VWO WC, 2021 - II

 

Aankoop en verkoop van woningen.
       
In de zomer van 2007 ontstond de wereldwijde kredietcrisis. Ten gevolge van de kredietcrisis is de gemiddelde huizenprijs van koopwoningen in Nederland in de periode 2008-2013 flink gedaald. Zie de figuur.
       

       
In de figuur kun je zien dat het hoogtepunt van de huizenprijzen in augustus 2008 was en dat het dieptepunt in juni 2013 was.
       
2p. 1. Bereken met hoeveel procent de gemiddelde huizenprijs in deze periode is gedaald. Geef je antwoord in één decimaal.
     

 
Hieronder zie je de procentuele verandering van de gemiddelde prijs van woningen in Nederland ten opzichte van het jaar ervoor.
       

       
Bijvoorbeeld –6% op 1-1-2013 betekent dat tussen 1-1-2012 en 1-1-2013 de gemiddelde prijs van een woning in Nederland met 6% is gedaald.
       
4p. 2. Bereken met behulp van de figuur met hoeveel procent de gemiddelde prijs van woningen in Nederland tussen 1-1-2012 en 1-1-2017 is toegenomen. Geef je antwoord in hele procenten.
     

 
Om ervoor te zorgen dat meer mensen met lage inkomens een koopwoning kunnen betalen, werd in 2004 in Nederland de zogeheten Koopgarantregeling of kortweg Koopgarant ontwikkeld. Bij Koopgarant verkoopt een woningcorporatie een woning aan een particulier, die dan bij de aankoop korting krijgt op de marktwaarde van de woning.
Woningcorporatie Prowonen in de gemeente Berkelland in de Achterhoek verkocht in 2012 met Koopgarant een hoekwoning met een marktwaarde van € 191000. De particuliere koper kreeg een korting van 10% op de marktwaarde. De koper leende voor het kopen van de woning het destijds maximaal haalbare bedrag ter grootte van 108% van de marktwaarde van de woning.
       
3p. 3. Bereken hoeveel euro de koper hierdoor meer leende dan hij voor de koop van het huis nodig had.
     

 
Als de particulier na een aantal jaren wil verhuizen, koopt Prowonen de woning weer terug. De terugkoopprijs wordt altijd berekend met de formule:

P = p • M  + V + q • (T - V - M)
       
Hierin is:
P de terugkoopprijs;
M de marktwaarde bij de aankoop van de woning;
V de bij terugkoop getaxeerde waarde van de verbeteringen die de particulier heeft aangebracht;
T de marktwaarde van de woning bij terugkoop;
p het deel van de marktwaarde dat de particulier betaalde bij de aankoop;
q het deel van de veranderde marktwaarde dat bij terugkoop verrekend wordt.
       
Alle bedragen zijn in euro.

In 2019 kocht Prowonen de eerder genoemde hoekwoning terug. De veranderde marktwaarde werd voor 85% verrekend in de terugkoopprijs, dus q = 0,85.
De particulier gaf in totaal € 41000 uit voor verbeteringen aan het huis. Een deel van de €41000 heeft in de loop der jaren zijn waarde verloren, want bij de terugkoop in 2019 werd de marktwaarde van deze hoekwoning getaxeerd op € 212500. Zonder de verbeteringen werd de marktwaarde getaxeerd op € 194000.

De particulier kreeg minder voor deze hoekwoning terugbetaald dan hij voor de aankoopprijs en verbeteringen had uitgegeven.

       
4p. 4. Bereken met behulp van de formule voor de terugkoopprijs hoeveel euro hij minder terugbetaald kreeg.
     

 
Prowonen bood in 2012 ook tussenwoningen aan met Koopgarant. Voor deze tussenwoningen werd een korting van 15% op de marktwaarde op het moment van aankoop gegeven. Bij de terugkoop zal 77,5% van de veranderde marktwaarde worden verrekend in de terugkoopprijs.
       
