VWO WB, 2024 - I

 

Stijgend en horizontaal
       
De functie f wordt gegeven door  f(x) = x5 - 3x√x  . In onderstaande figuur is de grafiek van f weergegeven.
       

       
Op de grafiek ligt het punt A(1, -2)
       
3p. 1. Bewijs dat de grafiek van f  in A stijgt.
     

   
Het lijnstuk PQ is horizontaal en heeft lengte 1/2 . De eindpunten P en Q van dit lijnstuk liggen op de grafiek van f.
Zie onderstaande figuur.
       

       
4p. 2. Bereken de x-coördinaat van P. Geef je eindantwoord in drie decimalen.
     

   
Wachttijden
       
Een wachttijd is de tijd die je op een dienst moet wachten. Denk hierbij bijvoorbeeld aan de tijd die nodig is om een medewerker van een klantenservice aan de telefoon te krijgen of de tijd die nodig is voordat je wordt geholpen bij de bakker.

In 1909 ontwikkelde de Deense wiskundige Agner Erlang een wiskundig model om te berekenen in hoeveel procent van de gevallen bepaalde wachttijden voorkomen. Dit percentage komt overeen met de oppervlakte onder een grafiek.

In deze opgave gaan we uit van een dienst waarbij het volgende model van Erlang hoort:

                                              f(t) = 50e-0,5t   met  t  ≥ 0

Hierbij is t de tijd in minuten.

Stel dat je wilt weten in hoeveel procent van de gevallen de wachttijd tussen 3 en 4 minuten ligt. Je bepaalt dan de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f , de t as en de lijnen met vergelijking t = 3 en t = 4. Deze oppervlakte blijkt (afgerond) 8,8 te zijn. Dit wil zeggen dat in 8,8% van alle gevallen de wachttijd tussen 3 en 4 minuten ligt. Zie de figuur.
       

       
3p. 3. Bereken algebraïsch in hoeveel procent van de gevallen de wachttijd tussen 0 en 3 minuten ligt. Geef je eindantwoord in één decimaal.
     

   
Een wachttijd van meer dan twintig minuten komt in dit voorbeeld zelden voor. Daarom wordt de gemiddelde wachttijd berekend met:

       
Om de gemiddelde wachttijd te kunnen berekenen, maakt iemand gebruik van het gegeven dat een primitieve van  y = eat  (met  a ≠ 0) gelijk is aan:

       
3p. 4. Bewijs dat  
     
     inderdaad een juiste primitieve is van  y = teat  voor elke waarde van a (met  a ≠ 0 )
     

   
4p. 5. Bereken algebraïsch de gemiddelde wachttijd in minuten voor de situatie met  f(t) = 50e-0,5t
Geef je eindantwoord als geheel getal.
     

   
Verschuiven.
       
De functie f wordt gegeven door   f(x) = (3x - 7)2
De grafiek van f wordt naar rechts en omhoog verschoven. Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie g. De grafiek van g gaat door het punt A(5, 40). De helling van de raaklijn in A aan de grafiek van g is -6.
       
6p. 6. Stel op exacte wijze een functievoorschrift van g op.
     

   
       
Logaritme, wortel en exponent.
       
De functie f wordt gegeven door:   f(x) = 2log(√(1 + 8x))  
De functie g is de inverse functie van f. In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven.
       

       
Het gestippelde lijnstuk in de figuur is het kortst mogelijke verticale lijnstuk dat de grafieken van f en g met elkaar verbindt.
       
5p. 7. Bereken de lengte van dit lijnstuk. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
     

   
Op de grafiek van f  ligt punt P met x-coördinaat p en punt Q met x-coördinaat p + 1.
Voor elke waarde van p kan het verschil  yQ - yP worden bepaald.
       
6p. 8. Onderzoek op exacte wijze of er een waarde van p is waarvoor dit verschil gelijk is aan 3.
     

   
Klavertje 3.
       
