VWO WB, 2021 - II

 

Kromme K.
       
De kromme K is gegeven door de bewegingsvergelijkingen:

     

     
In de figuur is kromme K getekend. Ook is voor een waarde van t in het bijbehorende punt van K de raaklijn aan K getekend. De helling in het punt (x(t), y(t)) van K  kan worden berekend
met:  -sin(t)/cos(t) .
     
3p. 1. Bewijs dit.
     

  
Een vergelijking van de raaklijn in het punt (x(t), y(t)) van K is:

       
3p. 2. Bewijs dat deze vergelijking juist is.
     

  
De raaklijn snijdt de x-as in punt A en de y-as in punt B.
       
3p. 3. Bewijs dat de lengte van het lijnstuk AB constant is.
     

   
Vectoren spiegelen.
       
Wanneer een vector in een lijn wordt gespiegeld, wordt zowel het beginpunt als het eindpunt van de vector in die lijn gespiegeld. Het resultaat is een nieuwe vector die het gespiegelde beginpunt en het gespiegelde eindpunt verbindt.
     
In de figuur hiernaast is een voorbeeld weergegeven. Daarin wordt vector AB, met A(1,1) en B(2,3), gespiegeld in de lijn met vergelijking x = 3. Het spiegelbeeld is dan vector CD, met C(5,1) en D(4, 3) .

Gegeven is punt F(7, 2) en vector OF.
Vector OF wordt in de x-as gespiegeld. Het spiegelbeeld is vector OG.
Voor één bepaalde combinatie van p en q geldt

     
4p. 4. Bereken exact deze waarden van p en q.
     

  
Ook is gegeven de lijn k met vectorvoorstelling

     
Zie de figuur hiernaast.
Vector OF wordt gespiegeld in lijn k.
     
5p. 5. Onderzoek met algebraïsche berekeningen of het spiegelbeeld van OF links of rechts van de y-as ligt.
     

   
Raaklijnen bij een vierdegraadsfunctie.
       
De functie fp is gegeven door:
     

fp(x) = 1/4x4 - x3 + px
     
De lijn k heeft vergelijking y = px .
Lijn k raakt de grafiek van fp voor iedere waarde van p in de oorsprong.

De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van fp in het punt A met x-coördinaat 2.
Lijn l snijdt de y-as voor elke waarde van p in het punt B(0, 4).

Punt M is het snijpunt van lijn k en lijn l.

In de figuur hiernaast is de grafiek van fp weergegeven voor een waarde van p.
De raaklijnen k en l zijn gestippeld weergegeven.

     
4p. 6. Bewijs dat M het midden is van lijnstuk AB.
     

  
De lijn k en de grafiek van fp sluiten een vlakdeel V in. In de figuur hiernaast  is voor een waarde van p vlakdeel V grijs weergegeven.
     
5p. 7. Bereken exact de oppervlakte van V.
     

   

 

Bankenformules.
       
Op een spaarrekening wordt een bedrag gestort. Het jaarlijkse rentepercentage op deze spaarrekening is constant. Hierdoor groeit het bedrag op de spaarrekening exponentieel. Voor de spaarder is het interessant om te weten na hoeveel jaar het bedrag is verdubbeld.
De verdubbelingstijd is exact te berekenen met de formule
       

       
Hierin is T de verdubbelingstijd in jaren en p het jaarlijkse rentepercentage.
       
4p. 8. Bewijs dat deze formule voor T correct is.
     

  
Als je geen rekenmachine gebruikt, is de formule voor T onhandig. Daarom gebruiken bankmedewerkers, als zij de verdubbelingstijd willen weten, formules die de exacte verdubbelingstijd benaderen. Zulke formules noemen we bankenformules. Om zo’n bankenformule te vinden onderzoeken we eerst de noemer van de formule voor T. We bekijken dus de functie N gegeven door:
       

       
In de figuur is de grafiek van N getekend. Ook is de raaklijn k aan de grafiek van N in O getekend.
       

