We laten zien dat alle getallen die groter zijn  wél te schrijven zijn als  ax + by:
Noem zo'n getal   xy - x - y + z    met z > 0
Omdat x en y relatief priem zijn kan z altijd geschreven worden als ux + vy als we negatieve getallen voor u of v toelaten.  Dat kun je zó zien:
Ga de veelvouden van x opschrijven, maar doe dat modulo y.
Om dat x en y relatief priem zijn is pas het yde getal gelijk aan 0 (xy = yx)
De rij begint met y getallen die allemaal ongelijk aan elkaar zijn en kleiner dan y
  (Als er twee gelijken in stonden was het verschil tussen de bijbehorende waarden een
    veelvoud van x én van y en kleiner dan xy en dat kan niet als x en y relatief priem zijn)
Dus staat ergens in deze rij het getal 1.
1 is dus te schrijven als  px - qy
Dus z is te schrijven als z(px - qy) = x • (zp) + y • (-zq)

Met getallen is het waarschijnlijk duidelijker:
Stel we willen 37 opbouwen uit 8 en 11.
Veelvouden van 11:  11,22,33,44,55,66,77,88,...  en  modulo 8:  3,6,1,4,7,6,5,0...
Het derde veelvoud modulo 8 is 1:  33 - 32 = 1  Þ 3 • 11 - 4 • 8 = 1
vermenigvuldig met 37:  111 • 11 - 148 • 8 = 37 

Het kan op nog veel meer manieren. Stel dat we één manier hebben:  z = ux + vy
Dan kun je dat veranderen in  z = (u + py) • x - (v + px) • y met p een willekeurig geheel getal.
p = -2, -1, 0, 1,2   levert in ons bovenstaande voorbeeldje:

...
37 = (111 - 16) • 11 - (148 - 22) • 11 = 95 • 11 - 126 • 8
37 = (111 - 8) • 11 - (148 - 11) • 8 = 103 • 11 - 137 • 8
37 = 111 • 11 - 148 • 8
37 = (111 + 8) • 11 - (148 + 11) • 8 = 119 • 11 - 159 • 8
37 = (111 + 16) • 11 - (148 + 22) • 8 = 127 • 11 - 170 • 8
...

Wat blijkt: we kunnen de coëfficiënten u en v veranderen modulo y en x
Laten we kiezen  - y < u < 0, dan is  v > 0 (anders kan er nooit een positief getal z uitkomen)
In het voorbeeldje hierboven geeft dat (met p = -14):  37 = -1 • 11 + 6 •  8

 xy - x - y + z
=
=		 xy - x - y + ux + vy
x(y - 1 + u) + y(v - 1)  

Omdat - y < u geldt  y + u > 0 dus  y - 1 + u > -1
Omdat v > 0 geldt v - 1 > -1   
Dus is het gelukt: er staat  ax + by  met  a,b > -1 ofwel a, b ³ 0

Om het bewijs af te maken moeten we nu nog laten zien dat  xy - x - y zélf NIET te schrijven is als ax + by
Stel dat   xy - x - y = ax + by  met   a,b > 0
Dan is  ax + by = x(y - 1) - y  en daaruit volgt  x(y - 1 - a) = y(b + 1)  dus  b + 1 = x(y - 1 - a)/y
Omdat x en y relatief priem zijn, moet y dus wel een deler zijn van  y - 1 - a
Maar dat kan niet, want  y - 1 - a < y
Een tegenspraak!
Dus kan xy - x - y niet geschreven worden als ax + by