Nieuwe pagina 1

VWO WC, 2015 - I Pilot.

Succesvogels en Pechvogels.

In 2010 heeft Chris van Turnhout onderzoek gedaan naar de ontwikkeling van de aantallen broedvogels in Nederland gedurende de periode 1990 − 2005. Hij onderzocht welke eigenschappen bepalen of een vogelsoort in aantal toeneemt (‘succesvogels’) of afneemt (‘pechvogels’).



Deze figuur gaat over een ‘pechvogel’: de grutto. Langs de verticale as staan de aantallen als percentage van het aantal grutto’s dat er in 1990 was. In 2004 waren er 60000 grutto’s. Met behulp van dit gegeven en gegevens uit deze figuur kun je nu het aantal grutto’s in 1994 berekenen.

3p.	1.	Bereken het aantal grutto’s in 1994.

In de periode 1990 − 2005 nam het aantal kuifleeuweriken dramatisch af, zoals in de volgende figuur goed te zien is.



In 2005 was er nog slechts 5% over van het aantal in 1990. Ga ervan uit dat het aantal exponentieel afnam in deze periode.

4p.	2.	Bereken de groeifactor per jaar voor de kuifleeuwerik. Ga uit van de gegevens van 1990 en 2005.

Uit het onderzoek is gebleken dat de plaats van het nest belangrijk is voor de mate van succes van een vogelsoort. Een soort A die zijn nest in struiken maakt, groeit exponentieel met groeifactor 1,042 per jaar. En een soort B die in bomen nestelt, groeit exponentieel met groeifactor 1,016 per jaar. Neem aan dat de aantallen van deze twee broedvogelsoorten op een bepaald moment gelijk zijn.

4p.	3.	Bereken na hoeveel gehele jaren het aantal vogels van soort A voor het eerst meer dan twee keer zo groot is als dat van soort B.

Een eigenschap die belangrijk is voor het succes van trekvogels is de datum van aankomst in Nederland. In onderstaande figuur zie je het verband tussen de groeifactor per jaar en de dag van aankomst in Nederland. Deze dag is aangegeven met een dagnummer: dag 33 is 2 februari, dag 34 is 3 februari, enzovoort. De 41 onderzochte vogelsoorten zijn met punten aangegeven. In deze figuur is de best passende lijn bij deze 41 punten getekend. Deze lijn geeft aan dat in het algemeen geldt: hoe later een soort aankomt in Nederland, hoe kleiner de groeifactor van die soort.



Vergelijk drie denkbeeldige soorten die precies op de lijn van deze figuur liggen. Soort X komt op dag 120 aan, soort Y op dag 130 en soort Z op dag 140. Omdat ze steeds met 10 dagen verschil aankomen, is het verschil in groeifactor ook constant: ze liggen immers op een rechte lijn. Aankomen op dag 120 levert, zo is vast te stellen, een groeifactor van 0,975. En aankomen op dag 130 levert een groeifactor van 0,965. De vraag is of het verschil in halveringstijd (dat is de tijd die het duurt tot er nog 50% van het aantal over is) bij deze drie soorten ook constant is.

5p.	4.	Onderzoek door het berekenen van de halveringstijden van de soorten X, Y en Z of de halveringstijd ook met een vast aantal jaren afneemt.

Een oud-Egyptisch verdeelprobleem.

Uit het Egypte uit de tijd van de farao’s zijn enkele documenten met een wiskundige inhoud bewaard gebleven. In één van deze documenten, de Rhind papyrus, staat het volgende verdeelprobleem:

Verdeel 10 hekats gerst zó onder 10 man dat het verschil tussen het deel van
elke man en zijn buurman steeds 18 hekat is. Hoe groot is dan ieders deel?

Een hekat is een oud-Egyptische inhoudsmaat voor graan: 1 hekat ≈ 4,8 liter.
In het document wordt vervolgens beschreven hoe men dit uitrekent:
- het ‘gemiddelde deel’ is 10 : 10 =1 hekat
- het aantal verschillen tussen de 10 delen is 10 – 1 = 9
- deel het verschil ¹/₈ door 2, het antwoord is ¹/_16|- vermenigvuldig nu het aantal verschillen met ¹/₁₆ . Je krijgt 9 × ¹/₁₆ = ⁹/₁₆- tel dit op bij het gemiddelde deel: dit geeft het grootste deel
- trek nu steeds ¹/₈ hekat eraf voor elke volgende man totdat je bij de laatste komt.