       
Een vergelijking van k is  y = 1/100x.
Als x >  0 ligt de grafiek van N onder lijn k. Verder geldt: als x groter wordt, dan wordt de verticale afstand tussen de grafiek van N en lijn k groter.
       
4p. 9. Bewijs met behulp van differentiëren dat de verticale afstand tussen de grafiek van N en lijn k inderdaad groter wordt als x groter wordt.
     

  
Voor kleine positieve waarden van x ligt lijn k dicht bij de grafiek van N. Je kunt dus zeggen dat voor kleine positieve waarden van p geldt dat ln(1 + p/100) ongeveer gelijk is aan 1/100 p . Dan geldt dus:
       

       
Daarmee is een voorbeeld gevonden van een bankenformule: de exacte verdubbelingstijd T kan voor kleine positieve waarden van p benaderd worden door 70/p te berekenen.  Deze benadering noemen we T1 .
De benadering met de formule  T = 70/p verschilt voor toenemende waarden van p steeds meer van de waarde volgens de exacte formule, waarmee de benadering dus steeds slechter wordt. Daarom wordt in de praktijk het getal 70 in de teller aangepast als p groter wordt, bijvoorbeeld naar 72. Deze benadering noemen we T2 .

In de tabel wordt voor twee waarden van p de verdubbelingstijd in jaren volgens de bankenformules T1 = 70/p 
en  T2 = 72/p vergeleken met de verdubbelingstijd volgens de exacte formule.
       
 

rentepercentage
p = 1,5 p = 5,5
exacte formule
46,56 12,95
bankenformule  T1 = 70/p 46,67 12,73
bankenformule  T2 = 72/p 48,00 13,09
       
In de tabel is te zien dat voor p = 1,5 de bankenformule T1 = 70/p  een betere benadering geeft dan de bankenformule
T2 = 72/p. In de tabel is ook te zien dat voor p = 5,5 de benadering met T2 = 72/p beter is dan met T1 = 70/p.
Vanaf een bepaald rentepercentage p geeft de formule  T2 = 72/p een betere benadering van de exacte verdubbelingstijd dan de formule T1 = 70/p .
       
5p. 10. Bereken dit rentepercentage p. Geef je eindantwoord in één decimaal.
     

   
       

 

Twee wortelgrafieken.
       
De functies f en g zijn gegeven door   f(x) = 2√x  en g(x) = √(2x).
Op de grafiek van f  ligt het punt P(p, 2√p).
De helling van de grafiek van f in P is gelijk aan  1/√p .
De lijn door O en P snijdt de grafiek van g in het punt Q. Deze situatie is weergegeven in de volgende figuur.
       

       
De helling van de grafiek van g in punt Q is voor elke waarde van p gelijk aan de helling van de grafiek van f in punt P.
       
6p. 11. Bewijs dit.  
     

  
We kiezen nu p = 4.
Punt R ligt op de grafiek van g recht onder punt P.
De raaklijnen in P en R snijden elkaar in het punt S (-4, 0). Zie onderstaande figuur.
       

       
Het lijnstuk PR en de grafieken van f en g sluiten een vlakdeel in. Dit vlakdeel is in de figuur grijsgemaakt.
       
6p. 12. Bereken exact de verhouding tussen de oppervlakte van dit vlakdeel en de oppervlakte van driehoek PRS.
     

   

 

Asymptoten en raaklijnen
       

In de volgende figuur is de grafiek van f weergegeven.
       

       
De grafiek van f  heeft twee asymptoten. Daarom heeft de grafiek van de inverse functie van f ook twee asymptoten.
       
3p. 13. Stel met behulp van exacte berekeningen vergelijkingen op van de asymptoten van de grafiek van de inverse functie van f.
     

