VWO WB, 2022 - II

 

Buigraaklijn.
       
De functie f is gegeven door   f (x) = 2(2x - 1)3 + 3(2x - 1)2 .
Voor de afgeleide geldt:  f '(x) = 48x2 - 24x
       
4p. 1. Bewijs dit.
     

   
De lijn k raakt de grafiek van f in het buigpunt.
       
5p. 2. Stel door middel van exacte berekeningen een vergelijking op van k.
     

   
       
Op de diagonaal van een vierkant
       
Gegeven is een vierkant ABCD met zijde 2. Punt M is het midden van lijnstuk AB. Punt P ligt op diagonaal AC en valt niet samen met punt A of punt C. Zie de figuur
       

       
P kan zo worden gekozen dat de lijnstukken DP en MP loodrecht op elkaar staan.
       
6p. 3. Bereken exact de lengte van lijnstuk AP in deze situatie.
     

   
       
       

 

Golvend ertussendoor.
       
Voor 0 < x < 2π is de functie f gegeven door  f(x) = 1/(2sinx).
In onderstaande figuur is de grafiek van f weergegeven
       

       
5p. 4. Bereken exact het bereik van f.
     

   
Voor elke waarde van a is de functie ga gegeven door  ga(x) = a • cosx  met domein [0, 2π]. In de volgende figuur zijn voor een waarde van a de grafieken van f en ga weergegeven. In deze situatie hebben de grafieken van f en ga geen punten gemeenschappelijk. Als de waarde van a verandert, verandert de amplitude van de grafiek van ga .
       

       
5p. 5. Bereken exact voor welke waarden van a de grafieken van f en ga géén punten gemeenschappelijk hebben.
     

   
       
Efficiënt testen.
       
Een teek is een parasiet. Teken kunnen foto drager zijn van de bacterie waarvan je de ziekte van Lyme kunt krijgen. Ongeveer 20% van de teken in Nederland is drager van deze bacterie. Om te onderzoeken of een persoon de ziekte van Lyme heeft, neemt men een monster: er wordt wat bloed afgenomen. In een laboratorium wil men 1000 monsters testen op de aanwezigheid van de bacterie.

In het laboratorium kan elk van de monsters individueel getest worden. In dat geval zijn er 1000 tests nodig. Een alternatief is om van een aantal monsters een paar druppels te nemen, die bij elkaar te voegen en dan dit mengsel te testen. Als het mengsel de bacterie niet bevat, dan bevat geen van de monsters in het mengsel de bacterie. Als het mengsel de bacterie wel bevat, weet je nog niet welk monster de bacterie bevat en moeten alsnog de monsters in het mengsel stuk voor stuk worden getest. 
       
Het aantal monsters dat wordt samengevoegd voor één test is n. Als n = 2 worden dus telkens twee monsters samengevoegd voor een test, en als het mengsel de bacterie bevat, worden de twee monsters nog eens apart getest. Het totale aantal tests T dat naar verwachting nodig is, hangt af van n volgens de volgende formule:
       

       
Hierbij is n ≥ 2 .

We bekijken nu eerst de grafiek van deze formule voor T. Deze grafiek is weergegeven in de figuur hiernaast. De grafiek heeft een laagste punt.
     
4p. 6. Bepaal met behulp van de afgeleide van T de helling van de grafiek voor n = 4 en beredeneer daarmee of het laagste punt links of rechts van n = 4 ligt.
     

   
Deze methode om het laagste totale aantal tests te bepalen wordt ook gebruikt bij het testen op andere soorten besmetting. De fractie besmette monsters wordt daarbij steeds voorgesteld door de variabele p (met 0 ≤ p ≤ 1). Voor de eerder genoemde besmetting door teken geldt dat ongeveer 20% besmet is, dus wordt gerekend met p = 0,2 .

Als er niet 1000, maar N monsters worden getest, dan ziet de formule er voor willekeurige p als volgt uit:
       

       
Hierin is T(n) het verwachte totale aantal tests, n het aantal monsters dat wordt samengevoegd en p de fractie besmette monsters. In de praktijk werkt men in een laboratorium niet met de formule, maar met een tabel. Als bekend is welke fractie van de teken (p) besmet is, dan kan in zo’n tabel worden afgelezen voor welke waarde van n het verwachte totale aantal tests (T(n )) zo laag mogelijk is. Om die laagste waarde te vinden wordt bepaald bij welke waarde van p geldt: 
T(n) = T(n + 1).
Er geldt dan het volgende verband:     n(n + 1) • p(1 - p)n =  1
       
4p. 7. Bewijs dat dit verband juist is
     

   
Met behulp van de laatste formule kunnen de grenswaarden voor p worden bepaald. Voor een aantal waarden van n staan de grenswaarden voor p weergegeven in de tabel hiernaast. In de tabel is bijvoorbeeld te zien dat voor waarden van p tussen 0,0411 en 0,0656 bij een keuze van n = 5 het totale aantal tests zo klein mogelijk is.