3p. 5. Stel de formule op van de terugkoopprijs P voor tussenwoningen en herleid deze tot de vorm   P =  a • M + b • T + c • V
     

  
Insectenafname.
       
In oktober 2017 publiceerde PLOS One  (een internationaal online tijdschrift)  een onderzoek naar de afname van insecten in natuurgebieden in Duitsland.
In de periode 1989-2016 zijn in diverse Duitse natuurgebieden insecten in vallen gevangen. De insecten werden niet geteld, maar de onderzoekers noteerden dagelijks het gewicht van alle insecten in zo’n val. Vervolgens hebben de onderzoekers voor elk jaar het gemiddelde gewicht per val per dag berekend. Aan de hand van dit gemiddelde gewicht konden de onderzoekers een uitspraak doen over de toename of afname van het aantal insecten.
In deze opgave is het gemiddeld gewicht G steeds het gemiddeld gewicht per val per dag in gram. In onderstaande figuur zijn de resultaten van het onderzoek weergegeven.
       

       
In deze figuur is G uitgezet tegen de tijd t in jaren, met t = 0 in 1989. De schaalverdeling op de verticale as is logaritmisch. Je kunt in de figuur bijvoorbeeld aflezen dat in 1989 het gemiddeld gewicht G gelijk was aan 8,4 gram.

In een krant stond dat de hoeveelheid insecten in de Duitse natuurgebieden in 27 jaar met ruim 75% afgenomen is.
       
4p. 6. Onderzoek met behulp van de figuur of een afname van ruim 75% in de periode 1989-2016 te verdedigen is.
     

 
In de volgende figuur zijn de resultaten van het onderzoek nogmaals weergegeven. Er is een trendlijn toegevoegd.
       

       
Een formule voor de trendlijn in deze figuur is:

log(G) = -0,028t + 0,924

Hierin is G het gemiddeld gewicht in gram en t de tijd in jaren, met t = 0 in 1989. Als het onderzoek na 2016 voortgezet zou zijn en als G zich volgens dezelfde trend blijft ontwikkelen, zal G op een gegeven moment minder dan 0,5 gram zijn.
       
3p. 7. Bereken in welk jaar dat volgens de gegeven formule voor het eerst het geval is.
     

 
De trendlijn in de figuur hoort bij een exponentieel model voor de afname van het gewicht G. De formule van de trendlijn is te herleiden tot

G = 10-0,028t + 0,924
       
3p. 8. Herleid deze formule tot de vorm  G = B • gt  en bepaal hiermee, zonder getallen in te vullen, de jaarlijkse procentuele afname. Geef je antwoord in één decimaal.
     

  
Kaartenhuis.
       
Door speelkaarten op elkaar te stapelen, foto kan je een kaartenhuis bouwen. Op de foto zie je een kaartenhuis van drie lagen.
Het kaartenhuis op de foto is gebouwd volgens de zogeheten driehoeksconstructie.
Bij de driehoeksconstructie ga je als volgt te werk:
- Zet steeds naast elkaar twee kaarten schuin tegen elkaar (de zwarte lijnstukken in de figuur hieronder)
- Leg een kaart op de toppen (de gestippelde lijnstukken in de figuur).
- Ga door tot het kaartenhuis af is.
     
In de onderstaande figuur is dit schematisch weergegeven voor een kaartenhuis van vier lagen.
       

       
In deze opgave beschouwen we kaartenhuizen die volgens de driehoeksconstructie zijn gebouwd.
Zowel het aantal staande kaarten als het aantal liggende kaarten in een laag vormt een rekenkundige rij. Door voor beide aantallen een directe formule op te stellen, kan een directe formule voor het totaal aantal kaarten in een laag gevonden worden.
Deze formule is K(n) = 3n - 1, met K(n) het totaal aantal kaarten in de n-de laag. De liggende kaarten horen bij de laag waarop ze liggen, dus de bovenste liggende kaart in de figuur hoort bij laag 2.
       
