|
Dit is een mogelijke oplossing:
Nummer de munten 1 tm 13.
Voer de volgende wegingen uit:
| weging |
links |
rechts |
| 1 |
1+2+3+4 |
5+6+7+8+9 |
| 2 |
2+5+10 |
1+6+9+11+12 |
| 3 |
- |
2+3+4+5+8+9+10+11+13 |
|
|
|
Omdat de valse munt maar een klein
beetje verschilt van een echte komt het extra gewicht elke keer
op de linkerschaal, want op de rechterschaal ligt elke keer
minstens een hele munt extra.
Als een goede munt g gram weegt zullen de drie gewichten
in de buurt van g, 3g en 9g liggen want
zoveel extra munten liggen in de rechterschaal. Daarmee is ook
het probleem opgelost welk gewicht bij welke weging hoorde.
Definieer nu voor elke munt een vector V met drie
kentallen die aangeeft of de betreffende munt bij de wegingen 1,
2 en 3 in de linkerschaal (1) of de rechterschaal (-1) of
nergens (0) lag.
Dat geeft:
| munt |
vector V |
| 1 |
(1, -1, 0) |
| 2 |
(1, 1, -1) |
| 3 |
(1, -1 , -1) |
| 4 |
(1, 0, -1) |
| 5 |
(-1, 1, -1) |
| 6 |
(-1, -1, 0) |
| 7 |
(-1, 0, 0) |
| 8 |
(-1, 0, -1) |
| 9 |
(-1, -1, -1) |
| 10 |
(0, 1, -1) |
| 11 |
(0, -1, -1) |
| 12 |
(0, -1, 0) |
| 13 |
(0, 0, -1) |
Neem voor W de vector met kentallen de drie gewichten die de
boer noemt (in de goede volgorde) en M de vector (1, 3, 9). Stel
dat een zuivere munt g gram weegt, en de valse munt f gram
méér.
Dan kun je het resultaat van de wegingen schrijven als: W
= gM - fV
(1)
|
|
|
|
voorbeeldje tussendoor:
Stel dat een zuivere munt 100 gram weegt en de valse 102 en dat
nummer 5 de valse is.
Dan noemt de boer de gewichten 102 en 198 en 902, en er geldt:
|
|
|
| Even nu een stukje
vectormeetkunde: |
|
|
| • |
Als A = (a1,a2,a3)
en B = (b1, b2, b3)
dan is A • B = a1b1
+ a2b2 + a3b3 |
| • |
Als A
• B = 0 dan staan de vectoren loodrecht op elkaar |
| • |
Als A en B
twee vectoren zijn die niet afhankelijk zijn
("afhankelijk" betekent dat de kentallen van de één
een veelvoud van die van de ander zijn en dat de vectoren
dezelfde richting hebben), dan is er een derde vector C te
vinden die loodrecht op beiden staat. Bovendien is elke vector
die loodrecht op beiden staat dan te schrijven als k •
C
(eigenlijk staat hier alleen maar
dat twee verschillende richtingen een vlak bepalen en dat er
maar één richting is loodrecht op een vlak) |
|
|
Wat hebben we hieraan?
We zoeken voor elke vector V uit de tabel hierboven een nieuwe
vector U die loodrecht op V én op M staat. Dat geeft deze
tabel: |
|
|
|
| munt |
vector V |
vector U |
| 1 |
(1, -1, 0) |
(9, 9, -4) |
| 2 |
(1, 1, -1) |
(6, -5, 1) |
| 3 |
(1, -1 , -1) |
(3, 5, -2) |
| 4 |
(1, 0, -1) |
(3, -10, 3) |
| 5 |
(-1, 1, -1) |
(3, 2, -1) |
| 6 |
(-1, -1, 0) |
(9, -9, 2) |
| 7 |
(-1, 0, 0) |
(0, 3, -1) |
| 8 |
(-1, 0, -1) |
(3, 8, -3) |
| 9 |
(-1, -1, -1) |
(3, -4, 1) |
| 10 |
(0, 1, -1) |
(12, -1, -1) |
| 11 |
(0, -1, -1) |
(6, 1, -1) |
| 12 |
(0, -1, 0) |
(9, 0, -1) |
| 13 |
(0, 0, -1) |
(3, -1, 0) |
|
|
|
Uit de blauwe vergelijking (1)
hierboven: W = gM - fV
blijkt dat als een vector U loodrecht op V én op M staat
dat hij dan ook loodrecht op W moet staan, want de richting van
W is kennelijk opgebouwd uit een aantal maal M en een aantal
maal V.
Dus zal gelden W • U = 0
Daarna geeft de blauwe vectorvergelijking (1) ons drie
vergelijkingen waaruit makkelijk g en f kunnen
worden bepaald. |
|
|
|
voorbeeldje:
Stel dat de boer de gewichten 104 en
276 en 840 noemt. Dan berekenen we eerst voor elke
munt W • U:
| munt |
vector U |
W • U |
| 1 |
(9, 9, -4) |
60 |
| 2 |
(6, -5, 1) |
84 |
| 3 |
(3, 5, -2) |
12 |
| 4 |
(3, -10, 3) |
72 |
| 5 |
(3, 2, -1) |
24 |
| 6 |
(9, -9, 2) |
132 |
| 7 |
(0, 3, -1) |
-12 |
| 8 |
(3, 8, -3) |
0 |
| 9 |
(3, -4, 1) |
48 |
| 10 |
(12, -1, -1) |
132 |
| 11 |
(6, 1, -1) |
60 |
| 12 |
(9, 0, -1) |
96 |
| 13 |
(3, -1, 0) |
36 |
De valse munt is dus nummer 8.
De blauwe vergelijking (1) geeft:
|
|
Daaruit volgt:
104 = g + f en 276 = 3g
en 840 = 9g + f
We lossen dat makkelijk op tot g = 92 en f =
12
Ofwel:
Een zuivere munt weegt 92 gram.
Nummer 8 is de valse en die weegt 104 gram. |
|
|
|
|
|