De delen van groot naar klein die de 10 mannen krijgen, vormen een rij die hoort bij een lineair verband.

3p.

Geef een recursieve formule van deze rij.

Stel je moet €1800 verdelen onder 8 personen en wel zo dat de acht bedragen een rij vormen met een verschil van €20 tussen elk tweetal opeenvolgende termen.

4p.

Bereken op de manier van de oude Egyptenaren hoeveel ieder dan krijgt.

De Egyptenaren beschreven de oplossing van een dergelijk probleem in woorden en aan de hand van een voorbeeld. Men kende toen nog geen formules. Tegenwoordig kan men de oplossing veel korter beschrijven met behulp van formules.

Noem de totale hoeveelheid die verdeeld moet worden T, het verschil tussen de opeenvolgende delen v (met v > 0) en het aantal personen waarover verdeeld moet worden n. In het eerstgenoemde voorbeeld geldt dan T = 10 (hekat), v = ¹/₈ en n = 10 (personen).

4p.

Stel, uitgaande van de bovengenoemde procedure van de oude Egyptenaren, een formule op waarin het grootste deel G uitgedrukt wordt in T , v en n.

Reistijden.

In 2010 stond in NRC Handelsblad een artikel waarin de prestaties van vliegtuig, hogesnelheidstrein (hst) en gewone trein met elkaar vergeleken werden. Bij het artikel stond onderstaande figuur. In deze figuur staat horizontaal de reisafstand in kilometers en verticaal de totale reistijd van-deur-tot-deur in uren. De reistijd van-deur-tot-deur is de totale tijd die nodig is voor de trein- of vliegreis zelf en voor de verplaatsingen van en naar het station of vliegveld.



Uit de figuur blijkt dat men voor reizen met een afstand van meer dan 100 km bij elk vervoermiddel uitgaat van een constante snelheid.

3p.	8.	Bereken deze snelheid voor de hogesnelheidstrein in km/u.

Voor een reis met de auto is er geen reistijd van en naar een station of vliegveld. Neem daarom aan dat we bij autoreizen ook bij afstanden beneden de 50 km uit mogen gaan van een constante snelheid.

3p.	9.	Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek van het reizen met de auto met een snelheid van 100 km/u en bepaal daarmee tot welke afstand de auto sneller is dan het vliegtuig.

Naar aanleiding van de figuur heeft men de volgende formules opgesteld. Hierbij is a de afstand in km en r de reistijd in uren:
	Vliegtuig: r = 0,00137a + 3,43
	Gewone trein: r = 0,00793a + 1,10

3p.	10.	Onderzoek met behulp van deze formules vanaf welke afstand de reistijd met het vliegtuig kleiner is dan de reistijd met de gewone trein.

De logica van Cruijff

De oud-voetballer en trainer Johan Cruijff staat bekend om zijn onnavolgbare logica. In een interview met Johan Cruijff door Johan Derksen in 2013 zei Cruijff het volgende: “Als ik jou vraag 'Laat eens zien wat je kan', zal jij laten zien wat je kan. Maar dan weet ik meteen wat je niet kan, want dat zal je niet laten zien.” In deze opgave gaan we de logica in deze uitspraak van Cruijff nader bekijken. Daarvoor beperken we ons eerst tot één vaardigheid, die we vaardigheid X noemen. Hiervoor onderscheiden we de volgende uitgangspunten:\| - A: iemand beheerst vaardigheid X - B: iemand laat vaardigheid X zien We maken een model van Cruijffs uitspraak. Het eerste deel kunnen we met logische symbolen opschrijven als A⇒ B . Het tweede deel van Cruijffs uitspraak kunnen we modelleren als: ‘Als iemand vaardigheid X niet laat zien, dan beheerst hij vaardigheid X niet"

3p.	11.	Schrijf het tweede deel van het model van Cruijffs uitspraak met behulp van logische symbolen en onderzoek of in het model het tweede deel logisch volgt uit het eerste deel. Licht je antwoord toe.

We gaan terug van het model naar de uitspraak van Cruijff.

2p.	12.	Leg uit waarom je kritiek kunt hebben op de uitspraak van Cruijff.

