voor  0 < α < 1/2π)
     

 

In de techniek wordt s soms benaderd met behulp van de formule   z = 1 − cos(α) + 1/8sin2(α) .

Om te onderzoeken of de formule z = 1 − cos(α) + 1/8sin2(α)  een goede benadering voor s geeft, wordt het maximale verschil tussen s en z  berekend.
       
3p.

4.

 Bereken in drie decimalen nauwkeurig dit maximale verschil.
     

 
Zowel in B als in O is de snelheid van de zuiger gelijk aan 0.
Tijdens de beweging wordt voor een waarde van α, met 0 < α < π, de maximale zuigersnelheid bereikt.
       
4p.

5.

Stel een formule voor de afgeleide van z op en bereken hiermee de maximale zuigersnelheid. Rond je antwoord af op twee decimalen.
     

  

 

Een driehoek draaiend over een cirkel.
       

Gegeven is de cirkel met vergelijking (x − 1)2 + y2 =1. Voor elke waarde van a is gegeven de lijn met vergelijking y = ax . Elk van deze lijnen snijdt de cirkel in twee punten, namelijk in O en S. De coördinaten van S zijn afhankelijk van a.

De vector SP is het beeld van SO bij een rotatie om S over 90° . Zie de figuur hiernaast, waarin ook driehoek OPS is weergegeven.

Voor de coördinaten van P geldt:
     

     

7p.

6.

 Bewijs dat deze formules voor xP en yP correct zijn. 
       

Bij elke waarde van a hoort een positie van P. In de figuren hieronder is voor twee waarden van a deze positie getekend. Als a varieert, beweegt P over een cirkel door O. Deze cirkel is gestippeld getekend.
       

       

5p.

7.

 Stel van de gestippelde cirkel een vergelijking op.
       
Er is een waarde van a waarvoor xP maximaal is.
       

5p.

8.

 Bereken exact deze waarde van a.
       
Snelheid op een baan
       

Voor 0 £ t £ π is de baan van het punt P gegeven door de volgende  bewegingsvergelijkingen:
       

       
In de figuur is de baan van P weergegeven.

Op t = 0 bevindt P zich in het hoogste punt A(0,1) van de baan.
Op t = π bevindt P zich in het laagste punt C(0, −1) van de baan.
Tussen t = 0 en t = π snijdt de baan de y -as één keer in het punt B.
     

     
8p. 9. Bereken exact de snelheid van P in punt B.



 
     

 

 

Metselboog.
       

In sommige gebouwen zijn boven een raam of een deur bakstenen gemetseld in de vorm van een cirkelboog. Zie de figuur linksonder.
Om deze bakstenen tijdens de bouw op de juiste wijze te kunnen plaatsen, wordt gebruikgemaakt van een houten mal, een zogenoemde metselboog. Zie de figuur rechts.
       

       

De metselaar vraagt aan de timmerman om een metselboog te maken.
De breedte moet 90 cm worden en de hoogte 18 cm. In onderstaande figuur is het vooraanzicht van de metselboog met de genoemde maten weergegeven.
       

       

De bovenrand van de metselboog is een deel van een cirkel. Om de metselboog te kunnen maken, moet de timmerman de straal van deze cirkel berekenen.
       

5p.

10.

Bereken algebraïsch deze straal. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm.
       
Vierkant bij een grafiek.
       

 

Van vierkant ABCD liggen de hoekpunten A en B op de x-as en het hoekpunt D op de grafiek van f.

Zie de figuur hiernaast.

De x-coördinaten van A en B noemen we respectievelijk a en b,
met 0 < a < b .
De coördinaten van D zijn dan (a, 16/√a)

Voor a = 1 ontstaat het vierkant met zijde 16.
V is het deel van dit vierkant dat zich boven de grafiek bevindt.
Vlakdeel V wordt gewenteld om de x-as.
     

5p.

11.

 Bereken exact de inhoud van het bijbehorende omwentelingslichaam.
     

 
Hieronder zijn enkele mogelijke situaties voor vierkant ABCD getekend.
       

       

Bij de getekende situaties is de afstand van punt B tot de oorsprong aangegeven. Deze afstand b hangt af van a, de x-coördinaat van A. Als a vanaf 0 toeneemt, neemt b eerst af en vervolgens weer toe. Er is dus een waarde van a waarvoor b minimaal is.
       
5p. 12. Bereken exact de minimale waarde van b.
     