Het punt P beweegt over een baan gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:
       

       
De baan waarover punt P beweegt, is weergegeven in de figuur. Het punt Q beweegt ook over deze baan.
Punt Q loopt p seconden voor op punt P. De bewegingsvergelijkingen van Q zijn dus:
       

       
Er zijn twee momenten waarop P en Q recht boven elkaar liggen, dus dan geldt  xP = xQ. In de figuur is zo’n situatie weergegeven.
       

       
5p. 9. Bereken exact de afstand tussen P en Q in deze situaties.
     

   
Op tijdstip t = 2/3p  bevindt het punt P zich in  (-2.5, 2.5√3).
       
6p. 10. Bereken exact de scherpe hoek in graden tussen de raaklijn aan de baan in punt P en de x-as.
     

   
Halve cirkel.
       
Gegeven zijn de punten A(-1,0)  en B(3,0). Verder is gegeven de cirkel c met middellijn AB.
De lijn k gaat door de oorsprong O en snijdt cirkel c in punt P.
De afstand tussen O en P is gelijk is aan 2,5 .
In onderstaande figuur zijn lijn k en de bovenste helft van cirkel c getekend.
       

       
4p. 11. Bereken exact de x-coördinaat van P.  
     

   
In onderstaande figuur is de driehoek BRO getekend met ∠BRO = 90°, punt R boven de x-as en OR = 1 .
De lijn door B en R snijdt c in het punt S. Driehoek BSA is dan een driehoek met ∠ASB = 90°
Vierhoek AORS is gekleurd weergegeven.
       

       
5p. 12. Bereken exact de oppervlakte van vierhoek AORS.  
     

   
Top, asymptoot en geen perforatie.
       
Voor elke waarde van a wordt de functie fa gegeven door:
       

       
Er bestaat geen waarde van a waarvoor de grafiek van fa  een perforatie heeft.
       
4p. 13. Bewijs dit.  
     

   
In het volgende onderdeel zijn de mogelijke waarden van a de positieve getallen, dus a > 0.
De grafiek van fa  heeft één top T en deze ligt op de y-as. Verder heeft de grafiek van  fa een horizontale asymptoot.
Punt S is het snijpunt van de horizontale asymptoot en de y-as. Als voorbeeld is in de figuur de grafiek van f3 weergegeven.
       

       
De lengte van lijnstuk ST is afhankelijk van a. Deze lengte heeft een minimum.
       
6p. 14. Bereken exact voor welke positieve waarde van a de lengte van lijnstuk ST minimaal is.
     

   
Vereenvoudigde sterrenkunde.
       
De Wet van Titius-Bode is een wet uit de astronomie die door Johann Titius werd opgesteld in de achttiende eeuw. Deze wet legt een verband tussen het rangnummer van een planeet en de afstand van die planeet tot de zon. Met het rangnummer van een planeet wordt bedoeld: ‘de zoveelste planeet geteld vanaf de zon’. De planeet die het dichtst bij de zon staat krijgt nummer 1, de volgende 2 enzovoorts. De wet luidt:
       

a = 0,4 + 0,3 · 2n - 2
       
Hierin is a de afstand van de planeet tot de zon uitgedrukt in AE (Astronomische Eenheid, 1 AE = afstand van de aarde tot de zon) en is n het rangnummer van de planeet.
Saturnus heeft volgens de Wet van Titius-Bode een afstand van 10 AE tot de zon.
       
2p. 15. Bereken exact welk rangnummer Saturnus dan zou hebben.
       
We bekijken de planeten Mars, Venus en de aarde.
We gaan uit van het volgende eenvoudige model:

De drie planeten draaien ieder in een cirkelvormige baan met de zon als middelpunt. De drie banen liggen in één plat vlak. De afstand van Venus tot de zon is 0,7 AE, de afstand van de aarde tot de zon is 1,0 AE en de afstand van Mars tot de zon is 1,6 AE.

