Nieuwe pagina 1

Meer werklozen?

Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) presenteert ieder kwartaal cijfers over de beroepsbevolking van Nederland. Hierbij wordt onder andere het aantal werklozen vermeld. Volgens de overheid is iemand werkloos als die persoon aan de volgende drie criteria voldoet:

De persoon heeft geen betaald werk.

De persoon heeft in de afgelopen vier weken naar betaald werk gezocht.

III

De persoon kan binnen twee weken starten met werken.

We voeren de volgende notaties in:

Een persoon heeft betaald werk.

Een persoon heeft in de afgelopen vier weken naar betaald werk gezocht.

Een persoon kan binnen twee weken starten met werken.

Een persoon is volgens de overheid werkloos.

In de figuur hieronder is een Venndiagram weergegeven.

2p.

Arceer in het Venndiagram het gebied waarin zich een persoon bevindt die volgens de drie criteria van de overheid werkloos is.

2p.

Leg uit of S een voldoende voorwaarde is voor W en leg uit of S een nodige voorwaarde is voor W.

Gegeven is de bewering (S ∧ ¬Z) ⇒ ¬W.

3p.

Vertaal deze bewering in een gewone zin en bepaal of de bewering in overeenstemming is met de drie criteria van de overheid.

Of iemand wel of niet werkloos is, wordt bepaald aan de hand van een ingevulde vragenlijst. In de vragenlijst die tot en met 2021 werd gebruikt, werden onderstaande drie meerkeuzevragen gesteld. Bij de drie vragen is met ● aangegeven wat een bepaalde persoon op deze vragen heeft geantwoord.

1)	Heeft u op dit moment betaald werk?
	¡	ja
	l	nee
2)	Heeft u de afgelopen 4 weken naar betaald werk gezocht?
	l	ja
	¡	nee
3)	Op welke termijn kunt u beginnen met werken?
	¡	Binnen 2 weken
	l	2 weken tot 3 maanden
	¡	3 maanden tot 6 maanden
	¡	6 maanden of langer

2p.

Geef met een redenering in logische symbolen weer, of deze persoon wel of niet volgens de drie criteria van de overheid tot de werklozen wordt gerekend. Gebruik in je antwoord alle vier de symbolen B, Z, S en W.

Het CBS is inmiddels overgegaan op een nieuwe methode voor het bepalen van het aantal werklozen.

In oktober 2021 is het aantal werklozen zowel met de oude als met de nieuwe methode bepaald. Hierbij bleek dat de nieuwe methode een hoger aantal werklozen opleverde. In oktober 2021 had Nederland volgens de oude methode 277 duizend werklozen. Dit kwam neer op 2,9% van de beroepsbevolking. Met de nieuwe methode was het 4,02%.

3p.

Bereken hoeveel werklozen er met de nieuwe methode meer werden bepaald dan met de oude methode. Geef je antwoord in duizendtallen.

Wonen in New York.

Wonen in het centrum van een grote stad is in het algemeen duurder dan wonen buiten het centrum. In de volgende figuur staan de huurprijzen per maand in 2016 van 1- en 3-kamerappartementen in New York, uitgezet tegen de reistijd met het openbaar vervoer tot 42nd Street, een van de belangrijkste straten in het commerciële centrum.

Een punt in deze figuur stelt niet de huurprijs van één appartement voor, maar de gemiddelde huurprijs van alle appartementen met dezelfde reistijd.

Verhuurders van appartementen gebruiken soms de volgende vuistregel:

Voor elke kamer meer in een appartement stijgt de huurprijs met ongeveer 25%.

We bekijken appartementen met een reistijd van 25 minuten.

3p.

Onderzoek met behulp van de figuur of de gemiddelde huurprijs van deze appartementen aan bovenstaande vuistregel voldoet.

In de volgende figuur zijn twee trendlijnen toegevoegd. In het vervolg van deze opgave gaan we uit van deze trendlijnen en niet meer van de individuele datapunten.

We bekijken een 1-kamerappartement met een reistijd van 15 minuten tot 42nd Street. Voor de huurprijs van dit appartement kun je ook een 3-kamerappartement huren. De reistijd tot 42nd Street vanaf dat 3-kamerappartement is wel langer dan de reistijd vanaf het 1-kamerappartement.