2p. 9. Stel voor zowel de staande kaarten als voor de liggende kaarten in de n-de laag een directe formule op en toon daarmee aan dat K(n) = 3n - 1.
     

 
Een pakje speelkaarten, inclusief jokers, bestaat uit 54 kaarten. Met de kaarten van één pakje speelkaarten wordt een zo hoog mogelijk kaartenhuis gebouwd. Met de kaarten die overblijven wordt daarna een tweede zo hoog mogelijk kaartenhuis gebouwd. Zo gaat men door totdat alle kaarten op zijn of totdat er te weinig kaarten over zijn om nog een kaartenhuis te bouwen.
       
5p. 10. Onderzoek met een berekening welke kaartenhuizen gebouwd zullen worden.
     

 
De driehoeken van drie kaarten in het vooraanzicht van het kaartenhuis hebben allemaal drie even lange zijden.

De kaarten van het kaartenhuis op de eerste foto zijn 63 mm breed en 88 mm lang. We verwaarlozen de dikte van de kaarten. Met kaarten van deze afmetingen wordt een kaartenhuis gebouwd dat minimaal 1 meter hoog is.

       
3p. 11. Bereken uit hoeveel lagen dit kaartenhuis dan minimaal moet bestaan.
     

 
De kunstenares Lisa Greenfield heeft het kunstwerk House of Cards II ontworpen. Zie onderstaande foto.
       

       
Hieronder is een begin gemaakt van een perspectieftekening van dit kunstwerk. De twee meest linker staande kaarten onderaan zijn getekend. Bovendien is de onderrand van een van de twee staande kaarten direct ernaast getekend.
       

       
5p. 12. Teken in de tekening de twee staande kaarten direct naast de staande kaarten die al getekend zijn.
     

  

 

Volvo Ocean Race.
       
De Volvo Ocean Race (VOR) is een zeilwedstrijd rond de wereld die om de drie jaar gevaren wordt. Aan de editie van 2017-2018 namen zeven teams deel.

De VOR bestaat uit etappes en havenraces. De etappes gaan van de ene havenplaats naar de andere en duren meerdere dagen. De havenraces zijn wedstrijden van enkele uren dicht bij de kust.

Zowel voor de etappes als voor de havenraces zijn punten te verdienen. De tussenstand na tien etappes en negen havenraces staat in de tabel.
       
plaats team punten voor
de etappes		 punten voor
de havenraces
1 MAPFRE (M) 65 56
2 Team Brunel (B) 65 41
3 Dongfeng Race Team (D) 64 49
4 Team AkzoNobel (A) 53 39
5 Vestas 11th Hour Racing (V) 38 26
6 Team Sun Hung Kai/Scallywag (S) 30 21
7 Turn the Tide on Plastic (T) 29 17
       
Voor de havenraces geldt de volgende puntentelling: de winnaar van een wedstrijd krijgt 7 punten, het tweede team krijgt 6 punten, het derde team 5 punten, enzovoort. Een team dat de finish niet haalt, krijgt 0 punten.
       
3p. 13. Beredeneer of het mogelijk is dat in één van de reeds gevaren havenraces drie of meer teams de finish niet haalden.
     

 
In het klassement zijn de punten voor de etappes belangrijker dan de punten voor de havenraces. De eindwinnaar van de VOR is het team dat aan het einde de meeste punten voor de etappes behaald heeft.

Als twee teams evenveel punten voor de etappes hebben, wordt gekeken naar de punten voor de havenraces om te bepalen welk team hoger in het klassement staat. In de tussenstand in de tabel is bijvoorbeeld te zien dat team M en team B allebei 65 punten hebben voor de etappes en dat team M op de eerste plaats staat, omdat team M meer punten heeft voor de havenraces.
       
