| Gelijke oppervlaktes. | |||
| De functie f is gegeven door | |||
|
|
|||
| De functie F gegeven door F(x) = ln(x2 - 11x + 30) dan een primitieve van f. | |||
| 3p. | 1. | Bewijs dit. | |
| In onderstaande figuur is de grafiek van f (die uit drie delen bestaat) getekend. | |||
|
|
|||
| V is het
gebied begrensd door de grafiek van f, de x-as en de
lijnen met vergelijking x = 7 en x = 9 . W is het gebied begrensd door de grafiek van f, de x-as en de lijnen met vergelijking x = 9 en x = p , met p > 9. Er is een waarde van p waarvoor de oppervlaktes van V en W gelijk zijn. |
|||
| 5p. | 2. | Bereken exact deze waarde van p. | |
| De functie g is gegeven door | |||
|
|
|||
| In de figuur
hieronder is de grafiek van g getekend. Deze grafiek is symmetrisch in de lijn x = 51/2 . |
|||
|
|
|||
| De grafiek van g heeft in punt A(51/2 , 0) een knik. Zowel aan het deel van de grafiek links van A als aan het deel van de grafiek rechts van A is er een raaklijn in A. Deze twee raaklijnen zijn verschillend. | |||
| 5p. | 3. | Bereken algebraïsch de hoek tussen deze raaklijnen. Geef je eindantwoord in gehele graden nauwkeurig. | |
| Drie op een rij. | |||
| Rechthoek ADEH bestaat uit drie vierkanten ABGH, BCFG en CDEF. | |||
 |
|||
| Verder zijn gegeven de
lijnstukken AF en HD. S is het snijpunt van AF en HD. Zie de figuur. |
|||
 |
|||
| 3p. | 4. | Bewijs dit. | |
| 3p. | 5. | Onderzoek of de vectoren BS en HD loodrecht op elkaar staan. | |
| Modeltube. | |||
|
|
|||
| In de
figuur is een cilindervormige koker getekend met diameter 4 cm.
Als de cirkel aan de onderkant wordt samengeknepen tot een
lijnstuk, ontstaat een model voor een tube zonder dop. Op de foto zie je zo'n tube maar dan met dop. Deze tube, die bijvoorbeeld shampoo kan bevatten, heeft, zonder dop, een hoogte van 10 cm en aan de bovenkant een diameter van 4 cm. In het vervolg van de opgave worden horizontale doorsneden van de rechtopstaande modeltube bekeken. Het model heeft drie uitgangspunten: |
|||
| - | De doorsnede op hoogte h, gemeten vanaf de onderkant, bestaat voor 0 < h < 10 uit twee halve cirkels en twee evenwijdige lijnstukken van gelijke lengte. | ||
| - | De omtrek van elke doorsnede is gelijk aan de omtrek van de cilinder | ||
| - | De afstand tussen de twee lijnstukken in de doorsnede is gelijk aan de diameter van de halve cirkels. Deze afstand neemt voor 0 < h < 10 lineair toe van 0 tot 4. | ||
| In de
figuur hiernaast is op vier hoogtes de figuur 2 doorsnede
getekend. De oppervlakte A van een doorsnede hangt af van de hoogte h. Met behulp van bovenstaande drie uitgangspunten kan een formule worden opgesteld voor A(h) De inhoud I van de modeltube kan met behulp van deze formule voor A(h) worden berekend. |
 |
||
 |
|||
| 6p. | 6. | Onderzoek of de modeltube 80 cm3 shampoo kan bevatten. | |
| Vierkanten bij een exponentiële functie. | |||
| De
functie f is gegeven door f(x)
= ex. Op de grafiek van f ligt een punt P( p, ep) met p > 0. Zie de figuur. |
|||
|
|
|||
| In de
figuur zijn ook de vierkanten V en W getekend.