3p.

Bepaal met behulp van de figuur hoeveel langer de reistijd vanaf dat 3-kamerappartement is. Licht je antwoord toe en geef je antwoord in hele minuten.

De formule die past bij de trendlijn van de 3-kamerappartementen is:

Hierin is H de huurprijs per maand van een 3-kamerappartement in dollars en r de reistijd tot 42nd Street in minuten.

2p.

Beredeneer aan de hand van de formule, zonder getallen in te vullen of een schets/tekening te maken, dat de huurprijs H hoger wordt als de reistijd r korter wordt.

Krattenbrug

Studenten van de Technische Universiteit Eindhoven hebben in 2016 een brug van kratten gebouwd. Zie de foto. Naast de foto zie je ook een afbeelding van een computeranimatie uit de ontwerpfase van de krattenbrug.



De krattenbrug bestaat uit twee even grote torens met daartussen een overspanning. Elke toren bestaat uit 29 lagen gestapelde kratten. De bovenste laag geven we nummer 1, de laag direct daaronder nummer 2, enzovoorts. Voor de bovenste 11 lagen geldt voor het aantal kratten per laag: A(n) = 3,5n + 3,5 voor lagen met een oneven nummer A(n) = 3,5n + 3 voor lagen met een even nummer Hierin is A(n) het aantal kratten en n het nummer van de laag.
Neem aan dat voor de overspanning in totaal 4950 kratten zijn gebruikt. Voor beide torens geldt dat laag 12 tot en met laag 29 elk evenveel kratten bevatte als laag 11.

4p.	9.	Bereken het totaal aantal kratten in de hele krattenbrug.

Op de foto is te zien dat de krattenbrug over een rivier is gebouwd. Deze rivier, de Dommel, stroomt midden onder de brug door. In de figuur is de situatie schematisch weergegeven in een assenstelsel. In deze figuur zijn van de brug alleen de torens en de onderkant van de overspanning weergegeven. Deze onderkant noemen we de boog.



In de figuur is de grond als x-as genomen en gaat de y-as door het hoogste punt van de boog. Verder zijn de volgende gegevens bekend, zie de figuur:
-	De boog is 26,7 meter breed. .
-	De maximale hoogte van de boog is 5,3 meter ten opzichte van de grond.
-	De Dommel is 9,0 meter breed.

Voor de boog kan een formule worden opgesteld van de vorm y = ax² + 5,3 Na afronding geldt a = -0,030

3p.	10.	Bereken met behulp van de gegevens a in vier decimalen.

Een persoon met een lengte van 1,90 meter loopt op een afstand van 6 meter van de waterkant onder de brug door.

2p.	11.	Onderzoek of deze persoon rechtop onder de brug door kan lopen.

Incomplete open kubussen.

Op de foto is een kunstwerk te zien van de Amerikaanse kunstenaar Sol LeWitt. Dit kunstwerk is onderdeel van een serie kunstwerken. Elk kunstwerk in de serie is een zogeheten frame. Een frame bestaat uit een aantal ribben van een kubus. Alle frames zijn 106,7 cm hoog.

4p.	12.	Bereken op welke hoogte de foto is genomen. Geef je antwoord in een geheel aantal centimeters.

Bij de ribben van een frame onderscheiden we drie verschillende richtingen zoals in onderstaande foto met de dubbele pijlen is aangegeven.



LeWitt stelde een aantal voorwaarden aan de frames in zijn serie:
	I	In elk frame ontbreken één of meerdere van de twaalf ribben die een kubus heeft, waardoor er een incomplete kubus ontstaat.
	II	Een frame mag niet uit verschillende delen bestaan.
	III	Een frame bevat in elk van de drie richtingen ten minste één ribbe.

Op de foto hieronder is een frame te zien dat bestaat uit vijf ribben. De figuur ernaast is het vooraanzicht van dit frame.



Er bestaan meerdere frames die ook een vooraanzicht hebben zoals deze figuur. Deze frames hebben niet allemaal vijf ribben.

2p.	13.	Beredeneer hoeveel ribben een frame met een vooraanzicht als in deze figuur minimaal heeft.