Een andere bekende uitspraak van Cruijff is zelfs de titel geworden van een boek over hem: “Je moet schieten, anders kun je niet scoren.” Om deze uitspraak te ontleden beginnen we met: - P : iemand schiet op doel - Q: iemand scoort De uitspraak van Cruijff kunnen we herformuleren met de volgende logische bewering: ‘Als er gescoord wordt, dan is er op doel geschoten.’ In een bepaalde wedstrijd wordt niet gescoord.

3p.	13.	Schrijf eerst de bewering ‘Als er gescoord wordt, dan is er op doel geschoten." met logische symbolen op en onderzoek vervolgens daarmee wat je volgens zijn logica kunt zeggen over het schieten op doel in deze wedstrijd.

Bevingen in Japan.

De laatste jaren waren de zeebevingen in de buurt van Japan regelmatig in het nieuws. De zeebeving van Sendai in 2011 en de aardbeving van 2004 die een enorme tsunami in de Indische Oceaan veroorzaakte, zijn allebei bevingen met een kracht van 9,0 of meer op de schaal van Richter. De Amerikaan Charles Richter gebruikte seismogrammen om de magnitude (kracht) van een beving te kunnen bepalen. In de figuur zie je een voorbeeld van een seismogram. In dit seismogram zie je de gemeten trillingen van de aarde als uitwijkingen in mm. De grootste uitwijking in het seismogram heet de maximale amplitude.



Om de magnitude van een beving te bepalen, gebruikt men de formule van Richter. Hieronder staat een vereenvoudigde versie daarvan:
		M = log(A) + 3
In deze formule is M de magnitude en A de maximale amplitude in mm.
Met deze formule kan M berekend worden als A bekend is. Men kan echter ook A berekenen als M bekend is. Dat kan met de formule A = 0,001 • 10^M. Deze laatste formule is af te leiden uit de formule M = log(A) + 3.

3p.	14.	Toon dit aan.

Een van de naschokken van de beving van 2004 had een magnitude van 5,3 op de schaal van Richter. En bij de beving van 2011 was er een naschok met een magnitude van 5,0. In een wetenschappelijk tijdschrift stond dat de maximale amplitude op het seismogram bij de naschok van 2011 gelijk was aan 10^2,0. De maximale amplitude tijdens de naschok van 2004 was groter dan die van 2011.

3p.	15.	Bereken hoeveel keer zo groot.

De zeebeving van 11 maart 2011 met de daaropvolgende tsunami zorgde voor grote problemen bij de kerncentrale Fukushima I. Om de reactoren te koelen, werd zeewater in de reactoren gepompt. Dit water lekte, radioactief geworden, weer terug in zee. Hierdoor raakte vis besmet met radioactief jodium en moest de visvangst tijdelijk worden stopgezet. Radioactief jodium verdwijnt volgens een exponentieel proces. De halveringstijd van radioactief jodium is 8 dagen. Op 6 april 2011 gaven metingen aan dat er 4800 keer de maximaal toegestane hoeveelheid radioactief jodium in het zeewater aanwezig was. De maximaal toegestane hoeveelheid radioactief jodium is 5 becquerel/liter. Op het moment dat de maximaal toegestane hoeveelheid werd bereikt, mocht er weer gevist worden. We gaan ervan uit dat er na 6 april 2011 geen nieuw radioactief jodium meer in zee lekte.

5p.	16.	Bereken na hoeveel dagen er weer gevist mocht worden.

Kubuskalender.

gemaakt is van hout. Met behulp van de twee kubussen kun je de dag aangeven; de maand wordt eronder vermeld. Op elk zijvlak van de beide kubussen staat een cijfer. Door de kubussen te draaien en/of de linker- en de rechterkubus te verwisselen, kun je alle getallen van 1 tot en met 31 maken. Hierbij wordt 1 voorgesteld als 01, 2 als 02, enzovoort. Om de getallen 11 en 22 te maken is het in elk geval nodig dat op beide kubussen een 1 en een 2 staat. Je zou nu de cijfers als volgt kunnen verdelen: op de ene kubus een 0, 1, 2, 3, 4 en 5 en op de andere kubus een 1, 2, 6, 7, 8 en 9. Het blijkt dan echter niet mogelijk te zijn om alle getallen van 1 tot en met 31 te maken.

2p.	17.	Leg uit waarom er ook op de andere kubus een 0 nodig is.