Het is mogelijk dat de drie planeten op één lijn liggen waarbij Venus precies midden tussen Mars en de aarde in ligt. Deze situatie is weergegeven in de figuur hiernaast.

De afstand in AE van de aarde tot Venus is d en hoek AVZ in graden is a
Met behulp van de figuur kan het volgende verband tussen d en a  worden gevonden:
       

 
       
3p. 16. Bewijs dat dit verband juist is.
     

   
3p. 17. Bereken algebraïsch de afstand in AE van de aarde tot Venus in de gegeven situatie. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
     

   
Meestal wordt gezegd dat de planeten in ons zonnestelsel om de zon draaien. Dat klopt echter niet helemaal: de zon en de planeten draaien allemaal om hun gemeenschappelijke zwaartepunt.

Stel dat het zonnestelsel alleen zou bestaan uit Jupiter en de zon. We beschouwen deze twee hemellichamen als twee puntmassa's Jupiter is verreweg de zwaarste planeet in ons zonnestelsel met een massa van 2 · 1027 kg en een afstand tot de zon van  8 · 108 km.  De zon heeft een massa van  2 ·1030 kg. Zie onderstaande figuur (niet op schaal).
       

       
De kleine cirkel in deze figuur is de baan van de zon om het zwaartepunt.
       
4p. 18. Bereken de straal van deze baan in km. Geef je eindantwoord in honderdduizendtallen.
     

   

 

 

 
UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. f(x) = x5 - 3x1,5
f '(x) = 5x4 - 4,5x0,5
f '(1) = 5 - 4,5 = 0,5
Dat is groter dan nul dus de grafiek stijgt.
   
2. f(xP) = f(xP + 0,5)
x5 - 3x1,5 = (x + 0,5)5 - 3(x + 0,51,5 
Y1 = x5 - 3x1,5
Y2 = (x + 0,5)5 - 3(x + 0,51,5 
intersect geeft  x = p = 0,683
   
3.
  = (-100e-1.5 - -100e0)
= 77,7 %
   
4.
  met de productregel
y '=  (1/a)eat + (1/at - 1/a²) · aeat 
y ' = (1/a)eat  + teat - (1/a)eat 
y ' = teat 
en dat is inderdaad de gegeven functie
   
5. a = -0,5 geeft primitieve:  y = (-2t - 4)e-0,5t
 
  = 0,5(-44e-10 - - 4e0)
= 0,5 · 3,99...
≈ 2 minuten
   
6. f(x) = (3x - 7)2
f '(x) = 2(3x - 7) · 3
6(3x - 7) = -6  geeft  3x - 7 = -1  dus  x = 2 
Dat is verschoven naar x = 5  dus de grafiek is 3 naar rechts verschoven.
Dat geeft formule  y = (3(x - 3) -7)2 + a
Die moet door (5, 40) gaan
40 = (3(5 - 3) - 7)2 + a
40 = (-1)2 + a
a = 39
Dus de grafiek is 3 naar rechts en 39 omhoog geschoven. 
g(x) = (3(x  -  3)  - 7 )2 + 39
   
7. inverse:  x = 2log(√(1 + 8y))
2x = (1 + 8y)0,5 
22x = 1 + 8y
8y = 22x - 1
y = 8log(22x  - 1)

De lengte is   8log(22x  - 1) - 2log(√(1 + 8y))
Plot bij Y1
gebruik calc - minimum
dat geeft lengte  0,96
   
8. yP = 2log(√(1 + 8p))
yQ = 2log(√(1 + 8p + 1))
yQ - yP = 3  geeft    2log(√(1 + 8p + 1)) - 2log(√(1 + 8p)) = 3
 
  1 + 8 · 8p  = 64(1 + 8p)
1 + 8 · 8p = 64 + 64 ·  8p
-63 = 56 · 8p
omdat 8p altijd positief is zijn er geen oplossingen.
er is geen waarde van p waarvoor het verschil 3 is.
   