In het vervolg van de opgave kijken we naar frames waarvan de drie aanzichten zijn zoals weergegeven in onderstaande figuur.



Er kan geconcludeerd worden dat zo'n frame in alle drie de richtingen ten minste twee ribben heeft, dus dat zo'n frame minimaal zes ribben heeft. Het is mogelijk om verschillende frames te maken die bestaan uit zes ribben waarvan de drie aanzichten zijn zoals in de figuur. Een aantal van die frames voldoet aan alle voorwaarden van LeWitt en een aantal van die frames voldoet niet aan alle voorwaarden van LeWitt. In de figuur hieronder zijn met behulp van stippellijnen de ribben van twee kubussen getekend. Hierin kan je een frame tekenen door stippellijnen te vervangen door doorgetrokken lijnen. Hierbij betekent een doorgetrokken lijn dat het frame daar een ribbe heeft en een stippellijn dat het frame daar geen ribbe heeft.



4p.	14.	Teken in deze figuur twee frames, die bestaan uit zes ribben en waarvan de aanzichten zijn zoals in de eerdere figuur, waarbij het eerste frame wél voldoet aan alle voorwaarden van LeWitt en het tweede frame niet.

Babynamen.

In april 2022 verwelkomde een Belgisch koppel hun twaalfde kindje. Deze dochter kreeg een voornaam die bestaat uit dezelfde letters als die van de namen van de elf andere kinderen. De broertjes en zusjes van de pasgeboren dochter Laex heten Alex, Axel, Xela, Lexa, Xael, Xeal, Exla, Leax, Xale, Elax en Alxe.

Alle voornamen van de kinderen bestaan uit vier letters: een A, een E, een L en een X. Omdat de namen uitspreekbaar moeten zijn, nemen we aan dat een naam niet mag beginnen of eindigen met LX of XL.

3p.

15.

Bepaal hoeveel verschillende namen met deze vier letters er nog mogelijk zijn voor dit koppel als ze nog meer kinderen zouden krijgen. Licht je antwoord toe.

In de Nederlandse Voornamenbank is vanaf het jaar 1880 bijgehouden hoe vaak een voornaam per jaar in Nederland gegeven wordt.

In de tabel staan voor de voornaam Axel van jongens in Nederland een aantal gegevens voor het jaar 2000 en voor het jaar 2005.

Tabel.
	2000	2005
aantal jongens dat de naam Axel kreeg	62	61
percentage ten opzichte van het totaal aantal jongens dat in hetzelfde jaar geboren is.	0,0598%	0,0654%

3p.

16.

Beredeneer, zonder een berekening te maken, of er in het jaar 2005 in totaal meer of minder jongens geboren werden dan in het jaar 2000.

De voornaam Kevin kwam tot 1970 nauwelijks voor in Nederland, maar tussen 1970 en 1992 groeide het aantal baby’s met deze voornaam explosief. Na 1992 nam de populariteit van de voornaam Kevin weer af. Zie de volgende figuur.

Het totaal aantal Kevins dat ooit in Nederland geboren is, kan vanaf 1950 worden benaderd met de formule:

Hierin is N het totaal aantal Kevins dat ooit in Nederland geboren is en t de tijd in jaren met t = 0 het einde van het jaar 1950.

Volgens de formule groeide in de jaren 1971 tot en met 1974 het aantal geboren Kevins per jaar bij benadering exponentieel.

4p.

17.

Toon dit met behulp van een berekening aan.

De formule nadert naar een grenswaarde. Deze grenswaarde is het totaal aantal Kevins dat ooit in Nederland geboren zal worden.

4p.

18.

Bereken met behulp van de formule in welk jaar de helft van het totaal aantal Kevins dat ooit geboren zal worden, al geboren was.

De verspreiding van de voornaam Ingrid verloopt op vergelijkbare wijze als die van de voornaam Kevin. Het totaal aantal Ingrids dat ooit geboren is, is voor de jaren 1910-2018 in de volgende figuur weergegeven.

Aan de helling van de grafiek in deze figuur is te zien dat vanaf 1950 de populariteit van de naam Ingrid echt begon toe te nemen, maar dat die later weer afnam.
Er was een jaar waarin er net zoveel baby's met de naam Ingrid bijkwamen als in 1950.

3p.

19.