Voor de laatste etappe zijn nog de volgende punten te verdienen:
- De winnaar van de laatste etappe krijgt 8 punten, het tweede team krijgt 6 punten, het derde team 5 punten, enzovoort (steeds 1 punt minder). Een team dat de finish niet haalt, krijgt 0 punten.
- Het team dat de snelste totale tijd over alle etappes heeft gevaren krijgt een bonuspunt bij de totale punten voor de etappes. Op basis van hun prestaties op de eerdere etappes is nu al bekend dat dit punt naar team D gaat.
 
3p. 14. Leg uit dat voor de teams die nu in de top 3 staan, geldt dat de laatste twee havenraces alleen nog van invloed zijn op de einduitslag als ten minste twee van de top 3-teams uitvallen in de laatste etappe.
     

 
Met nog één etappe en twee havenraces te varen, staat ook voor de overige vier teams de einduitslag nog niet vast. We voeren de volgende notatie in:
     H   ‘de havenraces zijn nodig om de einduitslag te bepalen’
Verder voegen we extra informatie toe, tussen haakjes, over de  uitslag in de laatste etappe. Bijvoorbeeld:
-  V(5) ‘team V wordt vijfde in de laatste etappe’
-  T(F)  ‘team T haalt de finish in de laatste etappe’

Er geldt bijvoorbeeld:
Als in de laatste etappe team S vierde wordt en team T derde, dan zijn de havenraces nodig om de einduitslag te bepalen.
       
2p. 15. Schrijf deze zin met behulp van bovenstaande afkortingen en met logische symbolen.
     

 
Er geldt ook:   (T(2) ∧ ¬ (S(1) ∨ S(3)))  ⇒ ¬H
       
3p. 16. Vertaal deze bewering in een gewone zin.  
     

 
In de tabel lijkt team V zeker te zijn van een vijfde plaats. Dat is echter niet zo. Er is een uitslag van de laatste etappe mogelijk waarbij de havenraces nodig zijn om de einduitslag te bepalen.
       
3p. 17. Onderzoek welke uitslag van de laatste etappe dat is en beschrijf dit vervolgens met behulp van bovenstaande afkortingen en met logische symbolen.
     

 
Bevolkingsgroei
       
Er bestaan veel modellen voor het voorspellen van de groei van de wereldbevolking. De voorspellingen kunnen per model behoorlijk uiteenlopen. In de figuur staan een lage, een gemiddelde en een hoge voorspelling voor de totale wereldbevolking. Deze voorspellingen lopen tot en met het jaar 2100.
       

       
De grafiek van de lage voorspelling kan benaderd worden met behulp van de formule
 

Wlaag = 0,0000513t4 - 0,0196t3 + 1,8607t2 + 19,825t + 2595,5
       
Hierin is Wlaag de wereldbevolking in miljoenen volgens de lage voorspelling en t het aantal jaren na 1 juli 1950.
Volgens de grafiek van de lage voorspelling bereikt de wereldbevolking eerder dan in het jaar 2100 een maximumwaarde.
       
3p. 18. Bereken met behulp van de formule voor Wlaag deze maximale grootte van de wereldbevolking. Geef je antwoord in gehele miljoenen.
     

 
De grafiek van de hoge voorspelling kan benaderd worden met behulp van de formule
       

Whoog = 0,1927t2 + 64,866t + 2313,4

       
Hierin is Whoog de wereldbevolking in miljoenen volgens de hoge voorspelling en t het aantal jaren na 1 juli 1950.

De hoge en lage voorspelling lopen nogal uiteen. Nog voor het jaar 2100 zal de hoge voorspelling zelfs meer dan twee keer zo groot zijn als de lage voorspelling.
       
3p. 19. Bereken in welk jaar de hoge voorspelling voor het eerst meer dan twee keer zo groot is als de lage voorspelling.
     