9. xP = xQ
4cos(t) + cos(4t) = 4cos(t + p) + cos(4(t + p))    ...(1)

cos(t + p) =  -cos(t)
cos(4t + 4p) = cos(4t)

dat geeft  in (1): 
4cos(t) + cos(4t) = -4cos(t) + cos(4t)
8cos(t) = 0
cos(t) = 0
t = 0,5p   ∨  t = 1,5p

invullen in y  geeft  y = 4  en  y = -4
De afstand is dus  PQ = 8.
   
10. x 'P = -4sin(t) - 4sin(4t)
y 'P = 4cos(t) + 4cos(4t)
t = 2/3p  geeft dan:
x'P = -2√3 - 2√3 = -4√3
y'P = -2 - 2 = -4
De helling van de raaklijn is dan  y'/x' = -4/-4√3 = 1/3√3
De hoek van de raaklijn met de x-as is dan  tan-1( 1/3√3) = 30°
   
11. M = (1, 0) en r = 2 dus de cirkel heeft vergelijking  (x - 1)2 + y2 = 4
Omdat P op de cirkel ligt geldt dus ook   (xP - 1)2 + yP2 = 4
OP = 2,5  dus  xP2 + yP2 = 6,25
Trek deze vergelijkingen van elkaar af, dan valt  yP weg:
(xP - 1)2 - xP2 = -2,25
xP2 - 2xP + 1 - xP2 = -2,25
2xP = 3,25
xP = 15/8
   
12. OB = 3 en OR = 1  dus  BR = √8

ORB is gelijkvormig met  ASB
   
 
OR
1		 RB
√8		 OB
3
AS
 		 SB
 		 AB
4
   
  Dus AS = 4/3  en  SB = 4/3√8
  ASB heeft oppervlakte  0,5 ·  4/3 ·  4/3√8 = 8/9 · √8
ORB heeft oppervlakte  0,5 ·  1 · √8 = 1/2 · √8
Dan heeft de vierhoek oppervlakte 8/9 · √8 - 1/2 ·  √8 = 7/18·√8
     
13. Voor een perforatie met  x2 + a  = 0  en  ax2 - 2 = 0
x2 + a = 0  geeft  x2 = -a
invullen in de andere:  a · -a  - 2 = 0
a2 = -2 
Dat heeft geen oplossing.
Dus er is nooit een perforatie. 
   
14. de top  heeft x = 0  en dat geeft  y =  -2/a
de horizontale asymptoot heeft  y = a
de afstand daartussen is  a + 2/a
dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is:
1 - 2/a2 = 0
a2 = 2
a = ±√2
alleen  a = √2 voldoet.
   
15.

10 = 0,4 + 0,3 · 2n - 2
9,6  = 0,3 · 2n - 2
32 = 2n - 2
n - 2 = 5
n = 7
(mercurius - venus - aarde - mars - jupiter - saturnus  is nummer 6)
   
16. De cosinusregel in driehoek ZAV geeft:  12 = 0,72 + d2  - 2 · 0,7 · d · cos(a)
De cosinusregel in driehoek ZVM geeft:  1,62 = 0,72 + d2 - 2 · 0,7 · d · cos(180 - a)

De eerste geeft  1,4d = (d² - 0,51)/cos(a)
De tweede geeft  1,4d = (d² - 2,07)/cos(180 - a)

Dat moet dus gelijk zijn, en gelijkstellen geeft direct de gevraagde vergelijking.
   
17. cos(180 - a) = -cosa
Dat geeft in de vergelijking van vraag 16:
d2 - 0,51 = -d2 + 2,07
2d2 = 2,58
d2 = 1,29
d ≈ 1,14
   
18. Kies de coördinaten:  Zon (0, 0) en  Jupiter (8 · 108, 0)
Voor het zwaartepunt geldt dan :
  Mtot · xzw = 2 · 1030 · 0  + 2 · 1027 · 8 · 108
(2 · 1030  + 2 · 1027) · xzw = 16 · 1035
xzw  = 799200,799...
afgerond dus 800000 km