Bepaal met behulp van de figuur in welk jaar dat was.

Zevenheuvelenloop.

De Zevenheuvelenloop is een jaarlijks terugkerend hardloopevenement in Nijmegen. Deelnemers kunnen kiezen tussen de korte afstand van 7 km en de lange afstand van 15 km.

In 2019 waren er voor de korte afstand 8000 deelnemers en voor de lange afstand 24 000. Bij de korte afstand waren de vrouwen met 57% in de meerderheid. Bij de lange afstand waren de mannen met 69% in de meerderheid.

4p.

20.

Bereken het percentage vrouwen dat in 2019 deelnam aan de Zevenheuvelenloop. Geef je antwoord in één decimaal.

Zoals de naam doet vermoeden, is het parcours van de Zevenheuvelenloop heuvelachtig. In het jaar 2019 werd de New Balance Kilometer (NBK) geïntroduceerd. Dat is de 11e kilometer van de lange afstand. In deze kilometer wordt omhoog gelopen. Voor deze kilometer wordt op de volgende manier een winnaar bepaald:

Na afloop wordt op basis van de eindtijd voor elke deelnemer de gemiddelde kilometertijd op de lange afstand berekend.

De deelnemer die op de NBK een tijd heeft gelopen die relatief het verst onder zijn berekende gemiddelde kilometertijd zit, wint de NBK.

rekenvoorbeeld.
Rogier finisht op de lange afstand van 15 km in een tijd van 1:30:00, dus in 1 uur, 30 minuten en 0 seconden.
Zijn berekende gemiddelde kilometertijd is dus 360 seconden.
Over de NBK deed Rogier 5 minuten en 40 seconden. Dit is 20 seconden sneller dan zijn gemiddelde kilometertijd. Rogier had ²⁰/₃₆₀·100% ≈ 5,6% minder tijd nodig voor de NBK dan zijn gemiddelde kilometertijd.

Pieter van der Ark liep in 2019 de lange afstand van 15 km in een tijd van 2:03:38 (dus in 2 uur, 3 minuten en 38 seconden). Hij eindigde daarmee in de achterhoede van de lange afstand. Van der Ark had 56,3% minder tijd nodig voor de NBK dan zijn gemiddelde kilometertijd en won daarmee wel de NBK.

4p.

21.

Bereken hoelang van der Ark over de NBK deed. Geef je antwoord in gehele seconden.

We bekijken nu een model met drie factoren die de prestatie tijdens het hardlopen beïnvloeden: de leeftijd, het lichaamsgewicht en de afstand.

invloed van de leeftijd
Vanaf het 35e levensjaar gaat het fysieke prestatievermogen achteruit. Hierdoor zal een hardloper elk jaar gemiddeld 0,8% langer over dezelfde afstand doen dan het jaar ervoor.

Henk Stevens (bedenker van de Zevenheuvelenloop) doet jaarlijks mee aan de Zevenheuvelenloop. In tabel 1 zie je zijn eindtijden op de 15 km in 2016 op 64-jarige leeftijd en in 2019 op 67-jarige leeftijd.

tabel 1.
leeftijd (in jaren)	eindtijd (in seconden)
64	3842
67	3937

Stevens deed er in 2019 iets langer over dan je zou verwachten op basis van zijn tijd in 2016 en de invloed van de leeftijd.

3p.

22.

Bereken hoeveel seconden langer. Geef je antwoord in gehele seconden.

invloed van de verandering in lichaamsgewicht
Hoe zwaarder je bent, des te langzamer je gaat. Er geldt:

Hierin is:

G₁ het gewicht in kilogram op moment 1;

S₁ de (gemiddelde) snelheid in kilometer per uur die gelopen is bij gewicht G₁

G₂ het gewicht in kilogram op moment 2;

S₂ de voorspelde (gemiddelde) snelheid in kilometer per uur die gelopen wordt bij gewicht G₂ .

Een hardloper met gewicht G₁ loopt met een gemiddelde snelheid S₁ . Stel dat deze hardloper 5% zwaarder wordt.

3p.

23.

Bereken met hoeveel procent zijn gemiddelde snelheid dan afneemt volgens formule 1. Geef je antwoord in één decimaal.

invloed van de afstand
Op een korte afstand kun je een hogere gemiddelde snelheid lopen dan op een langere afstand.