Omdat er op een kubus maar zes cijfers kunnen staan, heeft men op de andere kubus de 9 vervangen door een 0. De 6 kan ook als 9 gebruikt worden door de kubus ondersteboven te draaien. Met 0, 1, 2, 3, 4, 5 op de ene en 0, 1, 2, 6, 7, en 8 op de andere kubus is het nu mogelijk alle getallen van 01 tot en met 31 te maken. Met deze twee kubussen kunnen meer getallen gemaakt worden dan alleen de getallen van 01 tot en met 31. Het is bijvoorbeeld ook mogelijk het getal 49 te maken, of 46, of 94, of 00.

5p.	18.	Onderzoek hoeveel verschillende getallen je in totaal met de twee kubussen kunt maken.

De ribbe van de kubussen is 6 cm. Onder de foto 2 kubussen bevinden zich drie losse balkjes van 12 bij 2 bij 2 cm met daarop de namen van de maanden. Door de balkjes te verwisselen en te draaien kan de goede maand getoond worden. Om de kubussen en balkjes zit een houder. Zie de foto. De zijkanten, bodem en achterkant zijn alle 2 cm dik. We nemen aan dat de kubussen en de balkjes precies in de houder passen.

5p.	19.	Bereken de totale hoeveelheid hout die nodig is voor de houder in cm³.

Hieronder zie je nogmaals de eerste foto van de kubuskalender.



4p.	20.	Onderzoek op welke hoogte, gemeten vanaf de ondergrond waar de kalender op staat, de foto genomen is.

Hieronder zie je het begin van een perspectieftekening van de kubuskalender, van voren gezien.



5p.	21.	Maak deze tekening af. Geef in de tekening ook op de bovenzijde de kubussen aan. De onzichtbare delen hoeven niet te worden getekend

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

Uit de figuur kun je aflezen dat er in 2004 ongeveer 65% grutto's waren (van het aantal in 1990) en in 1994 ongeveer 95% (van het aantal in 1990).
Als 60000 grutto's 65% is, dan is 100% gelijk aan ⁶⁰⁰⁰⁰/₆₅ • 100 = 92308 grutto's in 1990
In 1994 zijn er daar dan 95% van, dus 0,95 • 92308 = 87693 grutto's (afgerond).

Er is een afname van 100 naar 5 in 15 jaar.
De groeiformule geeft dan 5 = 100 • g¹⁵
Je kunt g nu via intersect van je GR berekenen, maar het kan ook algebraïsch:
0,05 = g¹⁵
g = 0,05^1/15 ≈ 0,8190

aantal van A = B • 1,042^t
aantal van B = B • 1,016^t
Als A tweemaal zo groot is als B, dan moet gelden: 2 • B • 1,1016^t = B • 1,042^t
B valt weg: 2 • 1,1016^t = 1,042^t
Y1 = 2 * 1,016^X
Y2 = 1,042^X
Intersect geeft X = t = 27,43 jaar, dus dat is voor het eerst na 28 jaar.

(opm: in plaats van intersect kun je nu ook handig TABLE van je GR gebruiken)

De halveringstijd t vind je via g^t = 0,5 ofwel t = ^log(0,5)/_log(g)

g = 0,975 geeft halveringstijd 27,38 jaar
g = 0,965 geeft halveringstijd 19,46 jaar
g = 0,955 (bij aankomst op dag 140) geeft halveringstijd 15,05 jaar

De verschillen zijn 7,92 jaar (27,38 - 19,46) en 4,41 jaar (19,46 - 15,05)
dus de halveringstijden nemen NIET met een vast aantal af.

Om vanaf de grootste steeds de eerstvolgende lagere te krijgen moet je ¹/₈ ervan aftrekken.
Dat geeft u(n ) = u(n - 1) - ¹/₈
De beginwaarde is het grootste deel en dat is hier u₀ = 1⁹/₁₆

Het gemiddelde is ¹⁸⁰⁰/₈ = 225
er zijn 7 verschillen en het halve verschil is 10
het grootste bedrag is dan 225 + 7 • 10 = 295
Trek daar steeds 20 van af:
295 - 275 - 255 - 235 - 215 - 195 - 175 - 155 (allemaal in euro)

Volg de redenering van de vorige opgave, maar nu met letters in plaats van getallen:

Het gemiddelde is ^T/_n
er zijn n - 1 verschillen en het halve verschil is 0,5v
het grootste bedrag is dan G = ^T/_n + (n - 1) • 0,5v

De grafiek van de hst gaat door bijv. (300, 3) en (1000, 5.5)
Dat betekent in 5,5 - 3 = 2,5 uur een afstand van 1000 - 300 = 700 km
De snelheid is dan ⁷⁰⁰/_2,5 = 280 km/uur

De grafiek van de auto is een rechte lijn tussen (0, 0) en (800, 8).
Zie de paarse lijn hierboven.
Die snijdt de grafiek van het vliegtuig ongeveer bij 400 km
De auto is sneller voor afstanden van 0 - 400 km

10.