Van een bepaalde besmetting is bekend dat p = 0,025 . Men wil dat het verwachte totale aantal tests niet groter is dan 750. Met behulp van de tabel en formule voor T(n)  kan nu worden berekend van maximaal hoeveel monsters N bepaald kan worden of ze besmet zijn of niet.
p n
0,0656 4
0,0411 5
0,0283 6
0,0207 7
0,0158 8
       
3p. 8. Bereken met behulp van de tabel en formule voor T(n) van maximaal hoeveel monsters N bepaald kan worden of ze besmet zijn of niet
     

   
       
Begrensde gebieden.
       
De functie f is gegeven door:  f(x) = 4/√(x + 1) 

De grafiek van  f  snijdt de y-as in het punt (0, 4). In de  figuur hiernaast  is de grafiek van  f  weergegeven. Ook is de rechthoek weergegeven die wordt begrensd door de x-as, de y-as, de lijn met vergelijking y = 4 en de lijn met vergelijking x = q  met q > 0 . De grafiek van f verdeelt deze rechthoek in twee delen.

Er is één waarde van q waarbij de oppervlaktes van deze twee delen even groot zijn.
     
7p. 9. Bereken exact deze waarde van q.
     

   
De functie g is de inverse functie van de functie f . Het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f , de grafiek van g en de lijn met vergelijking x = 4 is in de figuur hiernaast grijs gekleurd.
     
5p. 10. Bereken de oppervlakte van dit gebied. Geef je eindantwoord in één decimaal.
     

   
Cirkels en Lijnen.
       
Voor 0 ≤ t ≤  2π  beweegt een punt P over een cirkelvormige baan cP met middelpunt O(0, 0) volgens de bewegingsvergelijkingen:

     

     
Voor 0 ≤ t ≤ 2π  beweegt tegelijkertijd een punt Q over een cirkelvormige baan cQ volgens de bewegingsvergelijkingen:
     

       
Hoek POQ is afhankelijk van t. In de figuur zijn beide cirkels cP en cQ weergegeven. Ook zijn de lijnstukken OP en OQ weergegeven voor een waarde van t waarvoor OP en OQ loodrecht op elkaar staan.
       
5p. 11. Bereken exact de waarden van t waarvoor OP en OQ loodrecht op elkaar staan
     

   
De lijn door P en Q snijdt de x-as in punt A. De x-coördinaat van A is onafhankelijk van t.
       
5p. 12. Bewijs dit.
     

   
Punt M is het midden van lijnstuk PQ.
Op t = 0 beginnen P en Q vanaf de x-as naar boven te bewegen. Punt M beweegt dan mee naar boven. In de volgende figuren is voor drie waarden van t de situatie weergegeven.
       

       
Voor t ≈ 0,723 ligt punt M op cirkel cQ. Zie de linkerfiguur. Na t ≈ 0,723 komt M in het gebied buiten cQ te liggen. Zie de middelste figuur. Op een zeker tijdstip ligt M op cirkel cP. Zie de rechterfiguur.
Punt M ligt een percentage van de tijd waarin de punten P en Q een volledige baan doorlopen buiten cP en cQ.
       
6p. 13. Bereken dit percentage. Geef je eindantwoord als geheel getal.
     

   

 

 

Asymptoot.
       
De functie f is gegeven door

       
In de figuur is de grafiek van f weergegeven. De grafiek heeft een knikpunt voor x = 1. Lijn k is een scheve asymptoot van de grafiek van f . Ook deze scheve asymptoot is in de figuur weergegeven.
       

       
3p. 14. Stel een vergelijking op van k.  
     

   
Een deel van de grafiek van f ligt onder de x-as.
       
6p. 15. Bereken exact voor welke waarden van x de grafiek van f onder de x-as ligt
     

   
       

 

Twee punten op een grafiek.
       
De functie f is gegeven door  f(x) = x • ex

De punten P en Q liggen op de grafiek van f.
De x-coördinaat van P is p en de x-coördinaat van Q is 2p.