Hardlooptrainer Jan Willem Nieboer bracht de drie invloeden samen in onderstaande formule:

Nieuw in formule 2 ten opzichte van formule 1 zijn:

L₁ de leeftijd in jaren op moment 1;

L₂ de leeftijd in jaren op moment 2;

A₁ de afstand in kilometer op moment 1;

A₂ de afstand in kilometer op moment 2.

Formule 2 geldt voor leeftijden vanaf 35 jaar.

Erben Wennemars liep toen hij 40 jaar was een tijd van 56 minuten en 49 seconden op de lange afstand van de Zevenheuvelenloop. In het tv-programma Jinek vertelde Wennemars dat hij de marathon van Rotterdam in een tijd van minder dan 2 uur en 50 minuten zou willen afleggen. Wennemars was 44 jaar toen hij de marathon van Rotterdam liep. In tabel 2 staan de afstanden en afgeronde tijden van Wennemars.

tabel 2
Zevenheuvelenloop	afstand (in km) 15	behaalde eindtijd (in uren) 0,947
Marathon van Rotterdam	afstand (in km) 42,195	behaalde eindtijd (in uren) 2,833

Neem aan dat Wennemars tijdens de Zevenheuvelenloop een gewicht van 78 kg had en dat hij alleen invloed op zijn gewicht had om zijn streeftijd op de marathon van Rotterdam te kunnen behalen.

5p.

24.

Bereken met behulp van formule 2 in één decimaal hoeveel procent Wennemars minimaal af had moeten afvallen om zijn streeftijd op de marathon te behalen.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Buiten B, binnen Z en binnen S geeft het volgende gebied:



2.	S is wel een voldoende voorwaarde voor W want als een persoon binnen twee weken kan starten dan werkt hij nu dus nog niet. S is geen noodzakelijke voorwaarde voor W, want ook als iemand niet binnen twee weken kan starten dan kan hij heel goed werkeloos zijn.

3.	"Als iemand binnen twee weken kan starten met werken, en hij heeft de afgelopen 4 weken niet naar werk gezocht, dan is hij niet werkeloos". Dat klopt volgens de criteria van de overheid NIET want ook iemand die werkeloos is zou best in principe over 2 weken kunnen starten en de afgelopen 4 weken niet naar werk hebben gezocht.

4.	De persoon zit NIET in B (vraag 1) dus aan criterium 1 is voldaan. De persoon zit WEL in Z (vraag 2) dus aan criterium 2 is voldaan De persoon zit NIET in S (vraag 3) dus aan criterium 3 is NIET voldaan Daarom wordt de persoon dus NIET als werkeloos beschouwd. ( ¬B ∧ Z ∧ ¬S) ⇒ ¬W

5.	277000 is 2,9% Dan is 100% gelijk aan ¹⁰⁰ ^{· 277000}/_2,9 = 9551724 Dan is 4,02% gelijk aan 0,042 ·9551724 = 401172 Dat scheelt 124172 dus 124000 mensen

6.	aflezen: 1-kamer-apprtement bij 25 min kost 2300 2 kamers extra zou 2300 · 1,25 ·1,25 = 3594 moeten kosten 3-kamer appartement bij 25 min kost 3500 Dat klopt redelijk goed

7.	aflezen volgens de blauwe pijlen.

	ongeveer 33 minuten Dus dat scheelt 18 minuten

8.	Als r kleiner wordt: dan wordt r^0,571ook kleiner. dan wordt er door een kleiner getal gedeeld dus wordt de breuk groter. dus wordt H groter.

9.	A(1) = 7 A(2) = 10 A(3) = 14 A(4) = 17 A(5) = 21 A(6) = 24 A(7) = 28 A(8) = 31 A(9) = 35 A(10) = 38 A(11) tm A(29) = 42 · 19 Alles optellen geeft 1023 In totaal zijn er dan 4950 + 2 · 1023 = 6996 kratten

10.	de grafiek gaat door (13.35 , 0) invullen geeft 0 = a · 13,35² + 5,3 178,2225a = -5,3 a = -0,029738.... = -0,0297

11.	6 meter van de waterkant is x = ^9,5/₂ + 6 = 10,75 invullen geeft y = -0,029738 · 10,75 + 5,3 = 2,02 Dat is meer dan 1,90 dus de persoon kan WEL rechtop onder de brug doorlopen.