 
Limietpunt.
       
Voor c > 0 is de functie fc gegeven door:

       

3p.

13.

Bewijs dat voor elke waarde van c de functie fc de inverse is van zichzelf.
       

Punt S is het punt met coördinaten (1, 1) .
In onderstaande figuur is voor een waarde van c de grafiek van fc weergegeven.
       

       

De grafiek van fc is puntsymmetrisch ten opzichte van S als voor elke waarde van p geldt:
       

       

3p.

14.

Bewijs met behulp van deze formule dat voor elke waarde van c de grafiek van fc puntsymmetrisch is ten opzichte van S.
       

Lijn k is de lijn met vergelijking y = x . Lijn k snijdt de grafiek van fc in twee punten. Punt A is het linker snijpunt.
In onderstaande figuur is de situatie uitgebreid met A en k.
       

       

Als c groter wordt, verschuift A over lijn k, waarbij zowel de x-coördinaat als de y-coördinaat van A toenemen.
Als c onbegrensd toeneemt, naderen zowel de x-coördinaat als de y-coördinaat van A tot een limietwaarde. Het punt A nadert daarom tot een vast punt: het limietpunt van A.
       

5p.

15.

Druk de coördinaten van A uit in c en bewijs met behulp van deze coördinaten dat S het limietpunt is van A.
       
Vier vierkanten.
       

Gegeven zijn twee vierkanten, één met zijde p en één met zijde q. De vierkanten hebben één hoekpunt gemeenschappelijk.
De hoeken die de zijden van de vierkanten met elkaar maken in het gemeenschappelijke hoekpunt noemen we α en β.

Zie de figuur hiernaast.
De figuur hieronder is een uitbreiding van deze figuur. Er zijn twee vierkanten
toegevoegd:
-

een vierkant met zijde r dat met elk van de vierkanten uit de figuur hiernaast één hoekpunt gemeenschappelijk heeft;
- een vierkant met zijde s dat met elk van de vierkanten uit de figuur hiernaast één hoekpunt gemeenschappelijk heeft.
       

       

In deze laatste figuur zijn de vierkanten met zijden p en q lichtpaars gekleurd; van elk van de vierkanten met zijden r en s is de helft donkerpaars gekleurd.
       

6p.

16.

Bewijs dat de totale oppervlakte van de lichtpaarse delen gelijk is aan de totale oppervlakte van de donkerpaarse delen.
       

 

 

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1.
 
  ln4  = 1,386... ≈ 1,4
   
2. De top is  T = (ln4, 3.5)  dus b = ln4  en  c = 3,5
A = (0, 4)   en dat geeft  a(0 - ln4)2 + 3,5 = 4  en dan is  a = 0,5/ln24 = 0,26017....
Het hoogteverschil is het verschil tussen beide functies.
Y1 = 0,5e^(0,5X)+2e^(-0,5X)+1,5
Y2 = 0,26017(X - ln(4))^2 + 3,5
Y3 = Y1 - Y2   (de kettinglijn ligt boven de parabool)
Y4 = 1
calc - intersect van Y3 en Y4  geeft  X = 5,1236... ≈ 5,1
   
3. CD = 4 en  AC = 1, dus  AB = 5  (zie de meest rechtse figuur)
DB = 5 - AD = 5 - AE - ED    ......(1)
driehoek CEA:    AE = cosα
CE = sinα en dan Pythagoras in driehoek CED geeft  42 = sin2α + ED2   dus  ED = Ö(16 - sin2α)
Dan geeft  (1)  dat  DB = 5 - cosα - Ö(16 - sin2α) 
   
4. Y1 = 5 - cos(X) - √(16 - (sin(X))2)
Y2 = 1 - cos(X) + (sin(X))^2/8
Y3 = Y1 - Y2
calc = maximum van  Y3  voor X tussen 0 en 2π 
window:  Xmin = 0,  Xmax = 2π,  Ymin = -0.005 en Ymax = 0.005
geeft  maximale afwijking  -0,002
   
5. z = 1 − cos(α) + 1/8sin2(α)
z' = sin(α) + 2 • 1/8 • sinα • cosα = 0

Y1 = sin(X) + 2 • 1/8 • sin(X) • cos(X)
calc - maximum  geeft  z' = 1,03
   
6. (x − 1)2 + y2 = 1  en y = ax  geeft:
(x - 1)2 + (ax)2 = 1
x2 - 2x + 1 + a2x2 = 1
x(x - 2 + a2x) = 0
x = 0  ∨  x - 2 + a2x = 0

x - 2 + a2x = 0 geeft  x(1 + a2) = 2  dus  x = 2/(1 + a2)  en dan is  y = ax =  2a/(1 + a2)
 