Voor een bepaalde waarde van p heeft de lijn door P en Q een richtingscoëfficiënt van 6.
       
5p. 16. Bereken exact deze waarde van p.
     

   
 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1.  f (x) = 2(2x - 1)3 + 3(2x - 1)2 .
f '\(x) = 3 • 2(2x - 1)2 • 2 + 2 • 3(2x - 1) • 2
f '(x) = 12(2x - 1)2 + 12(2x - 1)
f '(x) = 12(4x2 - 4x + 1) + 24x - 12
f '(x) = 48x3 - 48x + 12 + 24x - 12
f '(x) = 48x3 - 24x
   
2. f '(x) = 48x2 - 24x
f '' (x) = 96x - 24
f ''(x) = 0 geeft  x =  1/4
f(1/4) = 1/2  dus het raakpunt is  (1/4, 1/2)
f '(1/4) = -3  dus de raaklijn is  y = -3x + b
Die moet door  (1/4, 1/2) gaan dus  1/2 = -3 • 1/4 + b en dat geeft  b = 5/4
De buigraaklijn heeft vergelijking  y = -3x + 5/4
   
3. M = (1,0)
D = (0, 2)
P = (p, p)

DP heeft rc  (p - 2)/p 
MP  heeft rc  p/(p - 1)  
Als die loodrecht op elkaar staan zijn de rc met elkaar vermenigvuldigd gelijk aan -1.
(p - 2)/p • p/(p - 1) = -1
p - 2 = -1(p - 1)
p - 2 = -p + 1
2p = 3
p = 1,5
P = (1.5, 1.5)
AP = √(1.52 + 1.52) = √4,5
   
4. f(x) heeft een minimum als 2sinx maximaal is.
Dat is maximaal 2, dus  f(x) heeft minimum 1/2

f(x) heeft een maximum als 2sinx minimaal is.
Dat is minimaal -2, dus  f(x) heeft maximum -1/2

Het bereik is dan  (aflezen uit de figuur):   〈←, -1/2] samen met [1/2, →〉
   
5. acosx = 1/(2sinx)
2 • a • sinx • cosx = 1
2sinxcosx = 1/a
sin(2x) = 1/a 
omdat een sinus altijd tussen -1 en 1 zit, heeft dit geen oplossing als  1/a < -1  of  1/a > 1
Dat is als -1 < a < 1
   
6. T = 1000(1 + 1/n + 0,8n)
T '= 1000(-1n-2 + 0,8n • ln(0,8))
T '(4) = 28,8....
Dat is positief dus de grafiek stijgt bij n = 4
n = 4 ligt dus rechts van het minimum
   
7. T(n) = N • (1 + 1/n  - (1 - p)n)
T (n + 1) = N • (1 + 1/(n + 1) - (1 - p)n + 1)
Gelijkstellen:    N • (1 + 1/n  - (1 - p)n) = N • (1 + 1/(n + 1) - (1 - p)n + 1)
N  valt weg:    1 + 1/n  -  (1 - p)n  =  1 + 1/(n + 1) - (1 - p)n + 1   
1 valt weg:     1/n  -  (1 - p)n  =  1/(n + 1) - (1 - p)n + 1   
vermenigvuldig met n en met (n + 1):    n + 1 - n(n + 1)(1 - p)n  = n - n(n + 1)(1 - p)n + 1
n valt weg:      1 - n(n + 1)(1 - p)n  = - n(n + 1)(1 - p)n + 1
1 = n(n + 1)(1 - p)n - n(n + 1)(1 - p)n + 1
1 = n(n + 1) • {(1 - p)n - (1 - p)n + 1)}
1 = n(n + 1) •  {(1 - p)n - (1 - p)n (1 - p)}
1 = n(n + 1)(1 - p)n •  {1 - (1 - p)}
1 =  n(n + 1)(1 - p)n • p
   
8. p = 0,025 geeft n = 7
Invullen in de T - formule:   750 = N • (1 + 1/7 - 0,9757)
750 = 0,305... • N
N = 2456,877...
Het maximale aantal is 2456 monsters.
   