De reistijden zijn gelijk als 0,00137a + 3,43 = 0,00793a + 1,10
2,33 = 0,00656a
a = ^2,33/_0,00656 = 355 km
In de grafiek zie je dat voor afstanden vanaf 355 km het vliegtuig een kleinere reistijd heeft.

11.

wat je niet laat zien: ¬B
wat je niet kan : ¬A
Dus ALS je iets niet laat zien DAN kan je het niet geeft ¬B ⇒ ¬A
Dat volgt uit A ⇒ B (omdraaien en NIET ervoor)
Dus het tweede deel van de uitspraak volgt uit het eerste

Als iemand vaardigheid X niet laat zien, dan beheerst hij deze niet, want uit het eerste deel volgt dat als hij vaardigheid X wel beheerst had, hij deze ook had laten zien.

12.

Als iemand iets niet laat zien weet je net zeker of hij het niet kan want hij hoeft niet ALLES te laten zien wat hij kan.

13.

Als er gescoord wordt, dan is er op doel geschoten." is logisch genoteerd Q ⇒ P
Maar dat zegt niets over ¬Q
Dus als er niet gescoord is (¬Q) dan weet je niet of er op doel is geschoten (P)

14.

log(A) = M - 3
A = 10^{M - 3} = 10^M • 10^-3 = 10^M • 0,001

15.

2004: A = 0,001 • 10^5,3 = 199,53
2011: 10^2,0 = 100
Dat is ^199,53/₁₀₀ = 1,9953 keer zo groot, dus ongeveer 2 keer zo groot.

16.

Als de halveringstijd gelijk is aan 8 dagen dan is g⁸= 0,5
g = 0,5^(1/8) = 0,917
Eindwaarde is 5, beginwaarde is 4800 • 5 = 24000
y = B • g^t invullen: 5 = 24000 • 0,917^t
Het mag nu met de GR (intersect) maar het kan natuurlijk ook algebraïsch:
⁵/₂₄₀₀₀ = 0,0002083 = 0,917^t
t = ^{log(0,0002083)}/_log(0,917) = 97,8 dagen.

17.

Je moet 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07 08, 09 allemaal kunnen maken.
Als de nul maar op één kubus zou staan kan hij maar met zes andere cijfers (van de andere kubus) worden gecombineerd.
Dat is niet genoeg....

18.

eerste kubus 6 mogelijkheden, tweede kubus 7 (9 en 6 zijn er twee)
Dus in totaal geeft dat 6 • 7 = 42 mogelijkheden.

	0	1	2	6	7	8	9
0	00	10	20	60	70	80	90
1	01	11	21	61	71	81	91
2	02	12	22	62	72	82	`92
3	03	13	23	63	73	83	93
4	04	14	24	64	74	84	94
5	05	15	25	65	75	85	95

Je kunt ze ook nog verwisselen, dus dat zou 84 mogelijkheden geven.
Maar de rood gekleurde cijfers geven bij verwisseling geen nieuw getal.
Dat zijn er 9, dus er zijn 84 - 9 = 75 mogelijkheden.

19.

Neem de inhoud van de totale houder (balk eromheen) en trek dan de binnenruimte er weer af.
totaal: 16 • 10 • 8 = 1280
binnenruimte: 12 • 8 • 6 = 576
Verschil: 1280 - 576 = 704 cm³

20.

Zie de tekening.
De hoogte van het oog is de horizon, en dat is AC
Dat is iets meer dan het dubbele van AB.
AB = 10 cm, dus AC zal iets meer dan 20cm zijn.
De foto is op iets meer dan 20 cm boven de bodem van de kalender genomen.

21.

Zie de tekening.
Het verdwijnpunt enz. spreekt wel voor zich denk ik.
De achterrand van het binnengedeelte is 2 cm en dat is "toevallig" precies een kwart van de totale diepte (8 cm)
Dat kun je vonden door twee keer te halveren: zie de beide rode kruizen.