 
De meeste deskundigen gaan uit van de grafiek van de gemiddelde voorspelling. De grafiek van de gemiddelde voorspelling staat hieronder.
       

       
De gemiddelde voorspelling gaat uit van een eerst steeds sneller groeiende wereldbevolking en vervolgens een steeds langzamer groeiende wereldbevolking. Er is dus een moment volgens de gemiddelde voorspelling waarop de wereldbevolking het snelst groeit.
       
3p. 20. Bepaal met behulp van de grafiek met hoeveel mensen per jaar de wereldbevolking op dat moment groeit.
     

 
De grafiek van deze gemiddelde voorspelling kan benaderd worden met behulp van de formule
       

       
Hierin is Wmiddel de wereldbevolking in miljoenen volgens de gemiddelde voorspelling en t het aantal jaren na 1 juli 1950.
 

Volgens de formule van Wmiddel bereikt de wereldbevolking na het jaar 2100 op den duur de grenswaarde van 12 miljard.
       
5p. 21. Leg uit hoe die grenswaarde uit deze formule volgt en bereken in welk jaar de wereldbevolking volgens deze formule voor het eerst minder dan 10% verschilt van de grenswaarde.
     

  
       

 

Het Rembrandt lokaal.
       
De ontwerpers Maarten Kolk en Guus Kusters deden onderzoek naar het kleurgebruik van Rembrandt. De resultaten van hun onderzoek werden in 2016 tentoongesteld in Het Rembrandt Lokaal in Leiden, in het pand waar de jonge Rembrandt ooit zijn eerste schilderlessen kreeg. Rembrandt mengde zijn verf niet, maar schilderde verschillende kleuren in laagjes over elkaar. Doordat de verf niet dekkend was, hadden ook de onderste lagen nog invloed op de uiteindelijke kleur. De volgorde waarin de laagjes werden aangebracht, was hierin ook belangrijk. Tot slot leverden meerdere laagjes van dezelfde kleur een verdieping op van de kleur, en daarmee dus steeds een andere kleur.

In zijn latere jaren schilderde Rembrandt met slechts 6 verschillende basiskleuren. Daarmee kon hij veel meer kleuren maken dan de 120 kleuren die in de meest uitgebreide schilderskist met olieverf zitten die je tegenwoordig in de winkel kunt kopen.
       
3p. 22. Bereken hoeveel laagjes verf Rembrandt minimaal moest gebruiken om meer dan 120 kleuren te kunnen maken.
     

 
De ontwerpers hebben geprobeerd de kleuren van Rembrandt na te bootsen. Ze ontdekten dat Rembrandt voor elke kleur altijd precies 4 of 5 laagjes verf gebruikte. Je ziet op foto 1 Rembrandts schilderij De anatomische les van Dr. Nicolaes Tulp. Op de trap ervoor staan gekleurde torentjes.
       

       
Bij vijf verschillende kleuren die in het schilderij voorkomen, zijn op de trap achter elkaar 4 of 5 torentjes geplaatst. Op deze torentjes is de opbouw van een kleur in het schilderij te zien. Het voorste torentje is volledig beschilderd met de kleur van de ondergrond. Hiervoor koos Rembrandt uit de kleuren wit, bruin of rood. Daarachter staan altijd 3 of 4 torentjes, iedere keer met een extra laag verf, maar wel zodanig dat de laag of lagen eronder zichtbaar blijven. Vanaf laag 2 is gekozen uit de 12 verschillende basiskleuren die Rembrandt in zijn jonge jaren gebruikte. De bovenste kleurencombinatie op het achterste torentje komt overeen met de kleur in het schilderij.
Op onderstaande foto staan vijf torentjes die de opbouw van een kleurencombinatie met 5 lagen verf laten zien.
       

       
Voorafgaand aan de analyse van het schilderij hebben de ontwerpers de torentjes van alle mogelijke kleurencombinaties gemaakt volgens bovenstaand voorschrift. Zij hebben hier 4 maanden aan gewerkt. Ga uit van 20 werkdagen per maand.
       