9. De oppervlakte van de rechthoek is 4q
De oppervlakte onder de grafiek  moet dus 2q zijn.
 
  8√(q + 1) - 8 = 2q
8√(q + 1) = 2q + 8
64(q + 1) = (2q + 8)2
64q + 64 = 4q2 + 32q + 64
4q2 - 32q = 0
4q(q - 8) = 0
q = 0  Ú  q = 8
Maar q > 0  dus de oplossing is  q = 8
   
10. Voor g geldt:  x = 4/√(y + 1) 
√(y + 1) = 4/x
y + 1 = (4/x)2
y = 16/x²  - 1

Snijpunt:
Y1 = 16/x²  - 1
Y2 = 4/√(x + 1) 
Calc - intersect geeft  X = 2,22....

Y3 = Y2 - Y1
calc -  òf(x)dx   Y3
Lower Limit x = 2,22....
Upper limit  x = 4
Dat geeft oppervlakte 2,10....
Afgerond dus 2,1
   
11. Twee vectoren staan loodrecht op elkaar als hun inproduct nul is.
 
  2cost • (2 + cost) + 2sint • sint = 0
4cost + 2cos2t + 2sin2t = 0
4cost + 2(cos2t + sin2t) = 0
4cost + 2 = 0
cost = -1/2
t =  2/3π  ∨ t = 4/3π 
   
12. P = (2cost, 2sint)
Q = (2 + cost, sint)
rc PQ is   (2sint - sint)/(2cost - 2 - cost) =  sint/(cost - 2)
PQ is de lijn  y =  sint/(cost - 2) • x + b
(2cost, 2sint) ligt erop:   2sint = sint/(cost - 2) • 2cost + b
b =  2sint - 2sintcost/(cost - 2)
PQ is de lijn  y = sint/(cost - 2) • x + 2sint - 2sintcost/(cost - 2)
y = 0  geeft  dan  0 = sint/(cost - 2) • x + 2sint - 2sintcost/(cost - 2)
sint/(cost - 2) • x = -2sint + 2sintcost/(cost - 2)
x = { -2sint + 2sintcost/(cost - 2)} • (cost - 2)/sint 
x = -2(cost - 2) + 2cost
x = -2cost + 4 + 2cost
x = 4
Dat is inderdaad onafhankelijk van t.
   
13. P = (2cost, 2sint)
Q = (2 + cost, sint)
M = (1.5cost + 1,  1.5sint)
M ligt op cP als  MP = 2,  dus MP2 = 4
(1,5cost + 1)2 + (1,5sint)2 = 4
2,25cos2t + 3cost + 1 + 2,25sin2t  = 4
2,25(cos2t + sin2t) + 3cost = 3
2,25 + 3cost = 3
3cost = 0,75
cost = 0,25
t ≈ 1,318...
Tussen t = 0,723 en t = 1,318 ligt M aan de bovenkant buiten beide cirkels.
Dat is 0,595 van de  2π

De baan is symmetrisch t.o.v. de x-as dus er is nog eenzelfde deel aan de onderkant
Dat is 2 • 0,595/2π • 100% = 18,94.... %
Ongeveer 19%.
   
14. De asymptoot loop aan de linkerkant van de grafiek naar de grafiek van f
Aan die kant geldt  |x - 1| = -x + 1
Dan is daar het functievoorschrift van f:  f(x) = -x + 1 + (x- 5)/(2x - 5)
Als x naar -∞ gaat, dan gaat die breuk naar 0,5
Dan is f(x) = -x + 1 + 0,5 = -x + 1,5
k is de lijn  y = -x + 1.5
   
15. De grafiek snijdt de x-as voor x > 1
Dan is   |x - 1| = x - 1
x - 1 + (x- 5)/(2x - 5) = 0
(x- 5)/(2x - 5) = -x + 1
x - 5 = (-x + 1)(2x - 5)
x - 5 = -2x2 + 5x + 2x - 5
2x2 - 6x = 0
2x(x - 3) = 0
x = 0  (maar die vervalt)  ∨ x = 3

Verticale asymptoot:   2x- 5 = 0  dus x = 2,5

De grafiek ligt voor  2,5 < x < 3 onder de x-as.
   
16. P = (p, pep)  en  Q = (2p, 2pe2p)
rc PQ is gelijk aan    (2pe2p - pep)/(2p - p) = 6
2pe2p - pep  = 6p
Alles delen door p:    2e2p - ep = 6
Noem ep = a, dan is  e2p = a2
Dat geeft  2a2 - a = 6
2a2 - a - 6 = 0
a =  (1 ±√49)/4 
a = 2  ∨ a = -1,5
ep = 2 ∨ ep = -1,5  (maar dat laatste kan niet)
p = ln(2)