  In die laatste vector staan de coördinaten van P
   
7. a = 1  geeft  P(2, 0)
a = -1 geeft  P(0, 2)
De cirkel gaat door  A(2, 0) en B(0, -2) en (0, 0)
Het middelpunt is dus  (1, -1)  (snijpunt van de middelloodlijnen van OA en OB)
De straal is √2  (afstand van O tot (1, -1)
De vergelijking is  (x - 1)2 + (y + 1)2 = 2
   
8. x is maximaal als P op dezelfde hoogte als het middelpunt van de cirkel ligt, dus y = -1
(2a - 2)/(1 + a2) = -1
2a  -  2 = -1 • (1 + a2)
2a - 2 = -1 - a2
a2 + 2a - 1 = 0
a  = (-2 ± √8)/2  = -1 ± √2
Dat heeft de twee snijpunten van de cirkel met y = -1
als a = 1 - √2 is x negatief  (2a + 2 is dan negatief) dus dat is het linker snijpunt.
x is het grootst  bij  a = -1 + √2
   
9. x = 0  geeft  sint + sin2t = 0
sint + 2sintcost = 0
sint(1 + 2cost) = 0
sint = 0  ∨  cost = -1/2
t = 0  ∨  t = π  ∨  t = 2/3π
De laatste is die van  punt B

x '(t) = cost + 2cos2t  dus  x'(2/3π) = -1/2 + 2 • -1/2 = -11/2
y' (t) = -sint  dus  y'(2/3π) = 1/2√3

de snelheid is √((11/2)2 + (1/2√3)2)  = √(9/4 + 3/4) = √(12/4) = √3    
   
10. Zie het schetsje hiernaast.

x2 + 452 = (x + 18)2
x2 + 2025 = x2 + 36x + 324
36x = 1701
x = 47,25
r = 47,25 + 18 = 65,25 ≈ 65 cm.

   
11. Eerst het deel onder de grafiek wentelen om de x-as:
 
  = π(256ln16 - 256ln1) = 256πln16

DC wentelen om de x-as geeft  een cilinder met inhoud  π • 162 • 15 = 3840π

Het gevraagde omwentelingslichaam heeft inhoud  3840π - 256πln16
   
12. AD = 16/√a
b = OA + AB = a + AD = a + 16./√a

b'  =  1 - 8a-1,5 = 0
8a1,5 = 1
a1,5 = 8
a = 81/1,5 = 82/3  = 4
dan is b = 4 + 16/√4 = 12  
   
13. y = 1/(c(x - 1)) + 1
verwissel x en y en ga dat herschrijven als y = ...
x = 1/(c(y - 1)) + 1
x - 1 = 1/(c(y - 1)
c(y - 1) = 1/(x - 1)
y - 1 = 1/(c(x - 1))
y = 1/(c(x - 1)) + 1
Dat is inderdaad dezelfde functie.
   
14.
  f(1 + p) + f(1 - p) = 1/cp + 1 + 1/-cp + 1  = 2
dat klopt dus.
   
15. y = x geeft
1/c(x - 1)) + 1 = x  vermenigvuldig met c(x - 1):
1/(c(x - 1)) = x - 1
1/c = (x - 1)2
x - 1 = ±√(1/c)
x = 1 ± √(1/c)
Als c naar oneindig gaat, gaat die wortel naar nul, dus gaat x naar 1.
Maar dan gaat y ook naar 1, want y = x
Dus S is het limietpunt.
   
16. tweemaal de cosinusregel:
s2 = p2 + q2 - 2pqcos(β)
r2 = p2 + q2 - 2pqcos(α)

maar α + β + 2 • 90 º = 360º  dus  β = 180º - α
dan is  cos(β) = cos(180º - α) = -cosα
de eerste cosinusregel geeft dan  s2 = p2 + q2 + 2pqcosα

tel nu beide vergelijkingen bij elkaar op:  r2 + s2 = 2(p2 + q2 )
p2 + q2 = 1/2(r2 + s2)
links staat de oppervlakte van de lichtpaarse vierkanten, rechts staat de helft van de oppervlakte van de donkerpaarse vierkanten......