  
De afgeleide functie van f wordt gegeven door

       
In de rest van de opgave is het domein van f  beperkt tot x > 0 .
De raaklijn aan de grafiek van f  in een punt P snijdt de x-as in een punt S. Zie onderstaande figuur.
       

       
De x-coördinaat van S hangt af van de positie van P op de grafiek van f.
Er is een positie van P waarvoor de x-coördinaat van S maximaal is.
       
7p. 14. Bereken exact deze maximale waarde van de x-coördinaat van S.
     

   
Driehoek in cirkel.
       
Een lijn k gaat door de oorsprong O en maakt een hoek α  met de positieve x-as, met 0° < α  < 90°.
Op de positieve x-as ligt een punt M zo dat de cirkel met middelpunt M en straal 1 lijn k raakt.
Punt A is het raakpunt en hoek OAM is dus 90° .

In de figuur hiernaast is de situatie voor een bepaalde waarde van α weergegeven.
De coördinaten van A(xA, yA) kunnen worden uitgedrukt in α.
     
5p. 15. Bereken de waarde van α  waarvoor xA = 1/2. Geef je eindantwoord in hele graden.
     

  
Voor elke hoek α (met 0° < α < 90°) raakt lijn k de cirkel in punt A.
Verder snijdt de cirkel de x-as rechts van het middelpunt in een punt B.
Op de cirkel ligt een punt C boven de x-as, zo dat de lijn door M en C hoek AMB middendoor deelt.
De positie van M, en dus ook de oppervlakte van driehoek MBC, hangt af van hoek α.
In de figuren hieronder is voor twee verschillende waarden van α de situatie weergegeven.
       

       
Als α nadert naar 0, neemt de oppervlakte van driehoek MBC af tot een grenswaarde.
       
5p. 16. Bereken exact deze grenswaarde.
     

   

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. x ' = 3cos2t • -sint
y ' = 3sin2t • cost
 

   
2. De r.c. van de raaklijn is f ' en die staat in opgave 1.
De vergelijking is dus:
 

  Punt (cos3t, sin3t) invullen:
 

  b = sin3t + sintcos2t
b =  sint(sin2t + cos2t)
b = sint • 1
b = sint
   
3. y = 0  geeft  0 = -sint/cost • x + sint
sint/cost • x = sint
x = sint • cost /sint = cost  dus  A = (cost, 0)

x = 0 geeft  y = sint  dus  B = (0, sint)

AB = √(cos2t + sin2t) = √1 = 1
Dat lijkt mij behoorlijk constant.
   
4. F spiegelen geeft  G = (7, -2)
 

  7p + 7q = 7
2p - 2q = -3

De eerste geeft p = 1 -  q en dat kun je invullen in de tweede:
2(1 - q) - 2q = -3
-4q = -5
q = 5/4  en dan is p = 1 - 5/4 = -1/4
   
5. k heeft r.c. 4/3
de lijn van F  loodrecht op k  heeft r.c. -3/4 en gaat door (7, 2)
Dat is de lijn  2 = -3/4 • 7 + b  dus  b = 71/4
Deze lijn snijden met k geeft  -3/4x + 71/4 = 4/3x
25/12x = 71/4
x = 87/25
De horizontale afstand tussen dat snijpunt S en F  is  7 -  87/25 = 88/25
De horizontale afstand tussen S en F' is dus ook 88/25
De x-coördinaat van F ' is dan  87/25 - 88/25 = -1/25
F' ligt dus links van de y-as.
   
6. xA = 1/4 • 24 - 23 + 2p = -4 + 2p,  dus A = (2, -4 + 2p)
B = (0, 4)
Het midden van AB  is het punt (1, p)
ligt M ook op k?

f ' = x3 - 3x2 + p  dus  f '(0) = p
k is de lijn  y = px
p = 1 • p  dus M  ligt ook op k
   
7. Snijpunten:
1/4x4 - x3 + px = px
1/4x4 - x3 = 0
x3 • (1/4x - 1) = 0
x = 0  ∨ x = 4
 

  =  (12,8 - 0) = 12,8
   
8. voor verdubbeling geldt  gT = 2  dus  T = glog(2) = ln(g)/ln(2)
bij percentage p is de groeifactor g = 1 + p/100
invullen in de T - formule geeft de gevraagde formule.
   
