| 1. | In R3
zijn ten opzichte van een orthonormale basis gegeven de punten A(0,0,1)
en B(0,0,-1). Lijn l gaat door A en is evenwijdig aan de x1-as, lijn m gaat door B en is evenwijdig aan de x2-as. |
||
| a. |
Op l ligt een punt P en op m een punt Q
zodat de lijn PQ gelijke hoeken maakt met l en m. |
||
| b. | Op l ligt
een punt C en op m een punt D zo dat CD = 7. Op het lijnstuk CD ligt ene punt E zodat CE : ED = 1 : 2. Bewijs dat de punten E op een ellips liggen. |
||
| c. | Er zijn orthogonale afbeeldingen die de lijn l op de lijn m afbeelden. Bereken de matrix van elk van deze afbeeldingen. | ||
| 2. | In R3 zijn ten opzichte van een orthonormale basis gegeven punt P(0,0,3), vlak V: -x1 + x2 + x3 = 6 | ||
 |
|||
| a. |
Bewijs dat er geen bol bestaat die door P gaat, vlak V raakt en waarvan het middelpunt op lijn l ligt. |
||
| b. | Een lijn door P
snijdt lijn l in punt A en vlak V in punt B, waarbij A tussen P
en B ligt zodat PA : AB = 1 : 3. Bereken de coördinaten van B |
||
| c. | Lijn m gaat
door P. De loodrechte snijlijn s van l en m ligt in
vlak V. Stel een vectorvoorstelling op van elk van de lijnen s en m |
||
| 3. | Ten opzichte van een orthonormale basis in R2 is voor elke k ∈ R de afbeelding Ak van R2 naar R2 gegeven door de matrix: | ||
|
|
|||
| a. | Bewijs dat er een k bestaat waarvoor de beeldruimte (het bereik) en de kern van Ak samenvallen. | ||
| b. |
 |
||
| Gegeven is dat het
Bm o A2 -beeld van de hyperbool met
vergelijking x1x2 = 8 het punt (1,
-2) bevat. Bereken m |
|||
| c. | Bewijs: er bestaat één lijn door O (0,0) die voor elke k ∈ R loodrecht op zijn Ak-beeld staat; voor elke andere lijn l door O is er een k ∈ R te vinden zo dat het Ak-beeld van l samenvalt met l. |
||