Van vierkant V is P een hoekpunt en ligt een
zijde op de y-as. Van vierkant W is P
een hoekpunt en ligt een zijde op de x-as. Voor elke waarde van p bekijken we de verhouding: |
|||
|
|
|||
| Er is een waarde van p waarvoor R maximaal is. | |||
| 8p. | 7. | Bereken exact de maximale waarde van R. | |
| Gelijke hoeken. | |||
| Gegeven is de lijn k met vectorvoorstelling | |||
|
|
|||
| en de lijn l met vectorvoorstelling: | |||
|
|
|||
| De
lijnen k en l snijden elkaar in een punt S. Lijn m is een lijn met vectorvoorstelling |
|||
|
|
|||
| De
waarden van a en b kunnen zo worden gekozen
dat m de scherpe hoek die de lijnen k en l
met elkaar maken, in twee gelijke hoeken verdeelt. In de figuur is deze situatie getekend. |
|||
|
|
|||
| In deze situatie geldt a = 13/4. | |||
| 4p. | 8. | Bewijs dit. | |
| 5p. | 9 | Bereken exact de waarde van b. | |
| Verouderingskromme. | |||
| De
Rijksgebouwendienst beschrijft in een handboek manieren
om de conditie van gebouwen te bepalen. Op basis van
inspecties waarbij voor elk bouwdeel (deel van een
gebouw) een conditiescore wordt vastgesteld, is het
mogelijk plannen voor onderhoud, renovatie en nieuwbouw
te maken. Een conditiescore is een geheel getal van 1 tot en met 6. Conditiescore 1 hoort bij een nieuw bouwdeel. Naarmate de leeftijd van het bouwdeel toeneemt, zal slijtage optreden en daarbij horen hogere conditiescores. Als het bouwdeel niet meer bruikbaar is, krijgt het conditiescore 6. In een model waarmee de conditiescore van een bouwdeel wordt berekend, wordt gebruikgemaakt van drie variabelen: |
|||
| - | t : de leeftijd van het bouwdeel (in jaren), | ||
| - | L: de theoretische levensduur van het bouwdeel (in jaren) als het niet wordt onderhouden en | ||
| - | C: een getal waarmee de uiteindelijke conditiescore wordt berekend. | ||
|
Hierbij is t ≤ L. Oorspronkelijk werd door de inspecteurs van de Rijksgebouwendienst voor een normaal verouderingsproces het volgende verband tussen deze variabelen gehanteerd: |
|||
|
|
|||
| De uiteindelijke conditiescore werd bepaald door bij de berekende waarde van C alle decimalen weg te laten. Zo geldt bijvoorbeeld voor een bouwdeel met een leeftijd die gelijk is aan een kwart van zijn theoretische levensduur dat C ≈ 1,59. In dat geval is de conditiescore gelijk aan 1. Door het weglaten van de decimalen leveren verschillende leeftijden soms dezelfde conditiescore op. | |||
| 3p. | 10. | Bereken voor een bouwdeel met een theoretische levensduur van 25 jaar gedurende hoeveel jaar dat bouwdeel conditiescore 2 krijgt. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig. | |
| De Rijksgebouwendienst hanteerde ook een formule waarin t is uitgedrukt in L en C. Deze formule ontstaat door de vorige formule te herleiden tot een formule van de volgende vorm: | |||
|
t = L - L • a(6 - C)b (2) |
|||
| 4p. | 11. | Bepaal de waarden van a en b door formule (1) te herleiden tot formule (2). Rond je berekende waarden zo nodig af op drie decimalen. | |
| Nieuwe inzichten van de inspecteurs hebben ertoe geleid dat in de loop van de tijd de eerste formule is vervangen door: | |||
|
|
|||
| In
de volgende figuur is van formule 1 en van formule 3 de
bijbehorende verouderingskromme weergegeven. De kromme
die hoort bij formule 1 is gestippeld weergegeven. Op de verticale as staat C; hoge waarden van C staan onderaan. |
|||
|
|
|||
| Op de horizontale as staat
de leeftijd t van een bouwdeel uitgedrukt in de
theoretische levensduur L. Zo betekent t =
0,5L dat een bouwdeel de helft van zijn
theoretische levensduur heeft bereikt. In de figuur is te zien dat volgens formule 1 conditiescore 3 wordt bereikt als de leeftijd van een bouwdeel bijna 70 procent van de theoretische leeftijd is. Volgens formule 3 bereikt dat bouwdeel conditiescore 3 later dan volgens formule 1. |
|||
| 3p. | 12. | Bereken exact na hoeveel procent van de theoretische levensduur het bouwdeel conditiescore 3 bereikt volgens formule 3. | |
| Cosinusgrafiek door hoogste punten. | |||
|
Voor elke p met 0 ≤ p ≤ 4 wordt de
functie fp met domein 0 ≤ x ≤
1/2π
gegeven door: fp(x) = -2cos2(x) + p • cos(x) - 1 In de volgende figuur is voor enkele waarden van p de grafiek van fp getekend. |
|||
|
|
|||
| De grafiek van f3 heeft behalve de oorsprong een tweede gemeenschappelijk punt met de x-as. | |||
| 4p. | 13. | Bereken exact de x-coördinaat van dat tweede gemeenschappelijke punt. | |
| De
grafiek van fp heeft voor p = 4
een hoogste punt voor x = 0 . Ook voor de andere
waarden van p heeft de grafiek van fp een hoogste punt. In onderstaande figuur is telkens met een dikke stip het hoogste punt van de grafiek van fp aangegeven. De gestippelde kromme verbindt deze hoogste punten met elkaar. |
|||
|
|
|||
| Voor de x-coördinaat a van het hoogste punt van de grafiek van fp geldt dat cos(a) = 1/4p. | |||
| 4p. | 14. | Bewijs dit. | |
| De
kromme die de hoogste punten van de grafieken van fp
verbindt, is de grafiek van de functie g gegeven
door g(x) = cos(2x), met 0 ≤ x ≤ 1/2π |
|||
| 4p. | 15. | Bewijs dit. | |
| Loodrecht door de parabool. | |||
| Gegeven zijn de bewegingsvergelijkingen: | |||
|
|
|||
|
De bijbehorende baan is een parabool. Punt M (r, 0) is een punt op de positieve x-as met r > 1/2. We kiezen punt A(a ,√a) op de parabool zodanig dat de halve lijn vanuit M door A de parabool loodrecht snijdt in punt A. Zie de figuur. Er geldt: a = r - 1/2 |
 |
||
| 6p. | 16. | Bewijs dit. | |
|
We voegen de cirkel toe met middelpunt M(r,
0) en straal r. Het punt O(0, 0) ligt op deze cirkel en op de gegeven parabool. De halve lijn vanuit M door A snijdt de cirkel in punt B. Zie de figuur hiernaast. Voor een bepaalde waarde van r is A het midden van lijnstuk MB. |
 |
||
| 6p. | 17. | Bereken exact deze waarde van r. | |