3p. 23. Bereken hoeveel kleurencombinaties de ontwerpers gemiddeld per werkdag hebben gemaakt.
     

 
De horizontale vlakken van de trappen waarop de torentjes staan, zijn rechthoekig en allemaal gelijk.
       
2p. 24. Laat met behulp van de foto zien dat de traptreden ook allemaal even hoog zijn.
     

  

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. De daling is van 261948 naar  206114
Dat is 261948 - 206114 = 55834
 
100% ??
261948 55834
  ?? = 55834 • 100/261948 = 21,3%
   
2. percentages aflezen:  -6, -0.8, 2.8, 3.6, 5.6
Dat zijn groeifactoren:  0.94, 0.992, 1.028, 1.036 en 1.056
 0.94 • 0.992 • 1.028 • 1.036 • 1.056 = 1,0478...
Dat is 5% toename
   
3. van de 191000 gaat 10% af, dus blijft 90% over, en dat is 0,9 • 191000 = 171900
de lening is 108% van 191000, dus  1,08 • 191000 = 206280
het verschil is 206280 - 171900 = €34380 
   
4. in totaal heeft de particulier 0,9 • 191000 + 41000 = 212900 betaald

M = 191000
V = 212500 - 194000 = 18500
T = 212500
p = 0,9
q = 0,85
invullen geeft P = 0,9 • 191000 + 18500 + 0,85•(212500 - 18500 - 191000) = 192950
het verschil is dan 212900 - 192950 = €19950
   
5. P = 0,85 • M  + V + 0,775 • (T - V - M)
P = 0,85M + V + 0,775T - 0,775V - 0,775M
P = 0,075M  + 0,775T + 0,225V
   
6. Maak een schaalverdeling op de y-as waarbij je het stuk tussen 1 en 10 in 10 stukjes verdeelt
Dat zijn de waarden  100, 100,1 , 100,2,  ...., 101
Bij t = 27 hoort dan de waarde  100,3 = 1,995...  (zie de figuur)
 
  dat is (1,9995... - 8,4)/8,4 • 100% = -76,2...%
Dus een afname van ruim 75% is te verdedigen.
   
7. log(0,5) = -0,028t + 0,924
Y1 = log(0,5)
Y2 = -0,028*X + 0,924
intersect geeft X = t = 43,7...
Dat is in het jaar 2033
   
8. G =  10-0,028t + 0,924
G = 10-0,028t • 100,924
G = (10-0,028)t • 8,39
G = 8,39 • 0,938t 
Als er 93,8% overblijft dan is de afname 6,2%
   
9. liggende kaarten:  0 - 1 - 2 - 3 - ....  met formule  L(n) = n - 1
staande kaarten:  2 - 4 - 6 - ... met formule S(n) = 2n
optellen:  K(n) = n - 1 + 2n = 3n - 1
   
10.
laag nr aantal totaal aantal
1 2 2
2 5 7
3 8 15
4 11 26
5 14 40
6 17 57
... ... ...
  na 6 lagen zijn er 57 kaarten en dat is teveel.
Er worden dus 5 lagen gebouwd en dan zijn er nog  54 - 40 = 14 kaartten over.
Daarvan bouw je twee huizen van 2 lagen, want die kosten el 7 kaarten
Dus er worden één huis van 5 lagen en twee huizen van 2 lagen gebouwd.
   
11. Zie hiernaast
Pythagoras:  h2 + 442 = 882
h2 = 882 - 442 = 5808
h = √5808 = 76,21... mm
de hoogte moet 1000 mm worden
dus er zijn  1000/76,2... = 13,12... lagen nodig.
Dat zijn dus minimaal 14 lagen.