12.	Teken een verdwijnpunt en de horizon zoals de rode lijnen hieronder. De hoogte waarop de foto genomen is, is de blauwe lijn. De hoogte van de horizon is op de foto 5,1 cm en de hoogte van het frame is op de foto 3,3 cm Dan is de hoogte van de horizon in werkelijkheid ^5,1/_3,3 · 106,7 = 165 cm



13.	VIER want behalve de drie getekende ribben moet er nog eentje naar achteren lopen.

14.	Bijvoorbeeld zóiets:


15.	totaal 4 · 3 · 2 · 1 = 24 beginnend met XL: 2 eindigend met XL: 2 beginnend met LX: 2 eindigend met LX: 2 Dan blijven er 24 - 8 = 16 namen over. Het gezin kan dus nog 4 kinderen krijgen.

16.	61 is een groter percentage van het totaal in 2005 dan 62 is van het totaal in 2000 Dan moet het totaal in 2005 dus minder zijn dan in 2000

17.	het gaat om t = 20 tm t = 24 N(20) = 182 N(21) = 226 N(22) = 281 N(23) = 349 N(24) = 434 De groeifactoren zijn dan : ²²⁶/₁₈₂ = 1,242 ²⁸¹/₂₂₆ = 1,243 ³⁴⁹/₂₈₁ = 1,242 ⁴³⁴/₃₄₉ = 1,243 Dat is allemaal ongeveer 1,24 en omdat die groeifactoren gelijk zijn is de groei exponentieel.

18.	Als t oneindig groot wordt, dan gaat 0,8025^tnaar nul. Dus is N =^23162/_{(1 + 0)} = 23162 de helft daarvan is 11581 Y1 = 11581 Y2 = 23162/(1 + 10301 · 0,8025^X) intersect geeft X = t = 41,9.... Dat is dus in 1992

19.	Als er evenveel bijkomen dan moeten de hellingen gelijk zijn.

	Teken de raaklijn in 1950 en verschuif die evenwijdig tot hij weer de grafiek raakt. Zie de figuur. Dat is ongeveer in 1978

20.	57% van 8000 is 4560 31% van 24000 is 7440 Er waren in totaal dus 12000 vrouwen Dat is ¹²⁰⁰⁰/_{(8000 + 24000)} · 100% = 37,5%

21.	De tijd van Van der Ark in seconden was 2 ·3600 + 3 · 60 + 38 = 7418 Dat is gemiddeld ⁷⁴¹⁸/₁₅ = 494,5... seconden per km. Voor de NBK had hij 43,7% daarvan nodig Dat is 216,1... seconden Hij liep de NB K dus in 216 seconden.

22.	de groeifactor per jaar is 1,008 dat bij 67 jaar 3942 · 1,008³ = 3934,94... seconden geven. Hij deed er dus ongeveer 2 seconden langer over.

23.	5% zwaarder betekent dat G₂ = G₁ · 1,05 Dan is ^G2/_G1 = 1,05 invullen: S₂ = (1,9 - 0,9 · 1,05)S₁ S₂ = 0,955S₁ dat is een afname van 4,5%

24.	De streeftijd voor de marathon is 2 uur 50, dus dat is 2 + ⁵⁰/₆₀ = 2,833... uur De streefsnelheid is dan ^42,195/_2,833... = 14,892... km/uur Op de Zevenheuvelenloop was zijn snelheid ¹⁵/_0,947 = 15,839... km/uur L1 - L2 = 40 - 44 = -4 Invullen in de formule: (¹⁵/_42,195)^0,06 · (1,9 - 0,9 ·^G2/₇₈) · 1,008^-4 · 15,839... = 14,892.... Y1 = (¹⁵/_42,195)^0,06 · (1,9 - 0,9 ·^G2/₇₈) · 1,008^-4 · 15,839... Y2 = 14,892... Intersect geeft X = G₂ = 75,1... ^75,1/₇₈ = 0,9634... Hij had dus minstens 3,7% moeten afvallen.

VWO WC, 2024 - II