9. de verticale afstand is A = yk - yN =  1/100x - ln(1 + x/100)
Voor de afgeleide daarvan geldt:
 

  voor x > 0 heeft de tweede breuk een grotere noemer dan der eerste.
dus is de tweede breuk kleiner dan de eerste,
dus is het verschil ertussen positief.
Als A ' positief is, dan neemt A dus toe als x toeneemt (de grafiek van A(x) stijgt)
   
10. T - T1 =  T2 - T geeft:
 

 
  invoeren bij Y1 en Y2 in de GR en dan intersect geeft  p = 4,9....
dus p = 5%
   
11. OP heeft helling  2√p/p = 2/√p en is dus de lijn  y = 2/√p • x
snijpunt g met OP:  2/√p • x = √(2x)
 2/√p • x = √2 • √x
√x = √(p/2)   ∨  x = 0
x = p/2  ∨ x = 0
Q is het punt  met xQ = 1/2p

g (x) = (2x)1/2   dus  g '(x) = 1/2 • (2x)-1/2 • 2 = (2x)-1/2
g '(1/2p) = (2 • 1/2p)-1/2 = p-1/2
f '(p) = 1/√p  en dat is inderdaad gelijk aan  g '(1/2p)
   
12. P = (4, 4)  en  R = (4, √8)
 

  =  32/3 - 16/3√2 = 2/3(16 - 8√2)
  De oppervlakte van driehoek PRS is 1/2 •  8 •  (4 - √8)  = 16 - 8√2
  De verhouding tussen het valkdeel en de driehoek is dus  2 : 3
   
13. y = e-1/x 
-1/x = lny
x = -1/lny
de inverse is dus  y = -1/lnx
  als x naar oneindig gaat gaat lnx naar oneindig, dus gaat y naar nul
de horizontale asymptoot is dus y = 0

als x naar 1 gaat dan gaat  lnx naar nul, dus gaat y naar (plus of min) oneindig
de verticale asymptoot is dus  x = 1
   
14. raaklijn in punt P:
f '(p) = 1/p² • e-1/p   dus dat is de r.c. van de raaklijn.
punt (p, e-1/p)  invullen geeft  e-1/p =  1/p² • e-1/p • p + b
dat geeft  b = e-1/p (1 - 1/p)
raaklijn gelijkstellen aan nul:
1/p² • e-1/p • x + e-1/p (1 - 1/p) = 0
1/p² • x = -1 + 1/p
x = -p2 + p
Dat is maximaal als de afgeleide ervan nul is:  -2p + 1 = 0
Dus p = 1/2
Dan is  x = 1/4
   
15. tanα = 1/AO = sinα/cosα
OA = cosα/sinα
xA = OA • cosα = cos²α/sinα
cos²α/sinα = 0,5
cos2α = 0,5sinα
1 - sin2α = 0,5sinα
sin2α + 0,5sinα - 1 = 0
ABC-formule:  sinα = (-0,5 ± √4,25)/2
Dat komt niet mooi uit. Benaderen dan maar:  sinα = 0,78077...
α = 51,33...
dat is afgerond   51°
   
16. ∠BMA = 180 - ∠OMA
∠BMA = 180 - (90 - α)
∠BMA = 90 + α
∠BMC = 1/2∠BMA = 45 + 1/2α
als α naar nul nadert dan nadert ∠BMC naar 45°
Als C 'de projectie van C op de x-as is, dan geldt  CC' = sinBMC
BM = 1 dus de oppervlakte is dan  0,5 • 1 • sin45 = 1/4√2