   
12. Zie onderstaande figuur.
verleng AB en CD; dat geeft snijpunt V1.
verleng AC en BD:  dat geeft snijpunt V2.
De horizon is V1V2.
verleng AD en snij die met de horizon; dat geeft V3.
Trek een lijn van E naar V3 en een lijn van  F naar V2:  hun snijpunt geeft I
De rest is nu een makkie.
   

   
13. Als alle teams in een race finishen worden er 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 punten gehaald.
In 9 races zouden dat 252 punten zijn.
Er zijn in totaal 56 + 41 + ...+ 17 = 249 punten behaald.
Dus er zijn maar 3 punten niet behaald.
Als er in één race drie teams niet finishen worden er 1 + 2 + 3 = 6 punten gemist.
Dat kan dus niet zijn gebeurd.
   
14. Team D heeft een bonuspunt dus alle drie de bovenste teams hebben 65 punten.
Elk team dat in de laatste etappe de finish haalt krijgt een verschillend aantal punten, dus als ze alle drie finishen ligt de top 3 vast, en kunnen de havenraces geen verschil meer maken.
De havenraces hebben alleen invloed als er minstens twee teams op een gelijk aantal punten eindigen dus als minstens twee teams de finish niet halen.
   
15. (S(4) ∧ T(3)) ⇒ H
   
16. ALS  in de laatste race team T tweede wordt en team S wordt niet eerste en ook niet derde DAN zijn de havenraces niet nodig om de eindstand te bepalen.
   
17. team S moet dan 8 punten meer halen dan team V
Dat kan alleen als S de laatste etappe wint, en V in de laatste etappe uitvalt.
Dus   (S(1)  ∧ ¬V(F))  ⇒ H
   
18. Y1 = 0,0000513*X4 - 0,0196*X3 + 1,8607*X2 + 19,825 * X + 2595,5
Calc - maximum geeft maximum X = 104,9... en Y = 8737,4...
Dat is dus 8737 miljoen.
   
19. Whoog = 2 • Wlaag 
Y1 = 0,0000513*X4 - 0,0196*X3 + 1,8607*X2 + 19,825 * X + 2595,5
Y2 = 2 * ( 0,1927* X2 + 64,866 * X + 2313,4)
Calc - intersect geeft  X = t = 141,6...
Dat is dus in 2092
   
20. Teken de raaklijn in de grafiek die het steilst loopt (zie de figuur).
Dat is ongeveer bij t = 2000
Lees twee punten van de raaklijn af, bijv.  (2000, 6000) en (2050, 10100)
De helling is dan  (10100 - 6000)/(2050 - 2000) = 82
Dat zijn dus 82 miljoen mensen per jaar.
   
 

   
21. Vul voor t een heel groot getal in.
Dan wordt 0,973t  ongeveer NUL
Dan wordt de noemer ongeveer 2,5
Dan wordt de hele formule ongeveer 30000/2,5 = 12000
10% verschil geeft 0,9 • 12000 = 10800

Y1 = 10800
Y2 = 30000/(2,5 + 9,6625 * 0,973 ^X)
intersect levert dan X = t = 129,6...
Dat is in 2080.
   
22. precies 1 laagje:  6
precies 2 laagjes:  6 • 6 = 36
1 of 2 laagjes:  6 + 36 = 42 en dat is te weinig.

precies 3 laagjes:  6 • 6 • 6 = 256|
Dat is genoeg.
Dus minstens 3 laagjes zijn nodig.
   
23. 4 torentjes :  3 • 12 • 12 • 12 = 5184 mogelijkheden
5 torentjes:    3 • 12 • 12 • 12 • 12 = 62208 mogelijkheden
in totaal zijn dat 5184 + 62208 = 67392  mogelijkheden.
er waren in totaal 4 • 20 = 80 werkdagen.
per werkdag is dat dan  67392/80 = 842,4 combinaties
   
24. De toppen van de treden liggen allemaal op dezelfde rechte lijnen (zie de figuur), dus zijn de treden even hoog.