Laten we eens twee oneindig grote
verzamelingen bekijken. De eerste is de positieve natuurlijke getallen,
de tweede de even getallen. Dus {1,2,3,4,5,...} en
{2,4,6,8,10,...}.
Deze twee series kunnen we makkelijk aan elkaar koppelen:
Conclusie: er zijn even veel positieve getallen als even getallen;
de twee verzamelingen zijn even groot; ze hebben hetzelfde kardinaalgetal.
Op dezelfde manier kunnen we de positieve getallen koppelen aan de
kwadraten (n Û n2)
of aan de viervouden (n Û 4n)
of aan de getallen groter dan 83 (n Û
83 + n) of aan de priemgetallen (n Û
nde priemgetal) enz. Al deze verzameling zijn even
groot.
Deze verzamelingen, die dus allemaal te koppelen zijn aan de positieve
getallen, heten aftelbaar.
Cantor's grote vraag was: "Hebben alle oneindige
verzamelingen het zelfde kardinaalgetal"
Het antwoord is "NEE"
|
|
 |
Hoe is het bijvoorbeeld met de breuken? Op de getallenlijn zitten de
breuken oneindig dicht op elkaar, want tussen elke twee willekeurige
breuken kun je een nieuwe vinden. Dat geeft ons misschien het gevoel dat
er méér breuken dan gewone getallen zijn. Maar dat blijkt niet
zo te zijn. Ook de breuken zijn aftelbaar; ofwel te koppelen aan de
positieve getallen.
Dat is te zien in de volgende tabel:
In deze tabel staan alle breuken (sommigen vaker, maar dat doet er niet
toe). Als je de rode lijn volgt kom je op de weg naar boven (het dikke
gedeelte) dus vanzelf alle breuken tegen, en heb je
meteen een manier om ze op een rijtje te zetten. (we volgen heel slim
diagonale lijnen, want horizontale of verticale zijn meteen al oneindig
groot!)
Dat rijtje wordt dus: 1/1 ,
2/1
, 1/2 , 3/1 ,
2/2 , 1/3
, 4/1 , 3/2 ,
2/3 , 1/4
, ...
Op deze manier tellen we alle breuken!
Het verband met de positieve getallen is nu het volgende (bewijs dat
zelf maar):
| breuk n/m
Û getal 0,5•(n
+ m - 2)•(n + m - 1) + m |
Zo is 5/16 de 206de
breuk en 219/118 de 56398ste
breuk!
De breukenverzameling is dus óók aftelbaar, dus er zijn evenveel
breuken als positieve getallen.
Hier zijn nog twee leuke manieren om de breuken af te tellen:
|
| Stern-Brocot Tree |
| Ontbinden in factoren |
|
|
Een mooi verhaal om dit duidelijk te maken gaat over HILBERT's
HOTEL
Op naar de volgende verzameling: de reële getallen.
En daar loopt de zaak in de soep: die laten zich niet netjes op een
rijtje zetten. Er is geen één-op-één verband te vinden tussen de
positieve gehele getallen en de reële getallen. Om dat te bewijzen kwam
Cantor met een heel nieuw soort bewijs" "Cantors
Diagonalisatie Bewijs"
Het is een bewijs uit het ongerijmde en gaat als volgt:
Stel dat we een relatie hebben gevonden tussen de positieve gehele
getallen en de reële getallen. Omdat alle reële getallen als (soms
oneindig lange) decimale breuk geschreven kunnen worden, hebben we
dus een genummerde lijst die ALLE reële getallen bevat.
Die lijst zou er bijvoorbeeld zó uit kunnen zien:
Maar nu bewees Cantor dat er in ieder geval één reëel getal is,
dat niet in deze lijst staat!
Kies nul voor de komma. Kies daarna het eerste cijfer achter de komma
verschillen van het eerste cijfer in het eerste getal van de lijst. Kies
het tweede cijfer verschillend van het tweede cijfer in het tweede getal
in de lijst, enz. Dat ziet er zó uit:
Dit nieuwe getal staat niet in de lijst. Maar we hadden een volledige
lijst. Dat is in tegenspraak met elkaar, dus is het onmogelijk een
volledige lijst te maken! De reële getallen hebben een kardinaalgetal
dat"groter is dan dat van de positieve getallen. De reële getallen
zijn op de één of andere manier "oneindiger"
Hetzelfde zien we in de volgende paradox:
Een wiskundige is gek op getallen en houdt een
groot boek bij: het "Grote Boek Der Verzamelingen". Misschien
heeft het wel oneindig veel bladzijden.....
Op elke bladzijde heeft hij een beschrijving van een verzameling
getallen gegeven. (met getallen bedoelen we alleen de positieve gehele
getallen). Een verzameling die ergens in het boek staat beschreven heet
een "BOEKverzameling".
Kun je een verzameling noemen die geen BOEKverzameling is?
Neem een getal n, en kijk of getal n deel is van de
verzameling op bladzijde n. Als dat zo is, dan noemen we n
"gevonden", als dat niet zo is dan noemen we n
"onvindbaar".
De verzameling "onvindbare" getallen staat zeker niet in
het boek!!!!!
Terug...
We hebben dus al twee kardinaalgetallen (getallen die de
grootte van een verzameling weergeven) die oneindig groot zijn. Zijn er
misschien nog meer? Dat heeft Cantor onderzocht, en hij kwam tot de
volgende stelling:
Bij elke willekeurige verzameling bestaat
er minstens één "machtsverzameling"
die een groter kardinaalgetal heeft dan de verzameling zelf. |
Deze stelling zegt dat je steeds grotere en grotere verzamelingen
kunt construeren. Cantor introduceerde een speciale notatie voor
kardinaalgetallen, met de Hebreeuwse letter aleph. De verzameling
kardinaalgetallen zag er dan zó uit:
kardinaalgetallen = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... , aleph-0 , aleph-1
, ... } Het kardinaalgetal van de natuurlijke getallen was aleph-0
(het kleinste getal oneindig) Maar het was de grote vraag of het
kardinaalgetal van de Reële getallen gelijk was aan aleph-1.
Cantor dacht dat dat wel zo was; dat was zijn beroemde continuüm
hypothese. Hij kon hem echter nooit bewijzen.
In de dertiger jaren bewees Kurt Gödel dat niet bewezen kan worden dat
de continuüm hypothese onwaar is. Maar in 1960 bewees Paul
Cohen dat de continuüm hypothese ook niet bewezen kan worden!
Een vreemd geval; ook nu nog hebben wij geen manier om te bepalen hoe
oneindig de reële getallen nou precies zijn!!!
|
